Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(1)=\frac{1}{16}$. Xét giới hạn tại $x_0=1$: với $x\to 1$, cả tử và mẫu đều tiến về 0 nên nhân với liên hợp:
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+15}-4}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+15)-16}{(x^2-1)(\sqrt{x+15}+4)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+15}+4)}$$
$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+15}+4)}=\frac{1}{2\cdot 8}=\frac{1}{16}.$$
Vì ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{1}{16}=f(1)$, hàm số $y=f(x)$ liên tục tại điểm $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2+2=4$. Vậy $m=4$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{3x-4}{x-2}$ có mẫu bằng 0 tại $x=2$ nên không xác định tại $x=2$, do đó gián đoạn tại $x=2$. Các hàm $y=x^4-2x^2+1$ (đa thức), $y=\sin x$ liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\tan x$ liên tục tại $x=2$ vì $2\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 1106, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $t=60$ nên ${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=20+4\cdot 60=260$ và ${\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)=m-2\cdot 60=m-120$. Liên tục yêu cầu $m-120=260\Rightarrow m=380$. Khớp với đáp án nguồn 380.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $t=60$ nên giới hạn trái và giới hạn phải phải bằng nhau: ${\lim }_{t\to 60^{-}}T(t)=20+4\cdot 60=260$ và ${\lim }_{t\to 60^{+}}T(t)=m-2\cdot 60=m-120$. Suy ra $m-120=260\Rightarrow m=380$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $380$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{3x-4}{x-2}$ không xác định tại $x=2$ (mẫu số bằng 0), nên gián đoạn tại $x=2$. Các hàm $y=\sin x$, $y=x^4-2x^2+1$ liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\tan x$ liên tục tại $x=2$ vì $2\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Khớp đáp án D trong bảng mã đề 1105.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2+2x-8}{x-2}=\frac{(x-2)(x+4)}{x-2}=x+4$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=6$. Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $f(2)=a^2\cdot 2+4=6\iff a^2=1\iff a=\pm 1$. Giá trị nhỏ nhất của $a$ là $-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3x^2+x-4}{x-1}& \text{khi }x>1\\ m+2& \text{khi }x\le 1\end{array}$ liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=m+2$.

Tính giới hạn phải: với $x>1$, phân tích tử số $3x^2+x-4=(x-1)(3x+4)$ (kiểm tra: $(x-1)(3x+4)=3x^2+4x-3x-4=3x^2+x-4$ đúng).

Do đó:
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(3x+4)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(3x+4)=7.$$

Giá trị tại $x=1$: $f(1)=m+2$ (trên $(-\infty ,1]$ hàm hằng nên giới hạn trái cũng bằng $m+2$).

Điều kiện liên tục: $m+2=7\Rightarrow m=5$.

Vậy $m=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+2}{x-3}$ xác định khi $x-3\ne 0$, tức $x\ne 3$. Tại $x_0=3$, mẫu số bằng 0 nên hàm số không xác định, do đó hàm số gián đoạn tại $x_0=3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải bằng $f(2)$.

**Giới hạn trái:** với $x<2$, $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, do đó
$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x-2}{(x-2)(x-3)}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}=\frac{1}{2-3}=-1.$$

**Giới hạn phải và giá trị tại điểm:**
$$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=f(2)=m\sqrt{2^2+5}=3m.$$

**Điều kiện liên tục:** $3m=-1\Rightarrow m=-\frac{1}{3}$.

Vậy $m=-\frac{1}{3}$ thì hàm số liên tục tại $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+12x-7}{x+1}$ có mẫu số $x+1$ bằng $0$ tại $x=-1$ nên không xác định (gián đoạn) tại $x=-1$. Các hàm còn lại: $y=\frac{2x+1}{x^2+1}$ có mẫu $x^2+1>0$ với mọi $x$; $y=2x^3+x$ là đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\frac{4x+3}{1-x}$ chỉ gián đoạn tại $x=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=3$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=f(3)=m$.

Tính giới hạn (với $x\ne 3$, nhân liên hợp):
$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(3-x)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{(\sqrt{x+1}-2)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(3-x)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x+1-4}$$
$$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-(x-3)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }-\left(\sqrt{x+1}+2\right)=-\left(\sqrt{4}+2\right)=-4.$$

Vậy để hàm số liên tục tại $x_0=3$ thì $m=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-3x+2}{5x-10}$ khi $x\ne 2$ và $y=m$ khi $x=2$.

