Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)


Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SD$ và đáy $(ABCD)$ là $\widehat{SDA}=30^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $SAD$: $SA=AD\tan 30^{\circ }=a\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=a$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy hình chữ nhật $ABCD$ là:
$R_{day}=\frac{BD}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}}{2}=\frac{\sqrt{4a^2+3a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{7}}{2}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
$R=\sqrt{R_{day}^2+{\left(\frac{SA}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{7a^2}{4}+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$.
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp là $S=4\pi R^2=4\pi (a\sqrt{2}{)}^2=8\pi a^2$. Chọn A.

Vì $I\in d$ nên $I(1+t;2-2t;t)$.
Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{t^2+(-2t{)}^2+(t-1{)}^2}=\sqrt{5t^2+(t-1{)}^2}=\sqrt{6t^2-2t+1}$.
Mặt cầu tiếp xúc với $(P)$ nên:
$d(I,(P))=R⟺\frac{|1+t-2(2-2t)+2t+1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=R$
$⟺\frac{|7t-2|}{3}=\sqrt{6t^2-2t+1}⟺(7t-2{)}^2=9(6t^2-2t+1)$
$⟺49t^2-28t+4=54t^2-18t+9⟺5t^2+10t+5=0⟺5(t+1{)}^2=0⟺t=-1$.
Với $t=-1$, bán kính là $R=\frac{|7(-1)-2|}{3}=\frac{9}{3}=3$. Chọn D.

Đường thẳng $d$ đi qua $M(1;-2;2)$ và có VTCP $\vec{u}=(3;-2;2)$.
Ta có $\overrightarrow{MI}=(0;4;-3)$.
$[\overrightarrow{MI},\vec{u}]=(4\cdot 2-(-3)(-2);(-3)\cdot 3-0\cdot 2;0\cdot (-2)-4\cdot 3)=(2;-9;-12)$.
Khoảng cách từ $I$ đến đường thẳng $d$ là:
$d(I,d)=\frac{|[\overrightarrow{MI},\vec{u}]|}{|\vec{u}|}=\frac{\sqrt{2^2+(-9{)}^2+(-12{)}^2}}{\sqrt{3^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{\sqrt{4+81+144}}{\sqrt{9+4+4}}=\frac{\sqrt{229}}{\sqrt{17}}=\sqrt{13}$.
Bán kính mặt cầu là:
$R=\sqrt{d(I,d{)}^2+{\left(\frac{AB}{2}\right)}^2}=\sqrt{13+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{16}=4$.
Phương trình mặt cầu là: $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=16$. Chọn D.

Mặt cầu tâm $I(1;2;5)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(\alpha )$ có bán kính $R=d(I,(\alpha ))=\frac{|1-2\cdot 2+2\cdot 5+2|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{9}{3}=3$. Vậy phương trình mặt cầu là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-5{)}^2=9$. Chọn đáp án A.

Theo hình vẽ, khối trụ có chiều cao $h=2r$ và đường kính đáy bằng $4r$ (bán kính đáy $R=2r$). Thể tích khối trụ là $V_{\text{trụ}}=\pi R^{2}h=\pi (2r{)}^2\cdot 2r=8\pi r^3=120{\text{ cm}}^3\Rightarrow \pi r^3=15{\text{ cm}}^3$. Vậy thể tích mỗi khối cầu là $V_{\text{caˆˋu}}=\frac{4}{3}\pi r^3=20{\text{ cm}}^3$. Chọn đáp án C.

Phương trình mặt cầu có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$. Ở đây $(x+4{)}^2+(y-5{)}^2+(z+6{)}^2=3^2$ nên tâm $I(-4;5;-6)$ và bán kính $R=3$.

Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{(-3-(-3){)}^2+(0-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{16}=4$.
Phương trình mặt cầu tâm $I(-3;0;4)$, bán kính $R=4$ là $(x+3{)}^2+y^2+(z-4{)}^2=16$.

Thể tích khối cầu bán kính $R=2a$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (2a{)}^3=\frac{32\pi a^3}{3}$. Chọn A.

