Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=15\cdot 2=30$ hải lí, tàu thứ hai đi được $AC=12\cdot 2=24$ hải lí, với góc $BAC=45°$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 45°=900+576-2\cdot 30\cdot 24\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1476-720\sqrt{2}\approx 457,77$. Suy ra $BC\approx 21,4\approx 21$ hải lí.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi C là vị trí quan sát (cao 5 m so với mặt đất), kẻ đường ngang từ C cắt đường thẳng đi qua cột cờ tại D, khi đó CD = 18 m. Chân cột cờ trùng với đỉnh toà nhà là điểm A, đỉnh cột cờ là điểm B. Góc nâng quan sát chân cột (đỉnh toà nhà) là góc ACD = 40°, góc nâng quan sát đỉnh cột là góc BCD = 50°.

Trong tam giác vuông ACD (vuông tại D):
$$AD=CD\cdot \tan 40^{\circ }=18\cdot \tan 40^{\circ }\approx 18\cdot 0,8391\approx 15,10\text{m}.$$

Chiều cao toà nhà (tính từ mặt đất):
$$h_{\text{toaˋ nhaˋ}}=AD+5\approx 15,10+5=20,10\text{m}.$$

Trong tam giác vuông BCD (vuông tại D):
$$BD=CD\cdot \tan 50^{\circ }=18\cdot \tan 50^{\circ }\approx 18\cdot 1,1918\approx 21,45\text{m}.$$

Chiều cao cột cờ:
$$AB=BD-AD=18(\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ })\approx 21,45-15,10=6,35\text{m}.$$

Kết luận: chiều cao cột cờ xấp xỉ 6,35 m và chiều cao toà nhà xấp xỉ 20,10 m.

(AI giải đề cho tôi)
Định lý cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ đúng. B sai vì tỉ số bằng $2R$ (không phải $2r$). C sai vì $S=\frac{abc}{4R}$. D sai vì công thức Heron là $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác $ABC$: $S=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot \sin \widehat{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{3}\cdot \sin 60^{\circ }=\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $TO=h$ là chiều cao cột đèn. Vì $\widehat{TAO}=55^0$ nên $h=AO\cdot \tan 55^0$; vì $\widehat{TBO}=65^0$ nên $h=OB\cdot \tan 65^0$. Mà $AO+OB=10$, suy ra $AO=\frac{10\tan 65^0}{\tan 55^0+\tan 65^0}\approx \frac{21,445}{3,5726}\approx 6,003$ m, nên $h\approx 6,003\cdot \tan 55^0\approx 8,573$ m. Tia sáng từ $T$ qua đỉnh đầu bạn An (cao $1,78$ m tại $A$) gặp đất tại $M$, nên tam giác đồng dạng cho $\frac{h}{MO}=\frac{1,78}{MA}$, tức $\frac{MO}{MA}=\frac{h}{1,78}\approx \frac{8,573}{1,78}\approx 4,82\in (4;5)$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $BC=a=4$, $AB=c=6$, $AC=b=8$.

a) Theo định lý cosin: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{36+16-64}{48}=-\frac{1}{4}$, nên $\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=3\sqrt{15}c{m}^2$. → Đúng.

b) Vì $\cos B=-\frac{1}{4}<0$ nên góc $B$ tù (kiểm tra $\cos A=\frac{36+64-16}{96}=\frac{7}{8}>0$, $\cos C=\frac{64+16-36}{64}=\frac{11}{16}>0$). Vậy tam giác tù. → Đúng.

c) $\cos B=-\frac{1}{4}$, không phải $\frac{1}{4}$. → Sai.

d) Định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$, tức $\frac{4}{\sin A}=\frac{6}{\sin C}$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{36+16-64}{48}=-\frac{1}{4}$, $\sin B=\frac{\sqrt{15}}{4}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=3\sqrt{15}c{m}^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=-\frac{1}{4}<0$ nên góc $B$ tù; tam giác là tam giác tù.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=-\frac{1}{4}$ (âm), không phải $\frac{1}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$, tức $\frac{4}{\sin A}=\frac{6}{\sin C}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có $\hat{C}=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 60^{\circ }}$ nên $BC=13\cdot \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=13\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 10,614$ cm. Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 75^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 13\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sin 75^{\circ }\approx 66,7\approx 67c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $\hat{C}=180^{\circ }-50^{\circ }-60^{\circ }=70^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin \hat{A}}=\frac{AB}{\sin \hat{C}}$, nên $BC=\frac{105\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}\approx \frac{105\cdot 0,7660}{0,9397}\approx 85,57\approx 86$ m. Vậy con tàu cách người $B$ khoảng $86$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Suy ra $a\sin B=b\sin A$ (nhân chéo $a\sin B=b\sin A$ từ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$) đúng; $b\sin C=c\sin B$ đúng. Còn $a\sin A=b\sin B=c\sin C$ chỉ đúng khi $a=b=c$, nói chung sai. Vậy phát biểu sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=13^2+15^2-2\cdot 13\cdot 15\cdot \cos 60^{\circ }=169+225-195=199$. Suy ra $BC=\sqrt{199}\approx 14,1m$. Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{195\sqrt{3}}{4}\approx 84,4m^2$. Vậy chiều dài hàng rào $BC\approx 14,1m$ và diện tích khu vườn $\approx 84,4m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, nên A sai (thiếu hệ số 2), C sai (thừa/đúng phải là $2bc\cos A$). Định lí cosin cho góc $B$: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$, nên B sai (mẫu phải là $2ac$ chứ không phải $2ab$). Với góc $C$ (đối diện cạnh $c$, kề hai cạnh $a,b$): $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, đúng. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có AC = 388 m, BC = 212 m, góc C = 82,4°.
a) Theo định lí cosin: AB² = 388² + 212² − 2·388·212·cos82,4° ≈ 195488 − 164512·0,13226 ≈ 173730, nên AB ≈ 416,8 ≈ 417 m. Đúng.
b) Diện tích tam giác: S = ½·388·212·sin82,4° ≈ 40787 m². Khoảng cách từ C đến AB: h = 2S/AB ≈ 81574/416,8 ≈ 195,7 ≈ 196 m ≠ 190 m. Sai.
c) Đi qua C: AC + CB = 600 m; đường hầm 417 m; tiết kiệm 183 m. Thời gian tiết kiệm = 0,183/4 h ≈ 0,04575 h ≈ 2,745 phút ≈ 3 phút. Đúng.
d) Định lí sin: sinB = AC·sinC/AB = 388·sin82,4°/416,8 ≈ 0,9229, và góc A = arcsin(212·sin82,4°/416,8) ≈ 30,3° nên B ≈ 180° − 82,4° − 30,3° ≈ 67,3° ≈ 67° ≠ 57°. Sai.
Kết quả khớp đáp án mã đề 1002: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB² = 388² + 212² − 2·388·212·cos82,4° ≈ 173730 nên AB ≈ 416,8 ≈ 417 m. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
h = (AC·BC·sinC)/AB ≈ (388·212·sin82,4°)/416,8 ≈ 195,7 ≈ 196 m ≠ 190 m. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiết kiệm quãng đường 600 − 417 = 183 m; thời gian = 0,183/4 h ≈ 2,745 ≈ 3 phút. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
sinB = 388·sin82,4°/416,8 ≈ 0,9229, góc A ≈ 30,3° nên B ≈ 67° ≠ 57°. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tứ giác ABCD thành hai tam giác ABD và BCD.

