Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$ là điểm thước chạm đáy bể, $B$ là điểm tựa trên mép miệng bể, khi đó $AB=121$ cm. Chiều cao bể là $100$ cm, nên khoảng cách từ $B$ xuống mặt phẳng đáy (theo phương thẳng đứng) là $100$ cm. Phần thước chìm trong nước dài $68$ cm, tính từ $A$ dọc theo thước; gọi $C$ là điểm trên thước tại mặt nước, $AC=68$ cm. Gọi $h$ là chiều cao mực nước. Vì tam giác tạo bởi thước, đáy bể và phương thẳng đứng, ta có tam giác đồng dạng: $\frac{h}{100}=\frac{AC}{AB}=\frac{68}{121}$. Suy ra $h=100\cdot \frac{68}{121}=\frac{6800}{121}\approx 56,198\approx 56,2$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn 56,2.

(AI giải đề cho tôi)
Thang là hình thang cân cao 6 m, hai đáy 80 cm và 60 cm. Cạnh cột (cạnh bên) có chiếu ngang bằng (80−60)/2 = 10 cm = 0,1 m và chiếu đứng bằng 6 m. Độ dài cột thang: $\sqrt{6^2+0,1^2}=\sqrt{36,01}\approx 6,0008$ m. Góc giữa cột thang và đường thẳng chân tường (phương thẳng đứng): $\tan \alpha =\frac{0,1}{6}\Rightarrow \alpha =\arctan \left(\frac{1}{60}\right)\approx 0,95^{\circ }\approx 1^{\circ }$. Vậy góc cần tìm khoảng $1^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $PA=8$ km, $AD=3$ km, $PB=7$ km, $\widehat{APB}=40^{\circ }$, $\widehat{PAD}=100^{\circ }$. Cần tính $BD$.

Bước 1: Tính $AB$ trong tam giác $PAB$ (định lí cosin):
$$A{B}^2=P{A}^2+P{B}^2-2\cdot PA\cdot PB\cdot \cos 40^{\circ }=64+49-112\cdot 0,76604\approx 27,2034$$
$$AB\approx 5,2157\text{ km}$$

Bước 2: Tính $\widehat{PAB}$ (định lí sin):
$$\sin \widehat{PAB}=\frac{PB\cdot \sin 40^{\circ }}{AB}=\frac{7\cdot 0,64279}{5,2157}\approx 0,86275\Rightarrow \widehat{PAB}\approx 59,61^{\circ }$$

Bước 3: Vì tia $AB$ nằm giữa tia $AP$ và tia $AD$ (theo hình vẽ):
$$\widehat{BAD}=\widehat{PAD}-\widehat{PAB}=100^{\circ }-59,61^{\circ }\approx 40,39^{\circ }$$

Bước 4: Tính $BD$ trong tam giác $BAD$ (định lí cosin):
$$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos \widehat{BAD}=27,2034+9-2\cdot 5,2157\cdot 3\cdot \cos 40,39^{\circ }$$
$$B{D}^2\approx 36,2034-31,2942\cdot 0,76184\approx 12,365$$
$$BD\approx 3,5165\text{ km}$$

Kiểm tra: tổng các góc tứ giác $PABD$: $\hat{P}=40^{\circ }$, $\widehat{PAD}=100^{\circ }$, $\widehat{BDA}\approx 73,97^{\circ }$, $\widehat{PBD}=\widehat{PBA}+\widehat{ABD}\approx 80,39^{\circ }+65,64^{\circ }=146,03^{\circ }$, tổng $\approx 360^{\circ }$ — thỏa mãn.

Vậy bạn Bình phải đi thêm khoảng $3,5$ km để đến đích $D$.

Vì tam giác $AHB$ vuông tại $H$ nên có $AB=\sqrt{3^2+15^2}=\sqrt{234}\approx 15,3$ (m). Ta có $\sin \widehat{BAH}=\frac{BH}{AB}=\frac{15}{\sqrt{234}}\approx 0,984$ $\Rightarrow \widehat{BAH}\approx 78,6^{\circ }\Rightarrow \widehat{ABC}\approx 78,6^{\circ }$. $\Rightarrow \widehat{ACB}\approx 61,4^{\circ }$. Áp dụng định lý sin cho tam giác $ABC$ ta có $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$. Suy ra $BC\approx 11,2$ (m).