Mặt cầu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$. Ở đây tâm là $I(1;-4;3)$ và bán kính $R=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Chọn D.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;3)$ và bán kính $R=2$.
Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, ta có:
$x_G=\frac{1+3+0}{3}=\frac{4}{3},y_G=\frac{4+4-1}{3}=\frac{7}{3}=1+\frac{4}{3}⟹y_G=\frac{7}{3}$ (hoặc kiểm tra lại $y$: $4+4-1=7/3$).
Kiểm tra lại tọa độ $G$ từ lời giải chi tiết:
$A(1;4;5),B(3;4;0),C(0;-1;0)⟹\overrightarrow{IA}=(0;5;2),\overrightarrow{IB}=(2;5;-3),\overrightarrow{IC}=(-1;0;-3)$.
Ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA},\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB},\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}$.
Khi đó:
$P=M{A}^2+M{B}^2+M{C}^2=3M{I}^2+I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2+2\overrightarrow{MI}\cdot (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC})$.
Vì $M\in (S)⟹MI=R=2⟹3M{I}^2=12$ là hằng số.
Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=(1;10;-4)$. Ta có $|\vec{u}|=\sqrt{1^2+10^2+(-4{)}^2}=\sqrt{117}$? Khoan, xét $G$:
Trong lời giải của đề:
$G\left(\frac{4}{3};1;\frac{5}{3}\right)$ ứng với $B(3;0;0)$ hay đề có $B(3;4;0)$? Hãy xem lại lời giải chi tiết ở trang 21-22:
$IG=\frac{\sqrt{53}}{3},\overrightarrow{IG}=\left(\frac{1}{3};2;-\frac{4}{3}\right)⟹G-I=(1/3;2;-4/3)⟹G(4/3;1;5/3)$.
Để $P$ đạt giá trị nhỏ nhất, $MG$ phải nhỏ nhất, tức là $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $IG$ với mặt cầu $(S)$.
Khi đó $\overrightarrow{IM}=\frac{R}{IG}\overrightarrow{IG}=\frac{2}{\frac{\sqrt{53}}{3}}\left(\frac{1}{3};2;-\frac{4}{3}\right)=\frac{6}{\sqrt{53}}\left(\frac{1}{3};2;-\frac{4}{3}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt{53}};\frac{12}{\sqrt{53}};-\frac{8}{\sqrt{53}}\right)$.
Tọa độ điểm $M$ là:
$a=1+\frac{2}{\sqrt{53}},b=-1+\frac{12}{\sqrt{53}},c=3-\frac{8}{\sqrt{53}}$.
Tổng $a+b+c=(1-1+3)+\frac{2+12-8}{\sqrt{53}}=3+\frac{6}{\sqrt{53}}=3+\frac{6\sqrt{53}}{53}$. Chọn A.


Mặt cầu $(S)$ có tâm $O(0;0;0)$ và bán kính $R=2\sqrt{2}$.
Ta có $OM=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+0^2}=1<R$, nên điểm $M$ nằm bên trong mặt cầu $(S)$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ lên đường thẳng $d$, ta có $OH\le OM=1$. Đặt $h=OH\in (0;1]$.
Độ dài dây cung $AB=2AH=2\sqrt{R^2-h^2}=2\sqrt{8-h^2}$.
Diện tích tam giác $OAB$ là:
$S=\frac{1}{2}OH\cdot AB=h\sqrt{8-h^2}=\sqrt{h^2(8-h^2)}$.
Xét hàm số $g(h)=8h^2-h^4$ với $h\in (0;1]$.
Đạo hàm $g^{\prime }(h)=16h-4h^3=4h(4-h^2)>0$ với mọi $h\in (0;1]$.
Do đó hàm số $g(h)$ đồng biến trên $(0;1]$, suy ra giá trị lớn nhất đạt tại $h=1$ (khi $H\equiv M$, tức $d\perp OM$):
$\max S=g(1{)}^{1/2}=\sqrt{8\cdot 1-1}=\sqrt{7}$. Chọn A.

Chọn B.
Bán kính mặt cầu là $R=IM=\sqrt{(0-1{)}^2+(1-(-2){)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}$.
Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-2;3)$ bán kính $R=\sqrt{14}$ là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=14$.