Với $x\ne 2$: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ và $5x-10=5(x-2)$, nên $y=\frac{(x-1)(x-2)}{5(x-2)}=\frac{x-1}{5}$.

Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }y=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{5}=\frac{2-1}{5}=\frac{1}{5}$.

Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi và chỉ khi $y(2)=\underset{x\to 2}{\lim }y$, tức $m=\frac{1}{5}$.

Vậy $m=\frac{1}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2}{x-\sqrt{3}}$ không xác định tại $x=\sqrt{3}$ (mẫu số bằng 0), nên gián đoạn tại đó. Các hàm còn lại đều liên tục tại $x=\sqrt{3}$: $y=\frac{2}{x^2+1}$ có mẫu dương, $y=\sin x$ và $y=x^2-3$ là hàm sơ cấp liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2}f(x)=f(2)=m$. Với $x\ne 2$: $\frac{x^2-x-2}{x-2}=\frac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1$, nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)=2+1=3$. Vậy $m=3$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>0$: $f(x)=x^2+1$ nên $f(1)=2$ (A đúng).
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }(x^2+1)=1$$
(B đúng).
Tại $x=-1\le 0$, $f(x)=x$ là hàm đa thức nên liên tục tại $x=-1$ (C đúng).
Tại $x=0$: $f(0)=0$,
$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }x=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1,$$
hai giới hạn một bên khác nhau nên $f$ không liên tục tại $x=0$ (D sai).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Với $x\ne 3$ và $x\ne -3$, mẫu $x^3+27\ne 0$ nên phân thức xác định. Tại $x=3$: $f(3)=\frac{9-9}{27+27}=0$ xác định. Tại $x=-3$: $f(-3)=a-\frac{11}{9}$ xác định. Vậy $f$ xác định trên $\mathbb{R}$.

b) Đúng. Theo định nghĩa của hàm số, nhánh thứ hai cho $f(-3)=a-\frac{11}{9}$.

c) Đúng. ${\lim }_{x\to -3}\frac{x^2-9}{x^3+27}={\lim }_{x\to -3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}=\frac{-6}{27}=-\frac{2}{9}$, giới hạn tồn tại nên đẳng thức đúng.

d) Đúng. Hàm số liên tục tại $x=-3$ khi $f(-3)={\lim }_{x\to -3}f(x)$, tức $a-\frac{11}{9}=-\frac{2}{9}\iff a=1$. Vậy hàm gián đoạn tại $x=-3$ khi $a\ne 1$. Các giá trị nguyên $a\in (0;25)$ là $1,2,\dots ,24$ (24 giá trị); loại $a=1$ còn đúng 23 giá trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=3$: $f(3)=0$; tại $x=-3$: $f(-3)=a-\frac{11}{9}$; với $x\ne 3,-3$ phân thức xác định. Vậy $f$ xác định trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hàm số, $f(-3)=a-\frac{11}{9}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)(x^2-3x+9)}=\frac{-6}{27}=-\frac{2}{9}$, giới hạn tồn tại.
d) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục khi $a-\frac{11}{9}=-\frac{2}{9}\iff a=1$. Nguyên $a\in (0;25)$: $1,\dots ,24$; loại $a=1$ còn 23 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}T(x)=a=10000$, suy ra $a=10000$. Hàm liên tục tại $x=30$: $b+(30-30)\cdot 11000=a+(30-1)\cdot 13000$, suy ra $b=10000+29\cdot 13000=10000+377000=387000$. Vậy $\frac{b}{a}=\frac{387000}{10000}=38,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=f(1)$.

Ta có:
- $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2+x)=1^2+1=2$.
- $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(m^{2}x+2)=m^2+2$.
- $f(1)=2$.

Để hàm liên tục tại $x=1$ thì $m^2+2=2\iff m^2=0\iff m=0$.

Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{x}{x+1}$ có mẫu số bằng 0 tại $x=-1$, nên không xác định (không liên tục) tại $x=-1\in \mathbb{R}$. Các hàm còn lại: $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\frac{x}{x^2+x+2}$ có $x^2+x+2>0$ với mọi $x$ (vì $\Delta =1-8=-7<0$) nên liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=x^2+6x+20$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.