Từ giả thiết $MC=2MB$, ta có: $MB=\frac{BC}{3}=\frac{a}{3};MC=\frac{2a}{3}$.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác, ta có:

+ Tam giác $ABC$, có: $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$.

+ Tam giác $ABM$ có:

$A{M}^2=B{A}^2+B{M}^2-2.BA.BM.\cos B=c^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^2-2.c.\frac{a}{3}.\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$\Rightarrow A{M}^2=\frac{6c^2+3b^2-2a^2}{9}$.



(0,5 điểm)

Áp dụng công thức đường trung tuyến, ta có:

+ $BI$ là trung tuyến của $AMB$ nên:
$$B{I}^2=\frac{2\left(B{A}^2+B{M}^2\right)-A{M}^2}{4}=\frac{2\left(c^2+\frac{a^2}{9}\right)-\frac{6c^2+3b^2-2a^2}{9}}{4}=\frac{4a^2-3b^2+12c^2}{36}.$$

+ $CI$ là trung tuyến của $AMC$ nên tương tự có $C{I}^2=\frac{10a^2+15b^2-6c^2}{36}$.

Do $IB\perp IC$ nên tam giác $IBC$ vuông tại $I$, ta có:
$$I{B}^2+I{C}^2=B{C}^2\Rightarrow \frac{4a^2+12c^2-3b^2}{36}+\frac{10a^2+15b^2-6c^2}{36}=a^2.$$
$$\iff 14a^2+12b^2+6c^2=36a^2\iff 12b^2+6c^2=22a^2\iff 6b^2+3c^2=11a^2\text{(đpcm)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh là $a,a+2,a+4$ với $a>0$. Góc $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ ở đỉnh A nên cạnh đối diện là cạnh lớn nhất $a+4$. Định lí cosin: $(a+4{)}^2=a^2+(a+2{)}^2-2a(a+2)\cos 120^{\circ }=a^2+(a+2{)}^2+a(a+2)=3a^2+6a+4$. Suy ra $a^2+8a+16=3a^2+6a+4\iff 2a^2-2a-12=0\iff a^2-a-6=0$, nên $a=3$ (nghiệm dương). Ba cạnh là $3,5,7$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác). Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{15\sqrt{3}}{4}$. Kết quả trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $AB=x$, $BC=y$ với $x+y=16$. Theo định lí cosin tại góc $B=120^{\circ }$: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos 120^{\circ }=x^2+y^2+xy=(x+y{)}^2-xy=256-xy$. Suy ra $196=256-xy\Rightarrow xy=60$. Kết hợp $x+y=16$, $x,y$ là nghiệm của $t^2-16t+60=0\Rightarrow t=6$ hoặc $t=10$. Vì $BC>AB$ nên $BC=10$, $AB=6$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\sin B=\frac{AC}{2R}=\frac{R\sqrt{3}}{2R}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $B=60^{\circ }$ hoặc $B=120^{\circ }$. Vì $B$ là góc tù nên $B=120^{\circ }$. Khi đó $\sin C=\frac{AB}{2R}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$, mà $B=120^{\circ }$ nên $C=30^{\circ }$ (không thể $C=150^{\circ }$). Vậy $A=180^{\circ }-120^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B=180^{\circ }-C$ nên $\tan (A+B)=\tan (180^{\circ }-C)=-\tan C=\frac{1}{3}$, suy ra $\tan C=-\frac{1}{3}$ (C là góc tù). Khi đó $\sin C=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Theo định lí sin: $\frac{AB}{\sin C}=2R$, nên $R=\frac{10}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}=5\sqrt{10}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A+B=180^{\circ }-C$ nên $\cot (A+B)=\cot (180^{\circ }-C)=-\cot C=\frac{1}{3}$, suy ra $\cot C=-\frac{1}{3}$, do đó $\tan C=-3$. Khi đó $\sin C=\frac{3}{\sqrt{10}}$ (vì $C$ tù, $\cos C=-\frac{1}{\sqrt{10}}$). Theo định lý sin: $2R=\frac{AB}{\sin C}=\frac{12}{3/\sqrt{10}}=4\sqrt{10}$, vậy $R=2\sqrt{10}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R. Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{16+25-36}{40}=\frac{1}{8}$, nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{64}}=\frac{\sqrt{63}}{8}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$. Theo định lí sin: $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{6}{2\cdot \frac{3\sqrt{7}}{8}}=\frac{8}{\sqrt{7}}\approx 3,02\approx 3$ cm. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $C$ xuống mặt đất. Vì tòa nhà vuông góc mặt đất nên $AB\perp$ mặt đất, do đó góc giữa $AB$ (phương thẳng đứng) và $AC$ là $\widehat{BAC}=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$. Phương nhìn $BC$ tạo với phương nằm ngang góc $15^{\circ }30^{\prime }$ (nâng lên trên), nên góc giữa $BC$ và phương thẳng đứng hướng xuống tại $B$ là $\widehat{ABC}=90^{\circ }+15^{\circ }30^{\prime }=105^{\circ }30^{\prime }$. Suy ra $\widehat{ACB}=180^{\circ }-60^{\circ }-105^{\circ }30^{\prime }=14^{\circ }30^{\prime }$. Theo định lý sin trong tam giác $ABC$: $\frac{AC}{\sin 105^{\circ }30^{\prime }}=\frac{70}{\sin 14^{\circ }30^{\prime }}$, nên $AC=\frac{70\cdot \sin 105^{\circ }30^{\prime }}{\sin 14^{\circ }30^{\prime }}\approx \frac{70\cdot 0,9636}{0,2504}\approx 269,3$ m. Độ cao đỉnh núi so với mặt đất (tính từ mức điểm $A$) là $CH=AC\cdot \sin 30^{\circ }\approx 269,3\cdot 0,5\approx 134,6\approx 135$ m. Vậy đáp án gần nhất là 135 m.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt AB=3k, AC=4k, BC=5k. Vì 9k²+16k²=25k² nên tam giác vuông tại A (định lí Pythagore đảo), suy ra BC là cạnh huyền và bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/2 = 5k/2 = 25 ⇒ k = 10. Vậy AB=30, AC=40, BC=50.
a) Đúng: theo định lí cosin trong tam giác ABC, cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC).
b) Đúng: AB²+AC² = 30²+40² = 2500 = BC² nên tam giác vuông tại A.
c) Sai: BC = 2R = 50, không phải 25.
d) Đúng: độ dài trung tuyến từ B là m_b = ½√(2·BC²+2·AB²−AC²) = ½√(5000+1800−1600) = √1300 = 10√13. Trọng tâm G chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 nên BG = (2/3)·10√13 = 20√13/3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: BC² = AB²+AC²−2·AB·AC·cos A ⇒ cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=3k, AC=4k, BC=5k với 9k²+16k²=25k² nên tam giác vuông tại A.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại A nên R = BC/2 = 25 ⇒ BC = 50 ≠ 25.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trung tuyến từ B có độ dài √1300 = 10√13; BG = (2/3)·10√13 = 20√13/3.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có BM = MC = 4, AB = 3. Đặt AM = x, áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM: AB² = AM² + BM² − 2·AM·BM·cos∠AMB ⇒ 9 = x² + 16 − 8x·(5√13/26) ⇒ x² − (20√13/13)x + 7 = 0. Δ = 5200/169 − 28 = 468/169, √Δ = 6√13/13, nên x = √13 hoặc x = 7√13/13.

a) sin∠AMB = √(1 − 325/676) = 3√39/26. R = AB/(2sin∠AMB) = 3·26/(6√39) = 13/√39 = √39/3 ≈ 2,08 ≠ √2 ⇒ sai.

b) Vì B, M, C thẳng hàng nên ∠AMC = 180° − ∠AMB ⇒ cos∠AMC = −5√13/26 ⇒ sai.

c) AM = √13 hoặc 7√13/13 ⇒ đúng.

