Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{25+9-36}{2\cdot 5\cdot 3}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}$. Suy ra $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-\frac{1}{225}}=\frac{\sqrt{224}}{15}=\frac{4\sqrt{14}}{15}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\hat{A}=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp:
$$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{50}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{50}{\sqrt{3}}\approx 28,868.$$

Bán kính đường tròn nội tiếp:
$$r=4R\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}=4\cdot \frac{50}{\sqrt{3}}\cdot \sin 30^{\circ }\cdot \sin 22,5^{\circ }\cdot \sin 37,5^{\circ }.$$

Tính từng thừa số: $\frac{200}{\sqrt{3}}\approx 115,470$; $\sin 30^{\circ }=0,5$; $\sin 22,5^{\circ }\approx 0,38268$; $\sin 37,5^{\circ }\approx 0,60876$.

Suy ra
$$r\approx 115,470\cdot 0,5\cdot 0,38268\cdot 0,60876\approx 13,4503.$$

Làm tròn đến hàng phần mười ta được $r\approx 13,5$. Vậy chọn $\mathbf{D}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có $A=B=C=60^{\circ }$. Theo công thức diện tích $S=\frac{abc}{4R}=2R^2\sin A\sin B\sin C$. Vì tam giác đều nên $\sin A=\sin B=\sin C$, do đó $S=2R^2{\sin }^{3}A$. Kiểm tra: cạnh $a=2R\sin 60^{\circ }=R\sqrt{3}$, diện tích $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$; còn $2R^2{\sin }^{3}60^{\circ }=2R^2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$ — khớp. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}$ với $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Heron, $p=\frac{a+b+c}{2}$). Vậy $r=\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}$, tương ứng phương án A. Kiểm tra: phương án B có mẫu $a+b+c=2p$ nên sai; C thiếu hệ số $p$ trong căn; D thừa hệ số 2.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}bc\sin 60^{\circ }=\frac{bc\sqrt{3}}{4}$. Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos 60^{\circ }=b^2+c^2-bc$. Chiều cao $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{bc\sqrt{3}}{2\sqrt{b^2+c^2-bc}}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{20+28+32}{2}=40$. Diện tích theo công thức Heron: $S=\sqrt{p(p-MN)(p-NP)(p-MP)}=\sqrt{40\cdot 20\cdot 12\cdot 8}=\sqrt{76800}=160\sqrt{3}\approx 277,1{\mathrm{m}}^2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn (thành giếng) bán kính $R$. Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R$, nên $2R=\frac{5}{\sin 145^{\circ }}=\frac{5}{\sin 35^{\circ }}\approx \frac{5}{0,5736}\approx 8,717$ m, suy ra $R\approx 4,359$ m. Diện tích giếng: $S=\pi R^2\approx 3,14\cdot (4,359{)}^2\approx 3,14\cdot 18,997\approx 59,68{\mathrm{m}}^2$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AB=c=5, BC=a=7, CA=b=8.
a) Đúng: định lí cosin cho góc A: AB² = BC² + AC² − 2·BC·AC·cos A.
b) Sai: cos A = (AB²+AC²−BC²)/(2·AB·AC) = (25+64−49)/80 = 1/2, nên A = 60°, không phải 30°.
c) Sai: đường trung tuyến từ A: m_a² = (2b²+2c²−a²)/4 = (128+50−49)/4 = 129/4, nên m_a = √129/2, không phải √129.
