Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba với hệ số $a>0$, có điểm cực đại bên trái trục tung, điểm cực tiểu tiếp xúc trục hoành tại hoành độ dương, và cắt trục tung tại điểm có tung độ dương. Xét $y=x^3-3x+2$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; cực đại tại $x=-1$ với $y(-1)=4$, cực tiểu tại $x=1$ với $y(1)=0$ (tiếp xúc trục hoành), $y(0)=2>0$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Loại B vì $a<0$ (đồ thị đi lên từ trái sang phải ngược lại); loại C vì $y^{\prime }=3x^2+2x=0\iff x=0$ hoặc $x=-2/3$, cực trị không phù hợp; loại D vì là parabol bậc hai. Đáp án trùng bảng đáp án nguồn (mã đề 259, câu 10 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số bậc ba với hệ số $a>0$ (nhánh trái xuống, nhánh phải lên), đi qua điểm cực đại tại $x=-1$ với $y=0$, điểm cực tiểu tại $x=1$ với $y=-4$, và cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$. Xét $y=x^3-3x-2$: có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3-2=0$ (cực đại), $y(1)=1-3-2=-4$ (cực tiểu), $y(0)=-2$. Tất cả khớp với đồ thị. Các phương án khác: B có $y(0)=2$ (không đúng dấu chặn trục tung), D có $a<0$ (ngược chiều nhánh), A có $y(0)=-2$ nhưng $y^{\prime }=x^2-7/3$ cho cực trị tại $x=\pm \sqrt{7/3}\approx \pm 1,53$ và giá trị cực trị không khớp. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 132, câu 10: C).

Từ hình vẽ, ta thấy nhánh cuối đồ thị hàm số đi lên nên loại đáp án B, C. Đồ thị hàm số cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;1)$. Khi đó, chỉ có hàm số $y=x^3-3x+1$ thỏa mãn

Từ hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x=-1$ và đi qua điểm $(0;5)$, $(-3;-4)$. Do đó, chỉ có hàm số $y=\frac{x^2+2x+5}{x+1}$ thỏa mãn các điều kiện trên

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đi qua điểm $(0;1)$ và cắt trục hoành tại $(1;0)$. Xét $y=\frac{-x+1}{x+1}$: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-1$; tại $x=0$ thì $y=1$; tại $x=1$ thì $y=0$. Các phương án khác: A cho $y(0)=2$; B cho $y(0)=0$; C có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đi từ $+\infty$ xuống $-\infty$ nên là hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ âm; có điểm cực tiểu tại $x=-1$ với $f(-1)=0$ và điểm cực đại tại $x=1$ với $f(1)=4$. Xét đáp án B: $y=-x^3+3x+2$ có $y^{\prime }=-3x^2+3=-3(x-1)(x+1)$, nên $y^{\prime }=0$ tại $x=\pm 1$; với $x<-1$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến), $-1<x<1$ thì $y^{\prime }>0$ (đồng biến), $x>1$ thì $y^{\prime }<0$ (nghịch biến). Ngoài ra $f(-1)=1-3+2=0$ và $f(1)=-1+3+2=4$, khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các đáp án khác: A có $y^{\prime }=-3x(x+2)$ với nghiệm $0,-2$ (loại); C có hệ số $x^3$ dương (loại); D có $y^{\prime }=3x^2-3$ nhưng $f(-1)=6\ne 0$ (loại). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x$ (đường nét đứt qua gốc $O$). Xét $y=\frac{x^2+x+1}{x+1}=x+\frac{1}{x+1}$: có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận xiên $y=x$; đồ thị đi qua điểm $(-2;-3)$ vì $y(-2)=\frac{4-2+1}{-1}=-3$ (khớp với điểm $(-2;-3)$ trên hình) và $y(0)=1$ (cực tiểu trên nhánh phải, khớp hình). Các phương án khác: A có $y(-2)=-2+1=-1\ne -3$; B là hàm phân thức bậc nhất có tiệm cận ngang, không có tiệm cận xiên; D có $y(-2)=\frac{4+2+1}{-1}=-7\ne -3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho hàm số có hai điểm tới hạn $x=-1$ (điểm cực tiểu, giá trị $-1$) và $x=1$ (điểm cực đại, giá trị $3$), hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, đồng biến trên $(-1;1)$, và đi từ $+\infty$ đến $-\infty$ (hàm bậc ba với hệ số của $x^3$ âm). Xét $y=-x^3+3x+1$: có $y^{\prime }=-3x^2+3$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$. Với $x=-1$: $y(-1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu); với $x=1$: $y(1)=-1+3+1=3$ (cực đại). $y^{\prime }<0$ khi $|x|>1$ và $y^{\prime }>0$ khi $|x|<1$, đúng với bảng biến thiên. Các phương án khác: A và D là hàm phân thức (có tiệm cận, không phải bậc ba); B: $y=x^3-3x$ có $y^{\prime }=3x^2-3$, cực đại tại $x=-1$ với giá trị $2$ và cực tiểu tại $x=1$ với giá trị $-2$, ngược với bảng. