Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=2$ nên theo định nghĩa tính liên tục: $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=f(2)$. Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$ nên $f(2)=4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$, nhân liên hợp: $f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}=\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x+2)-4}=\sqrt{x+2}+2$. Suy ra $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\sqrt{4}+2=4$. Vì $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4\ne f(2)=0$ nên hàm số gián đoạn tại $x=2$. Do đó B đúng; A sai; C sai (giới hạn bằng 4, không phải 2); D sai vì $f(0)=\frac{-2}{\sqrt{2}-2}=\frac{-2(\sqrt{2}+2)}{-2}=\sqrt{2}+2\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tại $x_0=1$.

Ta có $f(1)=2(1)-1=1$.

Giới hạn trái: với $x<1$, $f(x)=\frac{2x^2-x-1}{x-1}=\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}=2x+1$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=2(1)+1=3$.

Giới hạn phải: ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(2x-1)=1$.

Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=3\ne 1={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)$ nên ${\lim }_{x\to 1}f(x)$ không tồn tại.

Kết luận: Hàm số $y=f(x)$ không liên tục tại $x_0=1$ (gián đoạn loại I, do giới hạn trái khác giới hạn phải).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{2x-1}{x-1}$ không xác định tại $x=1$ nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. C) $y=\sqrt{x^2-1}$ chỉ xác định khi $x^2-1\ge 0$, tức $x\le -1$ hoặc $x\ge 1$, nên tập xác định không phải $\mathbb{R}$. D) $y=x^3-x$ là đa thức, xác định và liên tục trên mọi $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}={\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}={\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{4}$.
a) Liên tục tại $x_0=3$ yêu cầu $f(3)=\frac{13}{4}-3a=\frac{1}{4}\Rightarrow 3a=3\Rightarrow a=1$. Đúng.
b) $f(8)=\frac{\sqrt{9}-2}{8-3}=\frac{1}{5}\ne -\frac{1}{5}$. Sai.
c) ${\lim }_{x\to 3^{+}}f(x)=\frac{1}{4}$ tối giản, $m^2+n^2=1+16=17$. Đúng.
d) Khi $a=1$: $f(3)=\frac{13}{4}-3=\frac{1}{4}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Liên tục tại $x_0=3$ cần $\frac{13}{4}-3a=\frac{1}{4}\Rightarrow a=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(8)=\frac{\sqrt{9}-2}{5}=\frac{1}{5}$, không phải $-\frac{1}{5}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn bằng $\frac{1}{4}$, nên $m^2+n^2=1+16=17$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=\frac{13}{4}-3\cdot 1=\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với x>1, rút gọn f(x)=(x²-3x+2)/(x²-1)=((x-1)(x-2))/((x-1)(x+1))=(x-2)/(x+1). a) Với x→0 (x≤1), f(x)=-x/2→0, không phải -2 ⇒ SAI. b) lim_{x→3} f(x)=(3-2)/(3+1)=1/4, hữu hạn ⇒ SAI. c) lim_{x→+∞}(x-2)/(x+1)=1 ⇒ ĐÚNG. d) f(1)=-1/2; lim_{x→1⁻}(-x/2)=-1/2; lim_{x→1⁺}(x-2)/(x+1)=-1/2. Ba giá trị bằng nhau nên hàm liên tục tại x=1 ⇒ ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì x→0 thuộc nhánh x≤1 nên lim_{x→0} f(x)=lim(-x/2)=0 ≠ -2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x>1, f(x)=(x-2)/(x+1), nên lim_{x→3} f(x)=1/4 ≠ +∞.
c) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→+∞}(x-2)/(x+1)=lim(1-2/x)/(1+1/x)=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(1)=-1/2, trái lim=-1/2, phải lim=(1-2)/(1+1)=-1/2; ba giá trị bằng nhau nên f liên tục tại x=1.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=x^7-3x+1$, liên tục trên $\mathbb{R}$. Ta có $f(0)=1>0$ và $f(1)=1-3+1=-1<0$. Vì $f$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và $f(0)\cdot f(1)<0$, theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano), tồn tại $c\in (0;1)$ sao cho $f(c)=0$. Vậy phương trình $x^7-3x+1=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=0$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=f(0)$.