d) Đúng: MC = 2MB và BC = 7 nên MB = 7/3, MC = 14/3. Theo định lí Stewart: AM² = (AC²·MB + AB²·MC)/BC − MB·MC = (64·7/3 + 25·14/3)/7 − 98/9 = 38 − 98/9 = 244/9, nên AM = 2√61/3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định lí cosin áp dụng cho góc A: AB² = BC² + AC² − 2·BC·AC·cos A.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos A = (25+64−49)/(2·5·8) = 40/80 = 1/2, suy ra A = 60° chứ không phải 30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
m_a² = (2·AC² + 2·AB² − BC²)/4 = (128+50−49)/4 = 129/4, nên m_a = √129/2 ≈ 5,68, không phải √129.
d) (AI giải đề cho tôi)
MB = 7/3, MC = 14/3. Stewart: AM² = (64·7/3 + 25·14/3)/7 − (7/3)(14/3) = 38 − 98/9 = 244/9, nên AM = 2√61/3.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có b = AC = 10, a = BC = 12, B = 45°.
a) Theo định lý sin, BC/sin B = 2R nên R = BC/(2sin B). Đúng.
b) sin A = a·sin B/b = 12·(√2/2)/10 = 3√2/5 ≈ 0,849 ≠ 5√2/12 ≈ 0,589. Sai.
c) 2R = b/sin B = 10/(√2/2) = 10√2 ⇒ R = 5√2. Đúng.
d) Vì a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C nên 3sin A − 2sin B − sin C = (3a − 2b − c)/(2R) = (3BC − 2AC − AB)/(2R). Do đó tỉ số bằng 2R = 10√2 (mẫu số khác 0 vì 3sin A − 2sin B − sin C ≈ 0,52). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: BC/sin B = 2R ⇒ R = BC/(2sin B).
b) (AI giải đề cho tôi)
sin A = BC·sin B/AC = 12·(√2/2)/10 = 3√2/5, không bằng 5√2/12.
c) (AI giải đề cho tôi)
2R = AC/sin B = 10√2 ⇒ R = 5√2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C, mẫu số = (3BC − 2AC − AB)/(2R), nên tỉ số = 2R = 10√2.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cos C = 0,8 > 0 nên góc C nhọn (a đúng), sin C = 0,6. Theo định lý sin: AB/sin C = AC/sin B ⇒ AB = 20·0,6/(√3/2) = 24/√3 = 8√3 (b đúng). Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = AC/(2 sin B) = 20/(2·(√3/2)) = 20/√3 = 20√3/3 (c đúng). Góc A = 180° − 60° − C nên sin A = sin(B+C) = sin60°·cosC + cos60°·sinC = (√3/2)(0,8) + (1/2)(0,6) = (4√3+3)/10 ≈ 0,993. Cạnh BC = AC·sin A/sin B = 20·(4√3+3)/10 ÷ (√3/2) = 16 + 4√3. Đường trung tuyến từ A: m_a² = (2AB² + 2AC² − BC²)/4 = (2·192 + 2·400 − (16+4√3)²)/4 = (1184 − (304 + 128√3))/4 = 220 − 32√3 ≈ 164,57 ⇒ m_a ≈ 12,83 < 13 (d SAI). Ba phát biểu a, b, c đúng; phát biểu d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos C = 0,8 > 0 nên góc C là góc nhọn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo định lý sin: AB = AC·sin C/sin B = 20·0,6/(√3/2) = 8√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = AC/(2 sin B) = 20/√3 = 20√3/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin A = (4√3+3)/10 ≈ 0,993; BC = 16 + 4√3; m_a² = 220 − 32√3 ≈ 164,57 ⇒ m_a ≈ 12,83 < 13 nên phát biểu d SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $m_a=15,m_b=18,m_c=27$ là ba trung tuyến. Công thức đổi trung tuyến ra cạnh: $a^2=\frac{4}{9}(2m_b^2+2m_c^2-m_a^2)$, v.v.
- $a^2=\frac{4}{9}(2\cdot 324+2\cdot 729-225)=\frac{4}{9}\cdot 1881=836\Rightarrow BC=2\sqrt{209}$.
- $b^2=\frac{4}{9}(2\cdot 225+2\cdot 729-324)=\frac{4}{9}\cdot 1584=704\Rightarrow AC=8\sqrt{11}$.
- $c^2=\frac{4}{9}(2\cdot 225+2\cdot 324-729)=\frac{4}{9}\cdot 369=164\Rightarrow AB=2\sqrt{41}$.

