Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tại $x=0$ đồ thị đạt giá trị lớn nhất $y=1$; tại $x=-\pi$ và $x=\pi$ đồ thị đạt giá trị nhỏ nhất $y=-1$; tại $x=2\pi$ đồ thị đạt giá trị lớn nhất $y=1$. Kiểm tra $y=\cos x$: $\cos 0=1$, $\cos (-\pi )=-1$, $\cos \pi =-1$, $\cos 2\pi =1$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các hàm còn lại: $y=\sin x$ có $\sin 0=0$ (không khớp); $y=1-\sin x$ và $y=1+\sin x$ có giá trị tại $x=0$ bằng 1 nhưng dao động trong $[0;2]$ (min $0$, max $2$), không khớp hình vẽ (min là $-1$). Vậy đồ thị là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=2{\sin }^{2}x-5=1-\cos 2x-5=-\cos 2x-4$.
a) Vì ${\sin }^{2}x$ có chu kì $\pi$ nên $f(x+\pi )=f(x)$ với mọi $x$; hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$, không phải $2\pi$ (mặc dù $2\pi$ cũng là một chu kì, nhưng chu kì cơ bản là $\pi$, nên khẳng định 'tuần hoàn với chu kì $2\pi$' theo nghĩa chu kì là sai). Do đó a) sai.
b) $f(-x)=2{\sin }^2(-x)-5=2{\sin }^{2}x-5=f(x)$, nên hàm số chẵn. b) đúng.
c) ${\sin }^{2}x\le 1$ nên $f(x)\le 2-5=-3$, dấu bằng khi $\sin x=\pm 1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Giá trị lớn nhất $-3$ đạt được đúng tại các $x$ đó. c) đúng.
d) ${\sin }^{2}x\ge 0$ nên $f(x)\ge -5$; giá trị nhỏ nhất bằng $-5$, không phải $-3$. d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^{2}x$ có chu kì $\pi$ nên $f(x)$ tuần hoàn với chu kì $\pi$, không phải $2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=2{\sin }^2(-x)-5=2{\sin }^{2}x-5=f(x)$ nên hàm chẵn.
c) (AI giải đề cho tôi)
Max $f=-3$ khi ${\sin }^{2}x=1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Min $f=2\cdot 0-5=-5$, không phải $-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $p(t)=120+15\cos (150\pi t)$: Chu kì $T=\frac{2\pi }{150\pi }=\frac{1}{75}$ phút, nên khẳng định a (chu kì $\frac{\pi }{75}$) sai. $p(0)=120+15\cos 0=135$ mmHg, nên khẳng định b (120 mmHg) sai. Huyết áp cao nhất $=120+15=135$ mmHg, khẳng định c đúng. Huyết áp thấp nhất $=120-15=105$ mmHg, khẳng định d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì $T=\frac{2\pi }{150\pi }=\frac{1}{75}$ phút, không phải $\frac{\pi }{75}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$p(0)=120+15\cos 0=135$ mmHg, không phải 120 mmHg.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất của $p(t)$ là $120+15=135$ mmHg.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị nhỏ nhất của $p(t)$ là $120-15=105$ mmHg.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất $h_{max}=m+a=12$ (khi $\cos \frac{\pi t}{12}=1$, tức $t=0$ hoặc $t=24$, phù hợp đồ thị). Mực nước thấp nhất $h_{min}=m-a=8$ (khi $t=12$). Suy ra $m=10$, $a=2$. Vậy $T=m+a=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ sâu mực nước: $h=12+4\cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{3\pi }{4}\right)$, với $0\le t\le 24$.

Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{3\pi }{4}\right)\le 1$ nên $h$ đạt giá trị lớn nhất bằng $12+4=16$ (m) khi:
$$\cos \left(\frac{\pi }{12}t-\frac{3\pi }{4}\right)=1\iff \frac{\pi }{12}t-\frac{3\pi }{4}=2k\pi \iff t=9+24k,k\in \mathbb{Z}.$$

Với $0\le t\le 24$ thì $t=9$.

Vậy mực nước cao nhất trong ngày là $16$ m, xảy ra lúc $9$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 3: Tìm tập xác định.

a) $y=\frac{\cos x}{\sin x-1}$: hàm số xác định khi $\sin x-1\ne 0\iff \sin x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $y=\tan \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+2$: cần $x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{5\pi }{6}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) $y=\frac{1}{\sin x-\cos x}$: cần $\sin x\ne \cos x\iff \sin x-\cos x\ne 0\iff \sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

d) $y=\cos 2x+\frac{1}{\tan x}+5$: cần $\tan x$ xác định, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

e) $y=\sqrt{2-\sin 2x}$: cần $2-\sin 2x\ge 0$. Vì $\sin 2x\le 1$ với mọi $x$ nên $2-\sin 2x\ge 1>0$ luôn đúng. Vậy $D=\mathbb{R}$.

f) $y=\frac{1+\cot x}{\cos x}$: cần $\cot x$ xác định tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$, và $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Kết hợp lại: $x\ne \frac{k\pi }{2}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $2x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $2x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi$, suy ra $x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)$ xác định khi $\sin \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)\ne 0$, tức $3x+\frac{\pi }{2}\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $3x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $x\ne -\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x-1}{\tan x}$ xác định khi $\tan x$ xác định và $\tan x\ne 0$. Điều kiện $\tan x$ xác định: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Điều kiện $\tan x\ne 0$: $x\ne k\pi$. Kết hợp lại: $x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước đạt độ cao lớn nhất khi $h(t)$ lớn nhất, tức khi $\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=1$ (khi đó $h(t{)}_{\max }=3+10=13$ cm).

