Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khoảng cách không gian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp CB$. Tam giác $ABC$ vuông cân đỉnh $B$ nên $CB\perp AB$. Từ đó $CB\perp (SAB)$ (vì $CB$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Vậy khoảng cách từ $C$ đến $(SAB)$ chính là $CB=AB=a$ (tam giác vuông cân). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $d(S,(ABCD))=SA$. Trong tam giác $SAC$, $I$ là trung điểm $SC$ và $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình vuông), nên $IO$ là đường trung bình, $IO=\frac{1}{2}SA$. Mặt khác $d(I,(ABCD))=\frac{1}{2}d(S,(ABCD))=\frac{1}{2}SA$ (vì $I$ là trung điểm $SC$, $C\in (ABCD)$). Vậy khoảng cách từ $I$ đến $(ABCD)$ bằng $IO$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\parallel AB$. Do $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$, và $AD\perp CD$ (hình chữ nhật). Vậy $AD$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $CD$, suy ra $d(SA,CD)=AD=BC=2a$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét các mệnh đề về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
- A đúng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một đường thẳng và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia.
- B đúng: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
- C sai: khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia nói chung lớn hơn khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau; chỉ bằng khi điểm đó là chân đoạn vuông góc chung. Ví dụ với hai đường thẳng chéo nhau $a,b$, lấy điểm $M\in a$ tùy ý thì $d(M,b)\ge d(a,b)$, dấu bằng chỉ xảy ra tại một vị trí đặc biệt.
- D đúng: theo định nghĩa, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của chúng.
Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$, mà $CD\subset (SDC)$ và $AB\not\subset (SDC)$, suy ra $AB\parallel (SDC)$. Do đó mọi điểm trên đường thẳng $AB$ cách đều mặt phẳng $(SDC)$, nói riêng $d(B;(SDC))=d(A;(SDC))$. Các đáp án A, C, D sai vì $AC$, $BD$, $BO$ không vuông góc với $(SDC)$ (chỉ có đường vuông góc từ $A$ xuống $(SDC)$ mới cho khoảng cách, và nó không trùng với các đường chéo này). Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CB$. Đáy là hình vuông nên $CB\perp AB$, mà $AB\subset (SAB)$. Do đó $CB\perp (SAB)$ (đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng). Vậy $d(C;(SAB))=CB$. Kiểm tra các phương án khác: $CA$ không vuông góc $(SAB)$ (A sai); $DS$ không vuông góc $(SAB)$ (B sai); $BD$ không vuông góc $(SAC)$ vì $BD$ không vuông góc với $AC$ trong hình vuông... thực ra $BD\perp AC$ nhưng $BD$ không vuông góc $SA$? $SA\perp BD$ đúng, và $BD\perp AC$ đúng, nên $BD\perp (SAC)$, khi đó $d(B;(SAC))=BO$ (không phải $BD$), nên D sai. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $BD{B}^{\prime }$ vuông tại $B$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $B{B}^{\prime }\perp BD$), ta có $BD=a\sqrt{2}$, $B{B}^{\prime }=a$, nên $D{B}^{\prime }=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Khoảng cách từ $B$ đến $D{B}^{\prime }$ là đường cao $h$ kề từ $B$: $h=\frac{BD\cdot B{B}^{\prime }}{D{B}^{\prime }}=\frac{a\sqrt{2}\cdot a}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Lại có $AB\perp AD$ (đáy là hình vuông). Suy ra $AB\perp (SAD)$. Vậy khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAD)$ bằng $AB=a$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $AC\perp BC$. Từ đó $AC\perp (SBC)$ (vì $AC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $BC$ trong mặt phẳng $(SAB)$... chính xác hơn: $AC$ vuông góc với $BC$ và với $SB$ do $AC\perp (SBC)$). Thật vậy, $AC\perp BC$ và $AC\perp SA$ nên $AC\perp (SBC)$, suy ra $AC\perp SB$. Vậy $AC$ cắt $SA$ tại $A$ và vuông góc với $SA$; $AC$ cắt $BC$ tại $C$ và vuông góc với $BC$ (và cả $SB$). Do đó $AC$ là đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ mà $AC\subset (ABCD)$ nên $SA\perp AC$. Do đó khoảng cách từ $S$ đến đường thẳng $AC$ chính là độ dài đoạn $SA$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $AB=a$, $SB=a\sqrt{2}$, nên $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{2a^2-a^2}=a$. Vậy khoảng cách từ $S$ đến $AC$ bằng $a$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b\parallel (\alpha )$ nên khoảng cách từ mọi điểm $P\in b$ đến $(\alpha )$ đều bằng nhau và bằng khoảng cách từ $b$ đến $(\alpha )$. Mặt khác $(\alpha )\supset a$ và $a,b$ chéo nhau nên khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ chính bằng khoảng cách từ $b$ đến $(\alpha )$, tức bằng $d(P,(\alpha ))$ với $P\in b$. Vậy mệnh đề C đúng. Các mệnh đề A, B sai vì khoảng cách từ một điểm tùy ý trên $a$ (hoặc $b$) đến đường thẳng kia không phải luôn bằng khoảng cách giữa hai đường chéo nhau (chỉ đúng với điểm có hình chiếu vuông góc phù hợp). Mệnh đề D sai vì điểm $M$ tùy ý thuộc $(\alpha )$ đến $b$ nói chung không bằng khoảng cách giữa hai đường.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ (vì $AB\perp BC$ và $AB\perp B{B}^{\prime }$). Do đó khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng độ dài đoạn $AB$. Mặt khác $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$, đồng thời $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, nên khoảng cách từ $A$ đến $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ cũng bằng $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Các đoạn $A{B}^{\prime }$, $AC$, $A^{\prime }B$ đều không vuông góc với mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Vậy đáp án là $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa hai mặt đáy chính là chiều cao $h$ của lăng trụ. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(A_1{B}_1{C}_1)$, thì $AH\perp (A_1{B}_1{C}_1)$ và $AH=h$. Góc giữa cạnh bên $A{A}_1$ và mặt đáy là góc $\widehat{A{A}_{1}H}=60^{\circ }$, với $A{A}_1=a$. Trong tam giác vuông $AH{A}_1$ (vuông tại $H$): $h=AH=A{A}_1\cdot \sin 60^{\circ }=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ (tâm của mặt đáy). Trong tứ diện đều cạnh $a=2$, khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt đáy $(BCD)$ là $AG=a\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Kiểm tra: tam giác đều $BCD$ cạnh 2 có $GD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$, tam giác $AGD$ vuông tại $G$ có $AD=2$, nên $AG=\sqrt{A{D}^2-G{D}^2}=\sqrt{4-\frac{4}{3}}=\sqrt{\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp AD$. Từ đó $AB\perp (SAD)$ (vì $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Vậy khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SAD)$ chính là độ dài $AB=a$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC=\sqrt{C{A}^2-B{A}^2}=\sqrt{58a^2-9a^2}=7a$. Vì lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $B{B}^{\prime }\perp AB$. Kết hợp $AB\perp BC$ (vuông tại $B$) suy ra $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Vậy khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ bằng $AB=3a$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường chéo hình lập phương cạnh $a$: $A{C}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Cụ thể, $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo đáy), tam giác $AC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$ nên $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, do đó tam giác $SAB$ vuông tại $A$. Khoảng cách từ $S$ đến $(ABCD)$ chính là $SA$. Theo định lý Pythagoras: $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{3a^2-a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là mặt đáy trên của lăng trụ. Vì lăng trụ đứng (lăng trụ tam giác đều) nên $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy, tức $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$. Do đó khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ chính là chiều dài $A{A}^{\prime }=5$. Lưu ý: cạnh đáy bằng 5 chỉ dùng nếu tính khoảng cách từ đỉnh đáy đến mặt phẳng chứa cạnh đối diện, còn ở đây khoảng cách từ $A$ đến $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ đúng bằng $A{A}^{\prime }=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$ (vì $AB$ nằm trong mặt phẳng đáy). Mặt khác đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp BC$. Như vậy $AB$ vuông góc với cả hai đường thẳng $SA$ và $BC$, và $AB$ cắt cả hai đường thẳng này (tại $A$ và tại $B$). Do đó đường vuông góc chung của $SA$ và $BC$ là $AB$. Khớp với đáp án nguồn: B.