a) Định lí cosin tại đỉnh $A$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos A$, không phải $\cos \hat{B}$ → sai.

b) $BC=\sqrt{836}=2\sqrt{209}$ → đúng.

c) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{704+164-836}{2\cdot 8\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{41}}=\frac{32}{32\sqrt{451}}=\frac{1}{\sqrt{451}}$, nên $\sin A=\sqrt{1-\frac{1}{451}}=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{451}}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\sqrt{11}\cdot 2\sqrt{41}\cdot \frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{451}}=8\sqrt{451}\cdot \frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{451}}=120\sqrt{2}$ → đúng.

d) $H$ là trọng tâm nên $H$ nằm trên trung tuyến $AI$; $D$ đối xứng với $H$ qua $I$ nên $D$ cũng nằm trên đường thẳng $AI$. Suy ra $A,H,D$ thẳng hàng, diện tích tam giác $AHD$ bằng $0$, không phải $60\sqrt{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \hat{A}$ (góc xen giữa hai cạnh $AB,AC$ là góc $A$, không phải góc $B$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=\frac{4}{9}(2m_b^2+2m_c^2-m_a^2)=\frac{4}{9}(648+1458-225)=836\Rightarrow BC=2\sqrt{209}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $AC=8\sqrt{11},AB=2\sqrt{41}$, ta có $\cos A=\frac{1}{\sqrt{451}}$, $\sin A=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{451}}$, $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=120\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $H$ nằm trên trung tuyến $AI$, và $D$ đối xứng với $H$ qua $I$ cũng nằm trên đường thẳng $AI$. Ba điểm $A,H,D$ thẳng hàng nên diện tích tam giác $AHD$ bằng $0$, không phải $60\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật AMNB nội tiếp nửa đường tròn tâm O bán kính R=1, M, N nằm trên nửa đường tròn, A, B trên đường kính.
a) M nằm trên nửa đường tròn nên OM = R = 1 m. Đúng.
b) AM = 0,8; tam giác OAM vuông tại A (vì MA ⊥ đường kính) nên OA = √(OM² − AM²) = √(1 − 0,64) = 0,6. Diện tích ΔAMO = ½·OA·AM = ½·0,6·0,8 = 0,24 m². Đúng.
c) Chu vi = 2(AM + AB) = 1 + 2√3 ⇒ AB = √3. Khi đó OA = AB/2 = √3/2, kiểm tra: OA² + AM² = 3/4 + 1/4 = 1 = OM², thỏa mãn. Diện tích đất trồng hoa = AB·AM = √3·0,5 = √3/2 m² ≠ √3 m². Sai.
d) OA = OM·cosα = cosα, AM = OM·sinα = sinα, nên AB = 2cosα và diện tích = AB·AM = 2sinα·cosα. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
M nằm trên nửa đường tròn bán kính R = 1 nên OM = 1 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác OAM vuông tại A: OA = √(1 − 0,8²) = 0,6; S = ½·0,6·0,8 = 0,24 m².
c) (AI giải đề cho tôi)
Chu vi 1 + 2√3 ⇒ AB = √3; diện tích = AB·AM = √3·0,5 = √3/2 m², không phải √3 m².
d) (AI giải đề cho tôi)
OA = cosα, AM = sinα ⇒ S = AB·AM = 2cosα·sinα = 2sinαcosα.