Điều kiện: $\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow \frac{\pi t}{12}=2k\pi -\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=24k-4$.

Vì $t\in [0;24)$ (một ngày), với $k=1$ ta được $t=20$.

Vậy mực nước đạt độ cao lớn nhất (13 cm) tại thời điểm $t=20$ giờ (20 giờ đêm, tức 8 giờ tối).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ và tại đó hàm số đồng biến, nên loại A và D vì $y(0)=\pm 1\ne 0$. Xét hai hàm còn lại: $y=\sin \left(-\frac{x}{2}\right)=-\sin \frac{x}{2}$ có đạo hàm $y^{\prime }(0)=-\frac{1}{2}<0$ (nghịch biến tại $O$), không khớp đồ thị. Với $y=\sin \frac{x}{2}$: $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=\frac{1}{2}>0$ (đồng biến tại $O$), chu kỳ $T=\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$ khớp với đồ thị (một sóng đầy đủ trải từ $-2\pi$ đến $2\pi$). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có $y^{\prime }=-\sin x$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-\sin x>0\iff \sin x<0\iff x\in (-\pi +2k\pi ;2k\pi ),k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$, hàm số đồng biến trên khoảng $(-\pi ;0)$. Do đó đáp án đúng là C. Kiểm tra: trên $(0;\pi )$ hàm nghịch biến (A sai); trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm tăng rồi giảm (B sai); khoảng $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{4}\right)$ chứa cả đoạn nghịch biến $(0;\pi )$ (D sai).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1102, câu 9: SDDS, tức a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Kiểm chứng toán học khớp: a) tập xác định của tan là ℝ\{π/2+kπ} nên Sai; b) tập giá trị [9;13] nên Đúng; c) 2cos2x·cos(π/3)=cos2x nên Đúng; d) sin α<0 trên (3π/2;2π) nên Sai.
a) Tập xác định của $y=2\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, nên phát biểu Sai.
b) Vì $-1\le \sin \left(\frac{5\pi }{2}-2x\right)\le 1$ nên $9\le -2\sin \left(\frac{5\pi }{2}-2x\right)+11\le 13$, tập giá trị là $[9;13]$. Đúng.
c) Áp dụng công thức tổng hai cosin: $\cos \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=2\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}=\cos 2x$. Đúng.
d) Trên khoảng $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ (góc phần tư thứ IV) thì $\sin \alpha <0$, nên phát biểu Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có $y^{\prime }=\cos x$. Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét từng mệnh đề: A sai vì trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến. B sai vì $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)\subset \left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng nghịch biến. C sai vì trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số đồng biến. D đúng vì $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)\subset \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng đồng biến. Kết quả khớp với đáp án nguồn D (mã đề 1101, câu 7).

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1101, câu 9: SDDS — a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) Tập xác định của $y=2\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải tập đã cho → Sai.
b) Vì $\sin \left(\frac{5\pi }{2}-2x\right)=\cos 2x$ nên $y=-2\cos 2x+11\in [9;13]$ → Đúng.
c) VT $=2\cos 2x\cos \frac{\pi }{3}=\cos 2x$ → Đúng.
d) Trên $\left(\frac{3\pi }{2};2\pi \right)$ (góc phần tư thứ IV) thì $\sin \alpha <0$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan 2x$ xác định khi $\cos 2x\ne 0$, tức $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, suy ra $x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}|k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-2\sin x+9}{\cos x-1}$ xác định khi mẫu số khác 0: $\cos x-1\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $h(t)=6\cos \left(\frac{\pi }{4}t\right)$ có dạng $A\cos (\omega t)$ với $\omega =\frac{\pi }{4}$. Chu kì $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\pi /4}=8$ (giây). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lẻ thỏa $f(-x)=-f(x)$. A: $y=-2\cos x$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$. B: $y=-\sin x$, ta có $f(-x)=-\sin (-x)=\sin x=-(-\sin x)=-f(x)$, nên là hàm lẻ. C: $y=\cos 2x$ là hàm chẵn. D: $y=-x^2+2$ là hàm chẵn. Vậy hàm số lẻ là $y=-\sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos \left(\frac{\pi }{4}t\right)\le 1$ với mọi $t$, nên $-68\le h(t)\le 68$. Giá trị lớn nhất đạt được khi $\cos \left(\frac{\pi }{4}t\right)=1$, tức là $\frac{\pi }{4}t=2k\pi \iff t=8k$ ($k\in \mathbb{Z}$). Vậy chiều cao lớn nhất mà con sóng đạt được là $68$ centimét (so với mực nước biển trung bình).