Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=1$ (tỉ số hệ số cao nhất $1/1$), và $y(0)=\frac{1}{-1}=-1<0$ (nhánh trái cắt trục tung tại điểm âm), $y(2)=3>1$ (nhánh phải nằm trên tiệm cận ngang và giảm dần vì $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$). Điều này khớp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án khác: B có tiệm cận đứng $x=-1$; C có tiệm cận ngang $y=-2$; D có tiệm cận đứng $x=-1$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 103, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đề bài thuộc mã đề 0102, nên đối chiếu đáp án phần II câu 4 cột mã 102: DSSD, khớp với kết quả giải độc lập sau.

Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường thẳng đi qua $(-1;0)$ và $(0;1)$).

a) Đúng: theo hình vẽ, nhánh đồ thị tiệm dần đường thẳng $y=x+1$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.

b) Sai: nhánh trái có điểm cực tiểu tại $(-2;-2)$ (được đánh dấu bằng đường gián đoạn trên hình), nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và đồng biến trên $(-2;-1)$. Do đó hàm số không nghịch biến trên khoảng $(-2;0)$ (trên $(-2;-1)$ nó đồng biến).

c) Sai: tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: $x=-1$, $y=(-1)+1=0$, tức $I(-1;0)\ne (0;-1)$.

d) Đúng: đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ (nhánh trái tiến tới $-\infty$ khi $x\to (-1{)}^{-}$, nhánh phải tiến tới $+\infty$ khi $x\to (-1{)}^{+}$).