(AI giải đề cho tôi)
Vì AH ⊥ HB nên AB = √(AH² + HB²) = √(16+400) = 4√26 ≈ 20,40 m.
a) Diện tích ΔAHB = ½·AH·HB = ½·4·20 = 40 m². Đúng.
b) Nếu ∠ACB = 45° thì ∠ABC = 90°, khi đó AC = AB/sin45° = 4√26·√2 = 8√13 ≈ 28,84 m ≠ 10 m. Sai.
c) tan∠ABH = AH/HB = 4/20 = 0,2 ⇒ ∠ABH ≈ 11°19' (11,31°). Vì BC là thân cây thẳng đứng nên ∠ABC = 90° − ∠ABH ≈ 78°41'. Đúng.
d) Trong ΔABC: ∠C = 180° − 45° − 78°41' ≈ 56°19'. Theo định lý sin: BC = AB·sin45°/sin∠C ≈ 20,40·0,7071/0,8321 ≈ 17,33 m < 18 m. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
ΔAHB vuông tại H: S = ½·AH·HB = ½·4·20 = 40 m².
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu ∠ACB = 45° thì ∠ABC = 90° và AC = AB/sin45° = 8√13 ≈ 28,84 m ≠ 10 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan∠ABH = 4/20 = 0,2 ⇒ ∠ABH ≈ 11°19'; ∠ABC = 90° − ∠ABH ≈ 78°41'.
d) (AI giải đề cho tôi)
∠C ≈ 56°19'; BC = AB·sin45°/sin∠C ≈ 17,33 m < 18 m nên chiều cao cây không quá 18 m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \hat{A}=16^2+33^2-2\cdot 16\cdot 33\cdot \cos 45^{\circ }=1345-528\sqrt{2}\approx 598,28$, nên $BC\approx 24,46$ km.

a) Sai: công thức đúng có dấu trừ $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \hat{A}$, không phải dấu cộng.

b) Đúng: $B{C}^2\approx 598,28\Rightarrow BC\approx 24,46$ km.

c) Sai: diện tích tam giác là $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \hat{A}$ (dùng sin, không phải cos).

d) Đúng: $S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 33\cdot \sin 45^{\circ }=264\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 186,68\approx 187$ km².
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \hat{A}$; đề viết dấu cộng nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=256+1089-1056\cos 45^{\circ }=1345-528\sqrt{2}\approx 598,28\Rightarrow BC\approx 24,46$ km.
c) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác là $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin \hat{A}$, không phải $\cos \hat{A}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 16\cdot 33\cdot \sin 45^{\circ }=132\sqrt{2}\approx 186,68\approx 187$ km².

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 71: $C$, $A$, $B$ thẳng hàng theo thứ tự đó, $AB=24$ m, góc nâng tại $A$ là $\widehat{CAD}=63^{\circ }$, góc nâng tại $B$ là $\widehat{CBD}=48^{\circ }$.

a) Vì $A$ nằm giữa $C$ và $B$ nên tia $AB$ đối tia $AC$, do đó $\widehat{DAB}=180^{\circ }-63^{\circ }=117^{\circ }$; tia $BA$ trùng tia $BC$ nên $\widehat{ABD}=48^{\circ }$. Suy ra $\widehat{ADB}=180^{\circ }-117^{\circ }-48^{\circ }=15^{\circ }$ (bằng $63^{\circ }-48^{\circ }$). Vậy phát biểu $\widehat{ADB}=25^{\circ }$ là SAI.

b) Định lí sin trong tam giác $ABD$ cho $\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}=\frac{AD}{\sin \widehat{ABD}}$. ĐÚNG.

c) $AD=\frac{AB\cdot \sin 48^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}=\frac{24\cdot 0,7431}{0,2588}\approx 68,9$ m, không phải $69,8$ m. SAI.

