Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, nên $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin 30^{\circ }}=\frac{10}{2\cdot \frac{1}{2}}=10$. Vậy $R=10$, khớp với đáp án A của đề.

Trong tam giác ABC, ta có $AB=40m$; $\hat{A}=38^0$, $\hat{B}=62^0$. Ta cần tính AC.
Ta có $\hat{C}=180^0-\hat{A}-\hat{B}=180^0-38^0-62^0=80^0$ [Hình cần kiểm tra lại: p6_f3]
Áp dụng định lý sin ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$
$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{40.\sin 62^0}{\sin 80^0}$
$\approx 35,86(m)$. Vậy khoảng cách AC khoảng 35,86m.

Trong tam giác $ABC$, ta có $AB=40m$; $A=40^0$, $B=60^0$. Ta cần tính $AC$.
Ta có $C=180^0-A-B=180^0-40^0-60^0=80^0$ [Hình cần kiểm tra lại: p5_f2]
Áp dụng định lý sin ta có: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$
$\Rightarrow AC=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{40.\sin 60^0}{\sin 80^0}$
$\approx 35,18(m)$. Vậy khoảng cách $AC$ khoảng $35,18m$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng theo định lý sin: DE/sin F = EF/sin D = FD/sin E = 2R, nên DE/(2sin F) = EF/(2sin D) = FD/(2sin E) = R.
b) Sai. Định lý cosin áp dụng cho góc D (góc giữa hai cạnh DE, DF): EF² = DE² + DF² − 2·DE·DF·cos D, không phải cos E.
c) Tính EF² = 15² + 17² − 2·15·17·cos55° ≈ 514 − 510·0,5736 ≈ 221,5 nên EF ≈ 14,88 < 15 = DE, vậy DE > EF: đúng.
d) S = ½·DE·DF·sin55° = ½·15·17·sin55° ≈ 127,5·0,8192 ≈ 104,4, không phải 208,8: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: mỗi tỉ số bằng 2R, nên chia cho 2 được R.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là cos D (góc EDF) vì EF đối diện góc D: EF² = DE² + DF² − 2·DE·DF·cos D.
c) (AI giải đề cho tôi)
EF² ≈ 221,5 nên EF ≈ 14,88 < 15 = DE.
d) (AI giải đề cho tôi)
S = ½·15·17·sin55° ≈ 104,4 ≠ 208,8.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (hàng rào) với BC = 8, góc B = 74°, góc C = 61° nên góc A = 180° − 74° − 61° = 45°. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = BC/(2 sin A) = 8/(2 sin 45°) = 8/√2 = 4√2. Diện tích chuồng: S = πR² = π·32 = 32π ≈ 100,53 ≈ 101 m².

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$: $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2BC\cdot AC\cdot \cos C$, suy ra $\cos C=\frac{B{C}^2+A{C}^2-A{B}^2}{2BC\cdot AC}$. Do đó khẳng định đúng là phương án D. Phương án A sai vì thiếu hệ số 2 ở mẫu; B và C là công thức tính $\cos A$ và $\cos B$ chứ không phải $\cos C$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, cạnh $b$ đối diện góc $B$ nên $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{CA}{\sin B}=2R$, suy ra $\frac{CA}{2\sin B}=R$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AC = 15·2 = 30 hải lí, AB = 20·2 = 40 hải lí, góc CAB = 60°. Theo định lí cosin trong tam giác ABC: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 1600 + 900 − 2·40·30·(1/2) = 1300. Suy ra BC = √1300 ≈ 36,06 ≈ 36 hải lí. Kết quả trùng với đáp án nguồn (36).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, cạnh $a$ đối diện góc $A$ nên $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Do đó mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 1111, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Định lý cosin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên phát biểu B đúng. A sai vì $S=\frac{abc}{4R}$; C sai vì đúng phải là $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$; D sai vì theo định lý sin $\frac{a}{\sin A}=2R$. Khớp với đáp án nguồn: B (mã đề 209).

(AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên phát biểu A đúng. Xét các phương án còn lại: B sai vì định lí sin cho $\frac{a}{\sin A}=2R$ (không phải $R$); C sai vì dấu phải là trừ: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$; D sai vì diện tích tam giác là $S=\frac{abc}{4R}$ (không phải $\frac{abc}{R}$). Kết quả khớp đáp án nguồn: A (Mã đề 132).

Ta có: $\widehat{CBD}=\widehat{CAD}+\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{ACB}=48^{\circ }-37^{\circ }=11^{\circ }$.
Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\iff \frac{15}{\sin 11^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 37^{\circ }}\iff BC=\frac{15.\sin 37^{\circ }}{\sin 11^{\circ }}$.
Áp dụng định lí sin trong tam giác $BCD$, ta có:
$$\frac{BC}{\sin D}=\frac{CD}{\sin B}\iff \frac{BC}{\sin 90^{\circ }}=\frac{CD}{\sin 48^{\circ }}\iff CD=\frac{BC.\sin 48^{\circ }}{\sin 90^{\circ }}=BC.\sin 48^{\circ }$$
$$\iff CD=\frac{15.\sin 37^{\circ }}{\sin 11^{\circ }}.\sin 48^{\circ }$$
Vậy chiều cao của cây bằng $h=CD+1=\frac{5.\sin 37^{\circ }}{\sin 11^{\circ }}.\sin 48^{\circ }+1\approx 13m$

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \sin 150^{\circ }=12\cdot \frac{1}{2}=6$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=8^2+10^2-2\cdot 8\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=64+100-80=84$. Suy ra $c=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: C).

Ta có: $\widehat{CBD}=\widehat{CAD}+\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{ACB}=48^{\circ }-37^{\circ }=11^{\circ }$.
Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}\iff \frac{15}{\sin 11^{\circ }}=\frac{BC}{\sin 37^{\circ }}\iff BC=\frac{15.\sin 37^{\circ }}{\sin 11^{\circ }}$.
Áp dụng định lí sin trong tam giác $BCD$, ta có:
$$\frac{BC}{\sin D}=\frac{CD}{\sin B}\iff \frac{BC}{\sin 90^{\circ }}=\frac{CD}{\sin 48^{\circ }}\iff CD=\frac{BC.\sin 48^{\circ }}{\sin 90^{\circ }}=BC.\sin 48^{\circ }$$
$$\iff CD=\frac{15.\sin 37^{\circ }}{\sin 11^{\circ }}.\sin 48^{\circ }$$
Vậy chiều cao của cây bằng $h=CD+1=\frac{5.\sin 37^{\circ }}{\sin 11^{\circ }}.\sin 48^{\circ }+1\approx 13m$

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \sin 150^{\circ }=12\cdot \frac{1}{2}=6$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=64+100-2\cdot 8\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=164-80=84$. Vậy $c=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.