Kết quả: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng — trùng với đáp án nguồn (mã 102: DSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị tiệm dần đường thẳng $y=x+1$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhánh trái có cực tiểu tại $(-2;-2)$, hàm số đồng biến trên $(-2;-1)$, nên không nghịch biến trên toàn khoảng $(-2;0)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao của tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, tức $I(-1;0)$, không phải $I(0;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị tiến tới vô cực khi $x\to (-1{)}^{\pm }$, nên có tiệm cận đứng $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Xét $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$; $y(0)=-1<0$ (nhánh trái cắt trục tung tại điểm âm, phù hợp hình vẽ); $y^{\prime }=-\frac{2}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm nghịch biến trên mỗi nhánh, nhánh phải ($x>1$) nằm trên $y=1$ và tiến xuống, nhánh trái nằm dưới $y=1$ — khớp hoàn toàn với đường cong. Các phương án khác: A có $y=-2+\frac{3}{x-1}$ (TCN $y=-2$, sai); C có TCĐ $x=-1$, TCN $y=1$ nhưng $y(0)=2>0$ (sai); D có TCĐ $x=-1$ (sai). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án của đề (mã 102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$; nhánh phải (với $x>1$) nằm trên đường $y=1$ và giảm dần, nhánh trái nằm dưới trục hoành (đi qua điểm có tung độ âm khi $x$ gần 0). Xét $y=\frac{x+1}{x-1}$: có TCĐ $x=1$, TCN $y=1$; tại $x=0$ thì $y=-1<0$; với $x>1$ thì $y>1$ và $y^{\prime }=\frac{-2}{(x-1{)}^2}<0$ (giảm dần) — khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B có TCĐ $x=-1$, TCN $y=1$ nhưng với $x>1$ thì $y<1$; C có TCN $y=-2$; D có TCĐ $x=-1$. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$. Cắt trục $Ox$: $y=0\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1$, nên $A(1;0)$. Cắt trục $Oy$: $x=0\Rightarrow y=\frac{-1}{1}=-1$, nên $B(0;-1)$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ với $OA=1$, $OB=1$, nên diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-1}{2x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{\frac{1}{2}\}$.
a) $y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{6x-3-6x+2}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}\ne \frac{-5}{(2x-1{)}^2}$ → SAI.
b) Vì $y^{\prime }<0$ trên cả hai khoảng, hàm số nghịch biến (không đồng biến) trên $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ → SAI.
c) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ nên tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$; ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$ → ĐÚNG.
d) Hai tiệm cận $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{3}{2}$ cùng hai trục tạo thành hình chữ nhật với các đỉnh $(0;0),(\frac{1}{2};0),(\frac{1}{2};\frac{3}{2}),(0;\frac{3}{2})$, diện tích $=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3(2x-1)-2(3x-1)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}$, không phải $\frac{-5}{(2x-1{)}^2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }=\frac{-1}{(2x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne \frac{1}{2}$, hàm số nghịch biến trên từng khoảng, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{2}$ (tiệm cận ngang $y=\frac{3}{2}$) và ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{\pm }}y=\pm \infty$ (tiệm cận đứng $x=\frac{1}{2}$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai tiệm cận $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{3}{2}$ cùng hai trục tạo thành hình chữ nhật cạnh $\frac{1}{2}$ và $\frac{3}{2}$, diện tích $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-2$ và tiệm cận xiên $y=-x-1$. Xét phương án A: $y=\frac{-x^2-3x+4}{x+2}$. Chia đa thức: $-x^2-3x+4=(x+2)(-x-1)+6$, nên $y=-x-1+\frac{6}{x+2}$. Hàm số có tiệm cận đứng $x=-2$ (vì mẫu bằng 0 tại $x=-2$) và tiệm cận xiên $y=-x-1$ khi $x\to \pm \infty$, khớp hoàn toàn với đồ thị. Phương án B có tiệm cận đứng $x=2$ (loại), C có tiệm cận đứng $x=-2$ nhưng tiệm cận ngang $y=1$ (loại), D là hàm bậc ba không có tiệm cận (loại). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba (loại A, B vì chúng là hàm phân thức có tiệm cận). Với D: $y=x^3+x^2-x-1$ có $y(0)=-1$, không khớp đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương (khoảng 1). Với C: $y=x^3+2x^2-x+1$ có $y(0)=1$ đúng; $y^{\prime }=3x^2+4x-1=0$ cho $x\approx 0,215$ (điểm cực tiểu, giá trị $\approx 0,89$ gần 1) và $x\approx -1,549$ (điểm cực đại, giá trị dương), khớp hình vẽ: cực tiểu ngay bên phải trục $Oy$ gần mức 1, cực đại bên trái với giá trị dương. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong bậc ba đi qua gốc tọa độ O, có cực đại tại điểm có hoành độ âm và cực tiểu tại điểm có hoành độ dương, đồng thời khi $x\to +\infty$ thì $y\to +\infty$. Xét $y=x^3-3x$: có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$; tại $x=-1$ hàm đạt cực đại $y=2>0$ (bên trái trục Oy), tại $x=1$ hàm đạt cực tiểu $y=-2<0$ (bên phải trục Oy), và đồ thị đi qua gốc O, phù hợp hoàn toàn với hình vẽ. Các phương án B, C, D có hệ số $a<0$ nên khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$, hoặc không đi qua gốc tọa độ (C có $y(0)=1$), không khớp hình vẽ. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đi lên ở hai đầu nên $a>0$ (đúng). Cực đại tại $(-1;3)$, cực tiểu tại $(1;-1)$ nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó khẳng định 'nghịch biến trên $(1;+\infty )$' sai. Tại $x=0$, đồ thị nằm trên trục hoành (đi từ điểm cao $(-1;3)$ xuống cắt trục hoành ở điểm dương gần 0), nên $f(0)=d>0$: đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, khẳng định c) sai. Đường thẳng $y=2$ nằm giữa $-1$ và $3$ nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt: $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt, khẳng định d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi lên ở hai đầu vô cực nên $a>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-1;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$ vì có cực tiểu tại $x=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$ đồ thị nằm phía trên trục hoành nên $f(0)=d>0$, tung độ giao điểm với trục tung là dương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1<2<3$ (giữa giá trị cực tiểu và cực đại), phương trình $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm bậc ba đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, có điểm cực đại với hoành độ âm và điểm cực tiểu với hoành độ dương, đồng thời $y\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ (nhánh trái xuống, nhánh phải lên). Xét các phương án: - $y=x^3-3x$: đi qua $O$, $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$, cực đại tại $x=-1$, cực tiểu tại $x=1$, phù hợp với hình. - $y=-x^3+3x$: nhánh trái lên, nhánh phải xuống, ngược với hình. - $y=-x^3-3x^2+1$: đi qua điểm $(0;1)$ chứ không qua gốc tọa độ. - $y=-x^3+3x^2$: đi qua $O$ nhưng có dạng $-x^2(x-3)$, cực trị tại $x=0$ và $x=3$, không khớp hình. Vậy đáp án là $y=x^3-3x$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại điểm $(-1;3)$ và cực tiểu tại điểm $(1;-1)$, nên hàm số có dạng $y=x^3+bx+c$ với $y^{\prime }=3x^2+b$ có nghiệm $x=\pm 1$, suy ra $b=-3$. Kiểm tra $y=x^3-3x+1$: tại $x=-1$ có $y=-1+3+1=3$ (cực đại) và tại $x=1$ có $y=1-3+1=-1$ (cực tiểu), khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: B và D có $y^{\prime }=3x^2-6x$ với cực trị tại $x=0;2$ (không đúng vị trí); C có $y=x^3-3x-4$ cho cực đại $-2$ và cực tiểu $-6$ (không đúng giá trị). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên. Xét $y=\frac{x^2-2x}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$: có tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=x-1$, giao với Ox tại $x=0$ và $x=2$. Khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to +\infty$ (nhánh trái đi lên sát đường $x=1$), khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to -\infty$, nhánh phải cắt trục hoành tại $x=2$ và đồng biến — khớp hoàn toàn với hình vẽ (đường cong qua O, qua điểm $x=2$, tiệm cận xiên $y=x-1$). Các phương án B, C cho giá trị âm/dương khác tại các điểm này, D không có tiệm cận xiên và không đi qua O. Vậy đáp án A.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án Phần II - Câu 2, Mã đề 2101 (trang 28): a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ. Nguồn chỉ cung cấp đáp án Đ/S, không có lời giải chi tiết; các giải thích từng ý trên do agent lập dựa trên bảng biến thiên và đồ thị ở trang 22.
a) Theo bảng biến thiên trong đề, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và $(-1;0)$, đồng biến trên $(-2;-1)$ và $(0;+\infty )$, với cực tiểu $y(-2)=1$, cực đại $y(0)=-3$, tiệm cận đứng $x=-1$. Bảng biến thiên đã cho khớp với đồ thị, nên khẳng định đúng.
b) Trên khoảng $(-2;-1)$ hàm số đồng biến (theo bảng biến thiên và đồ thị), nên khẳng định sai.
c) Khi $x\to -1^{\pm }$ thì $y\to \pm \infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$. Khẳng định đúng.
d) Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận $x=-1$ và $y=-1$ (tiệm cận xiên/ngang qua các nhánh), giao của hai tiệm cận là $I(-1;-1)$ là tâm đối xứng của đồ thị. Khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$. Đồ thị hàm phân thức có tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận, tức $I(1;1)$. Vậy chọn đáp án A, khớp với bảng đáp án chính thức (Câu 11, Mã đề 2102 = A).

a) Bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ (theo hình vẽ). » Chọn ĐÚNG.
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=-1$ (nhìn hình vẽ). » Chọn ĐÚNG.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$. » Chọn SAI.
d) Bảng kết quả chính thức ghi SAI; dòng lời giải nguồn ghi «Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận $I(-1;1)$ » Chọn ĐÚNG.» — có mâu thuẫn nội bộ trong nguồn (xem issues).
a) Bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$ (theo hình vẽ). » Chọn ĐÚNG.
b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là $x=-1$ (nhìn hình vẽ). » Chọn ĐÚNG.
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;-1)$ và $(-1;0)$. » Chọn SAI.
d) Theo bảng kết quả chính thức thì ý d) là SAI; tuy nhiên dòng lời giải in «Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường tiệm cận $I(-1;1)$ » Chọn ĐÚNG.» — mâu thuẫn với bảng kết quả (S) trong nguồn.

Đồ thị hàm số có TCD: $x=1$ và TCN: $y=1$ nên tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là $(1;1)$. Chọn A

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=-2$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$. Kiểm tra phương án D: $y=\frac{1-2x}{x+1}$ có mẫu bằng 0 tại $x=-1$ (TCĐ $x=-1$), bậc tử bằng bậc mẫu nên TCN $y=\frac{-2}{1}=-2$, và $y(0)=\frac{1}{1}=1$ khớp đồ thị. Các phương án khác: B có TCN $y=2$; C có TCĐ $x=1$; A có tiệm cận xiên nên đều loại.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=2$, đồng thời đi qua điểm gần gốc với $y(0)=-1$. Xét $y=\frac{2x-1}{x+1}$: tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ nên có TCĐ $x=-1$; vì bậc tử bằng bậc mẫu nên có TCN $y=\frac{2}{1}=2$; $y(0)=\frac{-1}{1}=-1$ khớp đồ thị. Với B: $y=\frac{2x+1}{x+1}$ có $y(0)=1>0$, không khớp. Với D: $y=\frac{2x^2+3x+2}{x+1}=2x+1+\frac{1}{x+1}$ có tiệm cận xiên, không phải TCN $y=2$. Với A: hàm bậc ba không có tiệm cận. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: hàm số bậc ba có cực tiểu tại $(0;-2)$ và cực đại tại $(2;2)$, đồng thời $y(0)=-2$ nên loại đáp án D (có $y(0)=2$). Xét $y=-x^3+3x^2-2$: $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Với $x=0$: $y=-2$ (cực tiểu vì $y^{\prime \prime }=-6x+6=6>0$); với $x=2$: $y=-8+12-2=2$ (cực đại vì $y^{\prime \prime }=-6<0$). Khớp hoàn toàn với đồ thị. Đáp án A.