d) Với AM = √13: AC² = 13 + 16 − 2·√13·4·(−5√13/26) = 29 + 20 = 49 ⇒ AC = 7. Khi đó cos A = (AB² + AC² − BC²)/(2·AB·AC) = (9 + 49 − 64)/42 = −1/7 < 0, góc A tù, không thỏa 'A nhọn'. Với AM = 7√13/13: AC² = 49/13 + 16 + 140/13 = 397/13, cos A = (9 + 397/13 − 64)/(6√(397/13)) < 0, góc A cũng tù. Vậy không tồn tại trường hợp góc A nhọn và lớn nhất ⇒ d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
R = AB/(2sin∠AMB) với sin∠AMB = 3√39/26 nên R = 13/√39 = √39/3 ≈ 2,08 ≠ √2.
b) (AI giải đề cho tôi)
∠AMC = 180° − ∠AMB nên cos∠AMC = −5√13/26.
c) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác ABM cho phương trình AM² − (20√13/13)AM + 7 = 0, nghiệm AM = √13 hoặc AM = 7√13/13.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với AM = √13 thì AC = 7 nhưng cos A = (9+49−64)/42 = −1/7 < 0, góc A tù. Với AM = 7√13/13 thì AC² = 397/13 và cos A < 0, góc A cũng tù. Không có trường hợp góc A nhọn và lớn nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác ACD: góc ADC = 180° − 67° = 113°, góc ACD = 43° nên góc CAD = 180° − 113° − 43° = 24°.
a) Sai: định lí cosin trong tam giác ACD cho AD² = AC² + CD² − 2·AC·CD·cos C (đề viết AD² hai lần, sai).
b) Sai: góc CAD = 24°, không phải 42°.
c) Đúng: tam giác ABC vuông tại B nên góc BAC = 90° − 43° = 47°; góc BAD = 47° − 24° = 23°.
d) Đúng: theo định lí sin trong tam giác ACD: AD = 30·sin43°/sin24° ≈ 30·0,6820/0,4067 ≈ 50,31. Trong tam giác ABD vuông tại B: AB = AD·sin67° ≈ 50,31·0,9205 ≈ 46,3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin trong tam giác ACD: AD² = AC² + CD² − 2·AC·CD·cos C, không phải AD² = AC² + AD² − 2·AC·AD·cos C.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc ADC = 113°, góc C = 43° nên góc CAD = 180° − 113° − 43° = 24° ≠ 42°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc BAC = 90° − 43° = 47°, góc BAD = 47° − 24° = 23°.
d) (AI giải đề cho tôi)
AD = 30·sin43°/sin24° ≈ 50,31; AB = AD·sin67° ≈ 46,3.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cos A\Rightarrow 81=A{B}^2+36-4AB\Rightarrow A{B}^2-4AB-45=0\Rightarrow AB=9$ (chọn nghiệm dương). a) Sai vì $AB=9\ne 8$. $\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 6\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=18\sqrt{2}$. b) $R=\frac{AB\cdot AC\cdot BC}{4S}=\frac{9\cdot 6\cdot 9}{72\sqrt{2}}=\frac{27\sqrt{2}}{8}$, nên $S_1=\pi R^2=\frac{729\pi }{32}\ne 9\pi$ → Sai. c) $A{M}^2=\frac{2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2}{4}=\frac{153}{4}$, $AM=\frac{3\sqrt{17}}{2}$, $MB=\frac{9}{2}$. $\cos \widehat{AMB}=\frac{A{M}^2+M{B}^2-A{B}^2}{2\cdot AM\cdot MB}=\frac{\frac{153}{4}+\frac{81}{4}-81}{2\cdot \frac{3\sqrt{17}}{2}\cdot \frac{9}{2}}=-\frac{5\sqrt{17}}{51}\approx -0,404\ne \frac{\sqrt{3}}{5}$ → Sai. d) $p=\frac{9+9+6}{2}=12$, $r=\frac{S}{p}=\frac{18\sqrt{2}}{12}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$, $S_2=\pi r^2=\frac{9\pi }{2}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: $81=A{B}^2+36-4AB\Rightarrow A{B}^2-4AB-45=0\Rightarrow AB=9\ne 8$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=18\sqrt{2}$, $R=\frac{27\sqrt{2}}{8}$, $S_1=\pi R^2=\frac{729\pi }{32}\ne 9\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AM=\frac{3\sqrt{17}}{2}$, $\cos \widehat{AMB}=-\frac{5\sqrt{17}}{51}\approx -0,404\ne \frac{\sqrt{3}}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{S}{p}=\frac{18\sqrt{2}}{12}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow S_2=\pi r^2=\frac{9\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba góc: $\hat{C}=180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }$, nên a) sai. Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin 50^{\circ }}=\frac{8\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ }}$ nên $AC=\frac{8\sqrt{3}\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx \frac{8\cdot 1,7321\cdot 0,7660}{0,8660}\approx 12,26$, nên b) đúng. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{8\sqrt{3}}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8\ne 6$, nên c) sai. Với $3AN=NB$ và $AN+NB=AB$ ta có $AN=\frac{AB}{4}=2\sqrt{3}$. Diện tích $S_{ACN}=\frac{1}{2}\cdot AN\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 12,26\cdot \sin 70^{\circ }\approx 1,7321\cdot 12,26\cdot 0,9397\approx 19,93\ne 29,95$, nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\hat{C}=180^{\circ }-70^{\circ }-50^{\circ }=60^{\circ }\ne 50^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Định lí sin: $AC=\frac{8\sqrt{3}\sin 50^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}\approx 12,26$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$AN=2\sqrt{3}$, $S_{ACN}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 12,26\cdot \sin 70^{\circ }\approx 19,93\ne 29,95$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình: người quan sát ở A, tháp là đoạn DB thẳng đứng, C là điểm trên tháp ngang tầm mắt nên AC ⊥ DB, khoảng cách ngang AC = 10 m, góc nâng lên đỉnh D là 45°, góc hạ xuống chân B là 10° (nên góc DAB = 55°).
a) Tam giác ADC vuông tại C có góc A = 45° nên góc ADC = 90° − 45° = 45°. Đúng.
b) Tam giác ACB vuông tại C, AC = 10, góc CAB = 10° nên AB = AC/cos10° = 10/cos10° ≈ 10,154 ≈ 10,15 m. Đúng.
c) CD = AC·tan45° = 10, nên S_{ACD} = ½·AC·CD = ½·10·10 = 50 m² ≠ 100 m². Sai.
d) Chiều cao tháp DB = DC + CB = 10 + 10·tan10° ≈ 10 + 1,76 = 11,76 m < 12 m. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ADC vuông tại C (AC nằm ngang, DC thẳng đứng), góc DAC = 45° nên góc ADC = 90° − 45° = 45°.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC = 10 m, góc CAB = 10°, tam giác ACB vuông tại C nên AB = 10/cos10° ≈ 10,15 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD = AC·tan45° = 10 m, diện tích ΔACD = ½·10·10 = 50 m², không phải 100 m².
d) (AI giải đề cho tôi)
Chiều cao tháp DB = DC + CB = 10 + 10·tan10° ≈ 11,76 m < 12 m.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam giác $ABH$ với $AH=150$, $AB=300$, $BH=250$. Đặt $K$ là chân đường vuông góc hạ từ $B$, với $A$, $H$ thẳng đứng trên một đường thẳng và $BK$ nằm ngang. Gọi $HK=x$ thì $AK=150+x$. Trong tam giác vuông $BHK$: $B{K}^2=250^2-x^2$; trong tam giác vuông $ABK$: $A{K}^2+B{K}^2=300^2$. Suy ra $(150+x{)}^2+62500-x^2=90000\Rightarrow 300x+22500=27500\Rightarrow x=\frac{50}{3}\approx 16,667$ m. Khi đó $B{K}^2=62500-\frac{2500}{9}=\frac{560000}{9}$, $AK=\frac{500}{3}$ m.

Tam giác vuông $ABK$: $\sin \widehat{ABK}=\frac{AK}{AB}=\frac{500/3}{300}=\frac{5}{9}\Rightarrow \widehat{ABK}\approx 33,749^{\circ }$.

Tam giác $ABH$ (định lí cosin): $\cos \widehat{ABH}=\frac{A{B}^2+B{H}^2-A{H}^2}{2\cdot AB\cdot BH}=\frac{90000+62500-22500}{150000}=\frac{13}{15}\Rightarrow \widehat{ABH}\approx 29,926^{\circ }$.

Vì tia $BH$ nằm giữa $BA$ và $BK$ nên $\widehat{KBH}=\widehat{ABK}-\widehat{ABH}\approx 33,749^{\circ }-29,926^{\circ }\approx 3,8^{\circ }$. Kết quả khớp với đáp số nguồn 3,8.