Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
Mặt cầu $(S):(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R$.
Từ phương trình $(x-1{)}^2+y^2+(z+2{)}^2=16$, ta có tâm $I(1;0;-2)$ và bán kính $r=\sqrt{16}=4$.

Chọn A.
Hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp khi và chỉ khi đáy của nó là một đa giác nội tiếp đường tròn. Hình chóp tứ giác có đáy là tứ giác bất kỳ không nhất thiết nội tiếp đường tròn, do đó không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu.

Chọn C.
Đường tròn giao tuyến có chu vi $C=2\pi r=6\pi \Rightarrow r=3$.
Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ là:
$d=d(I,P)=\frac{|2(1)+(-1)-2(1)+2|}{\sqrt{2^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1|}{3}=\frac{1}{3}$.
Bán kính mặt cầu là $R=\sqrt{r^2+d^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ (với $d=1$).

Phương trình mặt cầu dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ có tâm $I(a;b;c)$.
Ở đây $-2a=-2⟹a=1$; $-2b=4⟹b=-2$; $-2c=-6⟹c=3$.
Vậy tọa độ tâm là $I(1;-2;3)$. Chọn A.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông đáy $ABCD$. Vì $S.ABCD$ là chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$.
- Đáy là hình vuông cạnh $a⟹OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
- Tam giác $SOA$ vuông tại $O$, có:
$SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{2a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
- Vì $SO=OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ nên tam giác $SOA$ vuông cân tại $O$.
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều được tính theo công thức:
$R=\frac{S{A}^2}{2SO}=\frac{a^2}{2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$
(Đặc biệt, $O$ chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp vì $OA=OB=OC=OD=OS=\frac{a\sqrt{2}}{2}$).
Chọn A.

Vì tâm $I\in d$ nên tọa độ của $I$ có dạng $I(t;1+t;3t)$.
Mặt cầu $(S)$ đi qua $A(1;4;0)$ và có bán kính $R=5$ khi và chỉ khi:
$I{A}^2=R^2=25$
Ta có:
$(1-t{)}^2+(4-1-t{)}^2+(0-3t{)}^2=25⟺(1-t{)}^2+(3-t{)}^2+9t^2=25$
$⟺(t^2-2t+1)+(t^2-6t+9)+9t^2=25⟺11t^2-8t-15=0$
Phương trình bậc hai có hệ số $a=11,c=-15⟹ac=-165<0$, do đó phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt $t_1,t_2$.
Ứng với mỗi giá trị $t$ ta xác định được một tâm $I$ duy nhất, do đó có đúng 2 mặt cầu thỏa mãn bài toán. Chọn B.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$ và bán kính $R=\sqrt{(-1{)}^2+2^2+1^2-0}=\sqrt{6}$.
Ta có khoảng cách $IM=\sqrt{(0+1{)}^2+(1-2{)}^2+(0-1{)}^2}=\sqrt{3}<R$, do đó điểm $M$ nằm bên trong mặt cầu $(S)$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ cắt $(S)$ theo đường tròn $(C)$ có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}$.
Diện tích hình tròn $(C)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $d(I,(P))$ lớn nhất $⟺(P)\perp IM$ tại $M$.
Do đó $(P)$ nhận $\overrightarrow{IM}=(1;-1;-1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:
$1(x-0)-1(y-1)-1(z-0)=0⟺x-y-z+1=0$
Vì $N(x_0;y_0;z_0)\in (C)\subset (S)$ nên $N$ nằm trên mặt cầu $(S)$:
$x_0^2+y_0^2+z_0^2+2x_0-4y_0-2z_0=0$
Mà $ON=\sqrt{6}⟹x_0^2+y_0^2+z_0^2=6$. Thay vào phương trình mặt cầu:
$6+2x_0-4y_0-2z_0=0⟺x_0-2y_0-z_0+3=0$
Mặt khác, $N\in (P)$ nên $x_0-y_0-z_0+1=0$.
Trừ hai phương trình cho nhau, ta được:
$(x_0-y_0-z_0+1)-(x_0-2y_0-z_0+3)=0⟺y_0-2=0⟺y_0=2$
Vậy $y_0=2$. Chọn B.