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho thấy: hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=1$ (vì $y\to 1$ khi $x\to \pm \infty$). Xét $y=\frac{x+1}{x-2}$: $y^{\prime }=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-3}{(x-2{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm nghịch biến trên từng khoảng. Khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$; khi $x\to 2^{+}$ thì $y\to +\infty$; khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 1$. Khớp hoàn toàn với bảng biến thiên. Các phương án khác: A là hàm bậc ba (không có tiệm cận); C có tiệm cận đứng $x=1$ và $y\to \pm \infty$ khi $x\to \pm \infty$ (không có tiệm cận ngang $y=1$); D có tiệm cận đứng $x=-2$ (khác $x=2$). Đáp án khớp với đáp án nguồn là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có dạng đi lên ở hai đầu (đuôi trái đi xuống, đuôi phải đi lên) nên hệ số của $x^3$ dương, loại B, C. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương (gần $y=1$) và có hai điểm cực trị (cực đại bên trái gốc O, cực tiểu bên phải O). Với $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ ($y=3$), cực tiểu tại $x=1$ ($y=-1$), và $f(0)=1$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ. Hàm $y=x^3+3x+1$ có $y^{\prime }=3x^2+3>0$ nên đồng bộ, không có cực trị, loại A. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (trang 20).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có dạng đi lên từ $-\infty$ đến $+\infty$ (chiều đi lên hai đầu), nên hệ số $a>0$, loại A, B. Trên hình, hàm số có cực đại tại điểm bên trái trục tung và cực tiểu tại điểm bên phải trục tung, đồng thời đồ thị cắt trục tung tại điểm có hoành độ dương nhỏ. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $y^{\prime \prime }=6x$ nên cực đại tại $x=-1$ ($y(-1)=3$), cực tiểu tại $x=1$ ($y(1)=-1$), và $y(0)=1>0$. Điều này khớp với đồ thị: cực đại bên trái trục $Oy$, cực tiểu bên phải, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Các phương án khác: $y=x^3+3x+1$ đơn điệu tăng (không có cực trị); $y=-x^3\pm 3x+1$ có $a<0$ (hai đầu đi xuống). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có dạng đi lên – đi xuống – đi lên (tăng, giảm, tăng) nên hệ số của $x^3$ là dương, loại B và D. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương bằng 1, phù hợp hằng số $+1$. Với $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; hàm đạt cực đại tại $x=-1$ (bên trái trục $y$) và cực tiểu tại $x=1$ (bên phải), đúng như hình vẽ (cực đại phía trái trục tung, cực tiểu phía phải). Với $y=x^3+3x+1$ thì $y^{\prime }=3x^2+3>0$, hàm số luôn đồng biến, không có cực trị — loại C. Vậy đáp án là $y=x^3-3x+1$, khớp với đáp án nguồn (Câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm bậc ba đi lên ở hai đầu (đồng biến vô cực) nên hệ số của $x^3$ là dương, loại A và B. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương bằng 1, tức $y(0)=1$ (thỏa cả C và D). Trên đồ thị, hàm số có cực đại bên trái gốc O và cực tiểu bên phải O, tức là hàm có hai điểm cực trị, nên $y^{\prime }=3x^2+3a$ với $a<0$. Với $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, cực đại tại $x=-1$ (bên trái O), cực tiểu tại $x=1$ (bên phải O), khớp hoàn toàn với hình vẽ. Với $y=x^3+3x+1$ thì $y^{\prime }=3x^2+3>0$ không có cực trị, loại D. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đồng thời đi qua điểm $(0;-1)$. Với $y=\frac{x+1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$ (bậc tử bằng bậc mẫu), và $y(0)=\frac{1}{-1}=-1$ khớp với đồ thị. Với $y=\frac{2x-1}{x-1}$ thì $y(0)=1$ (loại C); $y=x^3-3x-1$ không có tiệm cận (loại B); $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$ có tiệm cận xiên $y=x$ chứ không phải tiệm cận ngang (loại D). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x+2$ là đa thức nên xác định trên $\mathbb{R}$, phát biểu a đúng. Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-3$ (không phải $3x^2-3x$), phát biểu b sai. Trên đoạn $[-2;2]$: $f(-2)=0$, $f(2)=4$, $y^{\prime }=0\iff x=\pm 1$ với $f(-1)=4$, $f(1)=0$, nên GTLN bằng 4, phát biểu c đúng. Vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-1$ nên hàm đạt cực đại tại $x=-1$ (cực tiểu tại $x=1$), phát biểu d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức nên xác định trên toàn $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=3x^2-3$, không phải $3x^2-3x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(-2)=0$, $f(2)=4$, $f(-1)=4$, $f(1)=0$ nên GTLN trên $[-2;2]$ bằng 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; hàm đạt cực đại tại $x=-1$ và cực tiểu tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$ và tiệm cận ngang $y=-2$. Xét $y=\frac{-2x+1}{x}=-2+\frac{1}{x}$: có TCĐ $x=0$, TCN $y=-2$; khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to +\infty$, khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to -\infty$; đồ thị cắt trục hoành tại $x=\frac{1}{2}>0$. Tất cả khớp với hình vẽ (nhánh phải nằm trên, đi xuống cắt trục hoành rồi tiến đến $y=-2$; nhánh trái nằm dưới $y=-2$ và lao xuống $-\infty$ khi $x\to 0^{-}$). Các phương án khác: A có TCN $y=-\frac{1}{2}$; B có TCĐ $x=-1$; C có TCN $y=2$, đều loại.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$ và cắt trục tung tại $(0;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y(0)=1$; $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; $y(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại vì $y^{\prime \prime }=-6<0$), $y(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu vì $y^{\prime \prime }=6>0$). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có $y(0)=1$ nhưng $y(-1)=1$ không đúng; B có $y(0)=-1$ sai; C có $y(0)=-1$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$ và tiệm cận xiên $y=x$, với điểm cực tiểu $(2;4)$ và điểm cực đại $(-2;-4)$. Xét $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$: có tiệm cận đứng $x=0$, tiệm cận xiên $y=x$; $y^{\prime }=1-\frac{4}{x^2}=0\Rightarrow x=\pm 2$; $y(2)=4$ (cực tiểu), $y(-2)=-4$ (cực đại) — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án A, B, D không có tiệm cận xiên $y=x$ với tiệm cận đứng $x=0$ như hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị bậc ba có điểm cực đại $(-1;3)$, điểm cực tiểu $(1;-1)$ và cắt trục tung tại $(0;1)$. Xét $y=x^3-3x+1$: $y^{\prime }=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$; $f(-1)=-1+3+1=3$ (cực đại), $f(1)=1-3+1=-1$ (cực tiểu), $f(0)=1$. Khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án B sai vì $f(0)=-1$; C, D có hệ số $a<0$ (nhánh xuống) không khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $f(x)=\frac{5x^2-6x+9}{x-1}=5x-1+\frac{8}{x-1}$. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=5x-1$, tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: $I(1;-1)$, tức $a=1,b=-1$. Khi đó $C=a+3b=1+3(-1)=-2$.