Tam giác BCD: BC = CD = 4, góc C = 120°. Diện tích $S_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin 120°=4\sqrt{3}\approx 6,9282$ m². Theo định lí cosin: $B{D}^2=4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cos 120°=48\Rightarrow BD=4\sqrt{3}$. Tam giác BCD cân tại C nên $\widehat{DBC}=30°$, suy ra $\widehat{ABD}=100°-30°=70°$.

Tam giác ABD: $S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BD\cdot \sin 70°=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\sqrt{3}\cdot \sin 70°=12\sqrt{3}\sin 70°\approx 19,5327$ m².

Diện tích mảnh đất: $S=4\sqrt{3}+12\sqrt{3}\sin 70°\approx 26,4609$ m².

Số tiền lát gạch: $a=26,4609\times 400\approx 10584,4$ nghìn đồng. Vậy $\frac{a}{4}\approx 2646$ (làm tròn đến hàng đơn vị), khớp với đáp án nguồn 2646.

Lời giải:
Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{13+14+15}{2}=21$. (0,25 đ)
Diện tích của tam giác $ABC$ là
$S=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)}=\sqrt{21\cdot (21-13)\cdot (21-14)\cdot (21-15)}=84$. (0,25 đ)
Gọi $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Ta có: $S=\frac{abc}{4R}$. (0,25 đ)
$R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{65}{8}$ (0,25 đ)

Lời giải:
[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]
Trong tam giác $AKI$ ta có: $\widehat{IAK}=180^{\circ }-\widehat{AIK}-\widehat{AKI}=180^{\circ }-60^{\circ }-50^{\circ }=70^{\circ }$. (0,25 đ)
Áp dụng định lí sin vào tam giác $AKI$ ta có:
$$\frac{AK}{\sin \widehat{AIK}}=\frac{IK}{\sin \widehat{KAI}}\Rightarrow AK=\frac{IK\cdot \sin \widehat{AIK}}{\sin \widehat{KAI}}=\frac{380\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}\approx 350,21(m).$$ (0,25 đ)
Lại có: $\widehat{KAB}=180^{\circ }-\widehat{KAI}=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.
Áp dụng định lí sin vào tam giác $AKB$ ta có:
$$\frac{AB}{\sin \widehat{AKB}}=\frac{AK}{\sin \widehat{ABK}}\Rightarrow AB=\frac{AK\cdot \sin \widehat{AKB}}{\sin \widehat{ABK}}\approx \frac{350,21\cdot \sin (65^{\circ }-50^{\circ })}{\sin (180^{\circ }-110^{\circ }-15^{\circ })}\approx 111(m).$$ (0,5 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó các hệ thức ở A, B, C đều đúng. Hệ thức $\frac{c}{\sin C}=R$ ở D sai vì phải bằng $2R$, không phải $R$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$, cạnh $b=AC$ đối diện góc $B$, nên $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng mã đề 1002.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Do đó các hệ thức ở A, B, D đều đúng, còn $\frac{c}{\sin C}=R$ ở C là sai (đúng phải là $2R$). Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính đường chéo BD. Trong tam giác BCD: BC=CD=4, góc C=120° nên BD²=16+16−2·16·cos120°=48, BD=4√3; diện tích S_BCD=½·4·4·sin120°=4√3≈6,928 m². Góc DBC = (180°−120°)/2 = 30°, nên góc ABD = 100°−30° = 70°. Diện tích tam giác ABD: S=½·AB·BD·sin70°=½·6·4√3·sin70°=12√3·sin70°≈19,532 m². Tổng diện tích mảnh đất ≈ 26,460 m². Số tiền a = 400·26,460 ≈ 10584,1 nghìn đồng, nên a/4 ≈ 2646 (làm tròn đến hàng đơn vị). Khớp với đáp án nguồn 2646.