Tính giới hạn bên trái/phải (cùng một biểu thức với $x\ne 0$):
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{\sqrt{x+1}-1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{\left(\sqrt{x+1}-1\right)\left(\sqrt{x+1}+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }2\left(\sqrt{x+1}+1\right)=2(1+1)=4.$$

Giá trị của hàm tại $x=0$:
$$f(0)=0^2-m\cdot 0+3=3.$$

Để hàm liên tục tại $x_0=0$ phải có $f(0)=4$, tức là $3=4$, điều này vô lý. Giá trị $f(0)=3$ không phụ thuộc vào $m$, do đó không tồn tại giá trị $m$ nào để hàm số liên tục tại $x_0=0$.

Kết luận: Không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn (có thể đề bài gốc tại điểm $x=0$ có hằng số khác, ví dụ $x^2-mx+4$ thì $m$ bất kỳ; nhưng theo đúng dữ kiện đã cho với hằng số $3$, không tồn tại $m$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{1}{x}$ không xác định tại $x=0$; $y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; $y=\sqrt{x}$ chỉ xác định trên $[0;+\infty )$. Hàm $y=x+1$ là hàm đa thức, xác định và liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: a) Với $x>1$, biểu thức $\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ xác định vì $x+3>4>0$ và $x-1\ne 0$; với $x\le 1$, $-x^2+m$ là đa thức nên xác định với mọi $x$. Vậy hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ → ĐÚNG. b) Vì $1\le 1$ nên $f(1)=-1^2+m=-1+m$ → ĐÚNG. c) Với $x\to 1^{-}$, $f(x)=-x^2+m\to -1+m$, không phải $1+m$ → SAI. d) Với $x\to 1^{+}$: ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Hàm liên tục tại $x=1$ khi $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$, $\sqrt{x+3}-2$ xác định ($x+3>0$) và $x-1\ne 0$; với $x\le 1$, $-x^2+m$ là đa thức. Vậy hàm xác định trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $1\le 1$ nên dùng nhánh $-x^2+m$: $f(1)=-1+m$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(-x^2+m)=-1+m\ne 1+m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$. Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $-1+m=\frac{1}{4}\iff m=\frac{5}{4}$, không phải $m=-\frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên từng khoảng $(-\infty ,2)$ và $(2,\infty )$ vì $mx+1$ là hàm đa thức và $\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-2x}$ là hàm phân thức xác định với $x>2$. Vậy chỉ cần xét tính liên tục tại $x=2$. Ta có $f(2)=2m+1$. Tính giới hạn phải: $$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-2x}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{(x+2)-4}{x(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x(x-2)\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x\left(\sqrt{x+2}+2\right)}=\frac{1}{2\cdot (2+2)}=\frac{1}{8}.$$ Hàm số liên tục tại $x=2$ khi và chỉ khi ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)$, tức là $$2m+1=\frac{1}{8}\Rightarrow 2m=-\frac{7}{8}\Rightarrow m=-\frac{7}{16}.$$ Vậy $m=-\frac{7}{16}$ thì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$. (Kiểm tra lại: nhân hữu thức $\sqrt{x+2}-2=\frac{x-2}{\sqrt{x+2}+2}$, mẫu $x(x-2)$, giới hạn $=\frac{1}{2\cdot 4}=\frac{1}{8}$; $2\left(-\frac{7}{16}\right)+1=-\frac{7}{8}+1=\frac{1}{8}$ — khớp.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$ (A đúng); $y=\sin x$, $y=\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$ (B đúng); hàm phân thức liên tục trên các khoảng xác định (D đúng). Còn $y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ và $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$, nên chúng không liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)$.

Tính giới hạn (dạng $\frac{0}{0}$):
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{10-x}-3}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(\sqrt{10-x}-3)(\sqrt{10-x}+3)}{(x-1)(\sqrt{10-x}+3)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{10-x-9}{(x-1)(\sqrt{10-x}+3)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-(x-1)}{(x-1)(\sqrt{10-x}+3)}=\frac{-1}{\sqrt{9}+3}=-\frac{1}{6}.$$

Ta có $f(1)=(m+1)\cdot 1-\frac{1}{6}=m+\frac{5}{6}$.

