Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Đồ thị là hàm bậc bốn trùng phương có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=+\infty$ nên $a>0$, có 3 điểm cực trị nên $ab<0$, và cắt trục tung tại $(0;2)$ nên hàm số là $y=x^4-3x^2+2$.

Lời giải
Chọn A
Xét đáp án A có y' =

-4

( x - 1)

2

< 0 , \forallx $\in$ D , tiệm cận ngang là đường thẳng y = -1 , tiệm cận

đứng là đường thẳng x = 1 (thỏa đề).
4
Xét đáp án B có y' =
> 0 , \forallx $\in$ D nên loại.
2
( x - 1)
Xét đáp án C có y' =

3

( x - 1)

2

> 0 , \forallx $\in$ D nên loại.

Xét đáp án D có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 nên loại.
Chọn A

Lời giải

.

Chọn D
Đồ thị hàm số y = - x 4 + 2 x 2 + 3 đi qua các điểm A ( 0;3) , B (1; 4 ) , C ( -1; 4 ) .
Đồ thị ở các phương án A, B, C không đi qua điểm B nên loại các phương án A, B, C.
Đồ thị ở phương án D đi qua các điểm A, B, C . Chọn D.

Từ đồ thị, căn cứ vào tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$ và giao điểm với trục $Ox(1;0)$, $Oy(0;-1)$, ta thấy hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ thỏa mãn.
Chọn đáp án A.

Chọn D.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$:
- Nhánh ngoài cùng bên phải đi lên nên $a>0$.
- Hàm số có $3$ điểm cực trị nên $a\cdot b<0⟹b<0$.
- Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm phía dưới trục hoành nên $c<0$.
Vậy $a>0,b<0,c<0$.

Chọn C.
Giả sử $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\Rightarrow y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$.
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực trị tại $x=0,x=2$ và $y(0)=-2,y(2)=6$:
Ta có hệ phương trình:
$\{<table><tbody><tr><td>y(0)=-2</td></tr><tr><td>y^{\prime }(0)=0</td></tr><tr><td>y(2)=6</td></tr><tr><td>y^{\prime }(2)=0</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>d=-2</td></tr><tr><td>c=0</td></tr><tr><td>8a+4b+2c+d=6</td></tr><tr><td>12a+4b+c=0</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>d=-2</td></tr><tr><td>c=0</td></tr><tr><td>a=-2</td></tr><tr><td>b=6</td></tr></tbody></table>$
Vậy $y=-2x^3+6x^2-2$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2$. Do đó tâm đối xứng của đồ thị là $I(-1;-2)$.

x2 = 1
Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 + x 2 - 2 = 0 \iff 2 \iff x = $\pm$ 1 .
x = -2
Số nghiệm của phương trình hoành độ bằng số giao điểm của đồ thị và trục hoành nên số giao điểm
là 2 .

* Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số không đi qua điểm O 0;0 nên loại đáp án A, B .
* Xét hàm số y x3 x2 1 có :
x 0
2
- y' 0 3x 2x 0 2
x
3
2
Khi đó hàm số có hai cực trị là x 0; x .
3
2
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 2 cực trị x 0; x .
3
Vậy đồ thị hàm số trên là đồ thị của hàm số y x3 x2 1.

Chọn C.
Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên $a>0$. Trong 4 phương án chỉ có phương án C có hệ số $a=1>0$. Hơn nữa đồ thị đi qua điểm $(0;-3)$ và các điểm cực trị $(\pm 1;-4)$, hoàn toàn khớp với $y=x^4-2x^2-3$.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có $a>0$.
Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $x=-1,x=1,x=2$ nên $y=a(x^2-1)(x-2)$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;2)⟹2=a(-1)(-2)⟹a=1$.
Vậy hàm số là $y=(x^2-1)(x-2)$.

Từ đồ thị hàm số trùng phương:
- Nhánh cuối của đồ thị hướng xuống dưới khi $x\to \pm \infty$, suy ra hệ số $a<0$.
- Đồ thị có 3 điểm cực trị nên $ab<0$, kết hợp $a<0$ suy ra $b>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, suy ra $c>0$.
Vậy $a<0;b>0;c>0$.

Chọn đáp án D.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=-\infty$ ($a<0$) và có $3$ điểm cực trị, nên hàm số là $y=-x^4+2x^2$.

Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=2$ và cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$, nên hàm số là $y=\frac{2x-1}{x+1}$.

Giao điểm với các trục tọa độ là $A(0;1)$ và $B\left(-\frac{1}{2};0\right)$. Suy ra $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Chọn D.
Đồ thị đã cho có dạng đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ với nhánh cuối đi lên nên hệ số $a>0$, và có 3 điểm cực trị.
Do đó hàm số cần tìm là $y=x^4-2x^2-1$.

Đường cong là đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}$.
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, cắt trục tung tại $(0;-1)$ và cắt trục hoành tại $(1;0)$.
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ có đầy đủ các đặc trưng này.

Đường cong là đồ thị của hàm số bậc ba có hệ số $a>0$ và đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, có hai điểm cực trị nên là hàm số $y=x^3-3x$. Chọn A.

Đồ thị có 3 điểm cực trị nên đây là đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương, loại B và C.
Nhánh cuối cùng của đồ thị đi lên nên hệ số $a>0$, chọn hàm số $y=x^4-2x^2-2$.

Nhánh cuối của đồ thị đi lên nên $a>0$. Đồ thị đạt cực đại tại gốc tọa độ $O(0;0)$ nên $d=0$ và $c=0$. Điểm cực tiểu có hoành độ dương nên $-\frac{2b}{3a}>0\Rightarrow b<0$. Vậy chỉ có $1$ số dương là $a$.