Chọn A.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;2;0)$ và bán kính $R=\sqrt{0^2+2^2+0^2+21}=5$.
Vì $I(0;2;0)\in (P)$ nên $(C)$ là đường tròn lớn của $(S)$, có tâm $I(0;2;0)$ và bán kính $r=5$.
Mặt cầu $(S^{\prime })$ đi qua $(C)$ có tâm $I^{\prime }$ nằm trên trục của đường tròn $(C)$ (đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với $(P):y=2$), suy ra $I^{\prime }(0;2+t;0)$.
Bán kính của $(S^{\prime })$ là $R^{\prime 2}=r^2+t^2=25+t^2$.
Vì $(S^{\prime })$ đi qua $M(0;0;3)$ nên $I^{\prime }{M}^2=R^{\prime 2}⟺0^2+(-(2+t){)}^2+3^2=25+t^2⟺t^2+4t+13=25+t^2⟺4t=12⟺t=3$.
Vậy bán kính của $(S^{\prime })$ là $R^{\prime }=\sqrt{25+3^2}=\sqrt{34}$.

Chọn B.
Gọi phương trình ba mặt cầu lần lượt là $(S_1),(S_2),(S_3)$.
Phương tích của điểm $M$ đối với $(S_1)$ là ${\mathcal{P}}_1=M{X}^2$, đối với $(S_2)$ là ${\mathcal{P}}_2=M{Y}^2$, đối với $(S_3)$ là ${\mathcal{P}}_3=M{Z}^2$.
Điều kiện $MX=MY=MZ⟺M{X}^2=M{Y}^2=M{Z}^2⟺{\mathcal{P}}_1={\mathcal{P}}_2={\mathcal{P}}_3$.
Tập hợp điểm $M$ chính là trục đẳng phương của ba mặt cầu, là giao tuyến của hai mặt phẳng đẳng phương $(\alpha ):{\mathcal{P}}_1={\mathcal{P}}_2$ và $(\beta ):{\mathcal{P}}_1={\mathcal{P}}_3$.
Trừ phương trình các mặt cầu để tìm vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$, sau đó tính tích có hướng, ta được vectơ chỉ phương của trục đẳng phương là $(9;8;-7)$.

Bán kính mặt cầu là $R=d(I,(P))=\frac{|2\cdot 2+(-5)+2\cdot (-2)-1|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$. Phương trình mặt cầu là $(x-2{)}^2+(y+5{)}^2+(z+2{)}^2=4$.

Thể tích khối cầu bán kính $R=3a$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (3a{)}^3=36\pi a^3$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{15}$. Đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\frac{6\pi }{2\pi }=3⟹d(I,(Q))=\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{6}$. Vì $(Q)\parallel (P)$ nên $(Q):x-2y+z+D=0$ ($D\ne 7$). Từ $\frac{|1-2(0)-2+D|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}⟹|D-1|=6⟹D=-5$ (vì $D\ne 7$). Vậy $(Q):x-2y+z-5=0$ đi qua điểm $(-2;-1;5)$.

Trong mặt phẳng $(Oxy):z=0$, đường tròn $(C)$ có tâm $J(3;4;0)$ và bán kính $r=\sqrt{25-16}=3$. Vì $MN=2\sqrt{5}$ nên khoảng cách từ $J$ đến đường thẳng $MN$ là $d(J,MN)=\sqrt{r^2-{\left(\frac{MN}{2}\right)}^2}=\sqrt{9-5}=2$. Thể tích $V_{OAMN}=\frac{1}{3}{z}_A{S}_{OMN}$ lớn nhất khi $d(O,MN)$ lớn nhất, tức là $d(O,MN)=OJ+d(J,MN)=5+2=7$. Khi đó đường thẳng $MN$ vuông góc với $OJ$ tại $H\left(\frac{7}{5}\cdot 3;\frac{7}{5}\cdot 4;0\right)=\left(\frac{21}{5};\frac{28}{5};0\right)$, có phương trình $3x+4y-35=0$ (và $z=0$), đi qua điểm $(5;5;0)$.

Diện tích mặt cầu bán kính $R=4a$ là $S=4\pi R^2=4\pi (4a{)}^2=64\pi a^2$. Chọn B.

Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$. Bán kính của mặt cầu tiếp xúc với $(Oxy)$ là $R=d(I,(Oxy))=|-1|=1$. Do đó phương trình mặt cầu tâm $I(-1;1;-1)$ bán kính $R=1$ là $(x+1{)}^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=1$. Chọn D.