Chọn A.
Đường thẳng $d$ đi qua $M(0;-1;2)$ và có véc-tơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-1;-1)$.
Ta có $\overrightarrow{MI}=(1;4;3)$.
Tích có hướng $[\overrightarrow{MI},\vec{u}]=(4(-1)-3(-1);3(1)-1(-1);1(-1)-4(1))=(-1;4;-5)$.
Bán kính mặt cầu là $R=d(I,d)=\frac{|[\overrightarrow{MI},\vec{u}]|}{|\vec{u}|}=\frac{\sqrt{(-1{)}^2+4^2+(-5{)}^2}}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{3}}=\sqrt{14}$.

Chọn A.
Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;-1;1)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2-(-6)}=3$.
Mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính bằng $3=R$ nên mặt phẳng $(P)$ đi qua tâm $I(1;-1;1)$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ nên $(P)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và chứa véc-tơ $\vec{k}=(0;0;1)$.
Véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=[\overrightarrow{OI},\vec{k}]=(-1;-1;0)=-(1;1;0)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là $1(x-0)+1(y-0)+0(z-0)=0\iff x+y=0$.

Chọn C.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1;-2)$ và bán kính $R=2$.
Ta thấy điểm $A(1;1;-1)$ có $IA=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1<R=2$, nên $A$ nằm bên trong mặt cầu.
Xét trường hợp đặc biệt: ba mặt phẳng đôi một vuông góc qua $A$ lần lượt là $(P_1):x=1$, $(P_2):y=1$, $(P_3):z=-1$.
Khi đó $(P_1)$ và $(P_2)$ đều đi qua tâm $I(1;1;-2)$, nên $d(I,P_1)=0$ và $d(I,P_2)=0\Rightarrow r_1=r_2=R=2$.
Mặt phẳng $(P_3)$ có khoảng cách đến $I$ là $d(I,P_3)=IA=1$, do đó $r_3=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$.
Tổng bán kính của ba đường tròn là $r_1+r_2+r_3=2+2+\sqrt{3}=4+\sqrt{3}$.

Chọn D.
Gọi tâm mặt cầu là $I(a;b;c)$.
Khoảng cách từ $I$ đến các mặt phẳng $(\alpha ),(\beta ),(\gamma )$ bằng bán kính $R$:
$d(I,\alpha )=|a-1|=R$, $d(I,\beta )=|b-1|=R$, $d(I,\gamma )=|c+1|=R$.
Vì điểm $M(2;5;-2)$ thuộc miền $x>1,y>1,z<-1$ nên tâm $I$ cũng thuộc miền $a>1,b>1,c<-1$.
Do đó $a=R+1$, $b=R+1$, $c=-R-1\Rightarrow I(R+1;R+1;-R-1)$.
Vì mặt cầu đi qua $M(2;5;-2)$ nên $IM=R$:
$(R+1-2{)}^2+(R+1-5{)}^2+(-R-1+2{)}^2=R^2$
$\iff (R-1{)}^2+(R-4{)}^2+(1-R{)}^2=R^2$
$\iff 2(R-1{)}^2+(R-4{)}^2=R^2$
$\iff 2(R^2-2R+1)+R^2-8R+16=R^2$
$\iff 2R^2-12R+18=0\iff 2(R-3{)}^2=0\iff R=3$.
Vậy bán kính của mặt cầu là $R=3$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1;2)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+1^2+2^2-(-3)}=\sqrt{9}=3$.
Mặt phẳng $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo thiết diện là một đường tròn khi và chỉ khi $d(I,(\alpha ))<R=3$.
- Với $(\alpha ):x-y+z=0$: $d(I,(\alpha ))=\frac{|1-1+2|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}<3$. Thỏa mãn.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là $r=\frac{a}{\sqrt{3}}$.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đều là $R=\sqrt{r^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{4}}=\sqrt{\frac{4a^2+3b^2}{12}}=\frac{\sqrt{4a^2+3b^2}}{2\sqrt{3}}$.
Thể tích khối cầu là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \frac{\sqrt{(4a^2+3b^2{)}^3}}{24\sqrt{3}}=\frac{\pi }{18\sqrt{3}}\sqrt{(4a^2+3b^2{)}^3}$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;-2)$ và bán kính $R=\sqrt{0^2+1^2+(-2{)}^2-(-9)}=\sqrt{14}$.
Điểm $A(1;a;1)$ nằm trong khối cầu khi và chỉ khi $IA<R\iff I{A}^2<R^2\iff (1-0{)}^2+(a-1{)}^2+(1-(-2){)}^2<14\iff 1+(a-1{)}^2+9<14\iff (a-1{)}^2<4\iff -2<a-1<2\iff -1<a<3$.

Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $A\equiv O$, tia $AB$ trùng $Ox$, tia $AD$ trùng $Oy$, tia $AS$ trùng $Oz$. Cho $a=1$: $A(0;0;0),E(0;1;0),D(0;2;0),C(1;1;0),S(0;0;\sqrt{6})$.
Phương trình mặt cầu $(T)$ đi qua $S,E,C,D$ có dạng $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$.
Thay tọa độ $E(0;1;0),D(0;2;0),C(1;1;0),S(0;0;\sqrt{6})$ ta giải được tâm và bán kính $R=a\sqrt{\frac{19}{6}}=a\frac{\sqrt{114}}{6}$. (Theo đáp án B đề bài: $R=a\sqrt{\frac{19}{6}}$).

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;3)$ và bán kính $R=\sqrt{16}=4$. Chọn D.

Trong mặt phẳng thiết diện qua trục (tam giác đều $SAB$ cạnh $3a$, đường cao $SO=\frac{3a\sqrt{3}}{2}$), đường tròn lớn của mặt cầu $(C)$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc với $SA,SB$ tại $A,B$. Tâm $I$ là giao điểm của trục $SO$ với đường thẳng vuông góc với $SA$ tại $A$. Khi đó bán kính mặt cầu là $R=IA=OA\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{3a}{2}\cdot \sqrt{3}$? Không, $\widehat{OAI}=30^{\circ }⟹R=IA=\frac{OA}{\cos 30^{\circ }}=\frac{3a/2}{\sqrt{3}/2}=a\sqrt{3}$. Diện tích mặt cầu là $S=4\pi R^2=12\pi a^2$. Chọn B.

Gọi $d_1,d_2,d_3$ là khoảng cách từ tâm $O$ đến ba mặt phẳng, ta có $d_1^2+d_2^2+d_3^2=O{M}^2=3a^2$. Khi đó $r_1^2+r_2^2+r_3^2=3R^2-(d_1^2+d_2^2+d_3^2)=12a^2-3a^2=9a^2$. Theo bất đẳng thức Bunhiacốpxki, $r_1+r_2+r_3\le \sqrt{3(r_1^2+r_2^2+r_3^2)}=3a\sqrt{3}$. Chọn D.

Mặt cầu $(S_1)$ có tâm $I_1(1;0;0),R_1=2$; mặt cầu $(S_2)$ có tâm $I_2(2;3;1),R_2=1$. Ta có $MA+MB\ge M{I}_1+M{I}_2-(R_1+R_2)=M{I}_1+M{I}_2-3$. Trải phẳng hai nửa mặt phẳng chứa $(d,I_1)$ và $(d,I_2)$ ta tìm được $\min (M{I}_1+M{I}_2)=\frac{\sqrt{3707}}{11}⟹P_{\min }=\frac{\sqrt{3707}}{11}-3$. Chọn B.

Tâm của mặt cầu là trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$:
$I\left(\frac{1-1}{2};\frac{2+4}{2};\frac{3+1}{2}\right)=I(0;3;2)$.
Bán kính mặt cầu là:
$R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(-2{)}^2+2^2+(-2{)}^2}}{2}=\frac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}$.
Phương trình mặt cầu là: $x^2+(y-3{)}^2+(z-2{)}^2=3$. Chọn C.