d) $h=CD=AD\cdot \sin 63^{\circ }\approx 68,9\cdot 0,8910\approx 61,4$ m. Kiểm tra: $h=\frac{AB}{\cot 48^{\circ }-\cot 63^{\circ }}=\frac{24}{0,9004-0,5095}\approx 61,4$ m, khớp đáp án D của câu trắc nghiệm gốc. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\widehat{DAB}=180^{\circ }-63^{\circ }=117^{\circ }$, $\widehat{ABD}=48^{\circ }$, nên $\widehat{ADB}=180^{\circ }-117^{\circ }-48^{\circ }=15^{\circ }\ne 25^{\circ }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đây chính là định lí sin áp dụng cho tam giác $ABD$: $\frac{AB}{\sin \widehat{ADB}}=\frac{AD}{\sin \widehat{ABD}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AD=\frac{24\sin 48^{\circ }}{\sin 15^{\circ }}\approx 68,9$ m, không phải $69,8$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $h=AD\sin 63^{\circ }\approx 68,9\cdot 0,8910\approx 61,4$ m, khớp đáp án D. 61,4 của câu trắc nghiệm gốc.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AB = 20·2 = 40 hải lí, AC = 15·2 = 30 hải lí, góc BAC = 60°. Theo định lí cosin: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 1600 + 900 − 2·40·30·(1/2) = 1300. Suy ra BC = √1300 ≈ 36,06 ≈ 36 hải lí. Kết quả khớp với đáp số 36 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d$ là khoảng cách ngang từ $A$ đến tòa nhà, $h$ là chiều cao tòa nhà. Chân cột $C$ cao $h$, đỉnh $B$ cao $h+5$, mắt quan sát $A$ cao 7 m. Theo hình vẽ: $\tan 40^{\circ }=\frac{h-7}{d}$ và $\tan 50^{\circ }=\frac{h+5-7}{d}=\frac{h-2}{d}$. Trừ hai phương trình: $d(\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ })=5$, nên $d=\frac{5}{1,19175-0,83910}\approx 14,178$ m. Suy ra $h=7+d\tan 40^{\circ }\approx 7+14,178\cdot 0,83910\approx 18,9$ m. Kết quả khớp với đáp số 18,9.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, tổng ba góc bằng $180^{\circ }$ nên $\hat{A}=180^{\circ }-88^{\circ }-85^{\circ }=7^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$, suy ra $AB=\frac{50\cdot \sin 85^{\circ }}{\sin 7^{\circ }}\approx \frac{50\cdot 0,9962}{0,1219}\approx 408,7$ m. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $AB\approx 409$ m, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $E$ là chân tượng, $A$ đỉnh, $B$ đáy tượng, $AB$ nằm trên đường thẳng đứng $AE$. Điểm $D$ nằm phía đối diện với $E$ qua $C$ (theo hình chụp), nên tia $CD$ khác phía tia $CE$.

**Bước 1: Tính $BC$ trong tam giác $BCD$.**
Vì $\widehat{BCE}=52^{\circ }$ và $D$ khác phía $E$ đối với $C$ nên $\widehat{BCD}=180^{\circ }-52^{\circ }=128^{\circ }$. Kết hợp $\widehat{BDC}=23^{\circ }$:
$$\widehat{CBD}=180^{\circ }-128^{\circ }-23^{\circ }=29^{\circ }.$$
Định lý sin trong tam giác $BCD$:
$$BC=\frac{CD\sin 23^{\circ }}{\sin 29^{\circ }}=\frac{200\sin 23^{\circ }}{\sin 29^{\circ }}\approx \frac{200\cdot 0,3907}{0,4848}\approx 161,17\text{ m}.$$

**Bước 2: Tính $AB$ trong tam giác $ABC$.**
$\widehat{ACB}=\widehat{ACE}-\widehat{BCE}=67^{\circ }-52^{\circ }=15^{\circ }$.
Vì $AB$ thẳng đứng, $CE$ nằm ngang nên góc giữa $BC$ và phương thẳng đứng là $90^{\circ }-52^{\circ }=38^{\circ }$, suy ra
$$\widehat{ABC}=180^{\circ }-38^{\circ }=142^{\circ },\widehat{BAC}=180^{\circ }-142^{\circ }-15^{\circ }=23^{\circ }.$$
Định lý sin trong tam giác $ABC$:
$$AB=\frac{BC\sin 15^{\circ }}{\sin 23^{\circ }}\approx \frac{161,17\cdot 0,2588}{0,3907}\approx 106,7\approx 107\text{ m}.$$

Vậy chiều cao bức tượng $AB\approx 107$ m, trùng với đáp số đã cho.