Yêu cầu liên tục: $m+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}\Rightarrow m=-1$.

Vậy $m=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sin x$ xác định và liên tục trên toàn tập $\mathbb{R}$. Các hàm còn lại đều không liên tục trên $\mathbb{R}$: $y=\frac{1}{x}$ không xác định tại $x=0$; $y=\tan x$ không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; $y=\cot x$ không xác định tại $x=k\pi$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x\ne -1$: $f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x+1}=\frac{(x-3)(x+1)}{x+1}=x-3$. Suy ra $\underset{x\to -1}{\lim }f(x)=\underset{x\to -1}{\lim }(x-3)=-4$.
Hàm số liên tục tại $x=-1$ khi và chỉ khi $f(-1)=\underset{x\to -1}{\lim }f(x)$, tức $4-2a^2=-4\iff 2a^2=8\iff a^2=4\iff a=\pm 2$.
Vậy $a=\pm 2$.

b) Xét $g(x)=x^5-x-3$, hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.
Ta có $g(1)=1-1-3=-3<0$ và $g(2)=32-2-3=27>0$.
Vì $g$ liên tục trên đoạn $[1;2]$ và $g(1)\cdot g(2)<0$, theo định lý giá trị trung gian, phương trình $g(x)=0$ tức $x^5-x-3=0$ có nghiệm thuộc khoảng $(1;2)$.
Vậy phương trình $x^5-x-3=0$ có nghiệm (đpcm).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=3m-2$.

Tính giới hạn: đặt $t=\sqrt[3]{x-2}$, khi $x\to 1$ thì $t\to -1$, và $x=t^3+2$.
Khi đó:
- Tử số: $\sqrt[3]{x-2}+2x-1=t+2(t^3+2)-1=2t^3+t+3$.
- Mẫu số: $x-1=t^3+1$.

Phân tích:
$$2t^3+t+3=(t+1)(2t^2-2t+3),t^3+1=(t+1)(t^2-t+1).$$
Vậy
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{t\to -1}{\lim }\frac{2t^2-2t+3}{t^2-t+1}=\frac{2+2+3}{1+1+1}=\frac{7}{3}.$$

Điều kiện liên tục: $3m-2=\frac{7}{3}\Rightarrow 3m=\frac{13}{3}\Rightarrow m=\frac{13}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $(0;4)$ và $(4;+\infty )$ với mọi $m,n$. Chỉ cần xét tính liên tục tại $x=0$ và $x=4$.

Tại $x=0$: hàm liên tục phải có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=f(0)=m$. Ta có
$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{4-(4-x)}{x\left(2+\sqrt{4-x}\right)}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}=\frac{1}{4}.$$
Vậy $m=\frac{1}{4}$.

Tại $x=4$: hàm liên tục phải có $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f(x)=f(4)$. Ta có
$$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\frac{2-0}{4}=\frac{1}{2},\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{n}{x}=\frac{n}{4},f(4)=\frac{n}{4}.$$
Do đó $\frac{n}{4}=\frac{1}{2}\Rightarrow n=2$.

Kết luận: $m=\frac{1}{4},n=2$. Khi đó hàm số liên tục trên nửa khoảng $[0;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=1$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=a$.

Tính giới hạn (với $x\to 1$, $x\ne 1$):
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-\sqrt{3x+1}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x+3)-(3x+1)}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2-2x}{(x-1)\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}\right)}$$
$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-2}{\sqrt{x+3}+\sqrt{3x+1}}=\frac{-2}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}.$$

Vậy để hàm số liên tục tại $x_0=1$ thì $a=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tại $x=1$ đồ thị có bước nhảy: giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$ khác nhau (đường đồ thị bị đứt, thể hiện bằng nét đứt tại mức $y=1$), nên hàm số gián đoạn tại $x=1$. Các đáp án $y=1$, $y=2$ không phải điểm trên trục hoành, còn tại $x=2$ đồ thị liên tục. Vậy chọn A.