Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Chọn A.
Hình chiếu vuông góc của tâm $I(a;b;c)$ lên trục $Oy$ là điểm $H(0;b;0)$.
Khoảng cách từ $I$ đến trục $Oy$ là:
$R=d(I,Oy)=IH=\sqrt{(0-a{)}^2+(b-b{)}^2+(0-c{)}^2}=\sqrt{a^2+c^2}$.
Do mặt cầu tiếp xúc với trục $Oy$ nên bán kính của mặt cầu là $R=\sqrt{a^2+c^2}\Rightarrow R^2=a^2+c^2$.
Phương trình mặt cầu là:
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=a^2+c^2$.

Chọn D.
Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Ta có $I(3;0;0)$ và $AB=\sqrt{(5-1{)}^2+0^2+0^2}=4$.
Ta có $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0⟺\overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MB}$ hoặc $M\equiv A$ hoặc $M\equiv B$, tức tam giác $MAB$ vuông tại $M$ trong không gian 3 chiều.
Do đó tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ là mặt cầu đường kính $AB$, tâm $I(3;0;0)$ và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{4}{2}=2$.

Chọn A.


Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;0;1)$ và bán kính $R=5$.
Vì $A,B\in (S)$ nên $IA=IB=R=5$.
Ta có:
$O{A}^2=|\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IA}{|}^2=O{I}^2+I{A}^2+2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IA}$,
$O{B}^2=|\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IB}{|}^2=O{I}^2+I{B}^2+2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{IB}$.
Do $IA=IB=5$ nên:
$O{A}^2-O{B}^2=2\overrightarrow{OI}\cdot (\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{BA}$.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$O{A}^2-O{B}^2=2\overrightarrow{OI}\cdot \overrightarrow{BA}\le 2|\overrightarrow{OI}|\cdot |\overrightarrow{BA}|$.
Ta có $|\overrightarrow{OI}|=\sqrt{0^2+0^2+1^2}=1$ và $AB=6$.
Suy ra $O{A}^2-O{B}^2\le 2\cdot 1\cdot 6=12$.
Dấu bằng xảy ra khi $\overrightarrow{BA}$ cùng hướng với $\overrightarrow{OI}=(0;0;1)$.
Vậy giá trị lớn nhất của $O{A}^2-O{B}^2$ là $12$.

Chọn B.
Gọi điểm $K$ thỏa mãn $3\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}=\vec{0}⟺\overrightarrow{OK}=\frac{3\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{4}$.
Ta có $\overrightarrow{OA}=(1;0;0)$ và $\overrightarrow{OB}=(5;6;0)$, suy ra:
$x_K=\frac{3(1)+5}{4}=2$, $y_K=\frac{3(0)+6}{4}=\frac{3}{2}$, $z_K=0\Rightarrow K\left(2;\frac{3}{2};0\right)$.
Ta biến đổi biểu thức:
$3M{A}^2+M{B}^2=3|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}{|}^2+|\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KB}{|}^2$
$=4M{K}^2+3K{A}^2+K{B}^2+2\overrightarrow{MK}\cdot (3\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB})$
$=4M{K}^2+3K{A}^2+K{B}^2$.
Tính độ dài $KA$ và $KB$:
$K{A}^2=(1-2{)}^2+{\left(0-\frac{3}{2}\right)}^2+0^2=1+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}$,
$K{B}^2=(5-2{)}^2+{\left(6-\frac{3}{2}\right)}^2+0^2=9+\frac{81}{4}=\frac{117}{4}$.
Do đó $3K{A}^2+K{B}^2=3\cdot \frac{13}{4}+\frac{117}{4}=\frac{39+117}{4}=39$.
Theo đề bài: $3M{A}^2+M{B}^2=48⟺4M{K}^2+39=48⟺4M{K}^2=9⟺MK=\frac{3}{2}$.
Vậy điểm $M$ thuộc mặt cầu $(S_1)$ tâm $K\left(2;\frac{3}{2};0\right)$ bán kính $R_1=\frac{3}{2}$.
Mặt khác, $M$ thuộc mặt cầu $(S)$ tâm $O(0;0;0)$ bán kính $R=1$.
Khoảng cách giữa hai tâm:
$OK=\sqrt{2^2+{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+0^2}=\sqrt{4+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$.
Ta nhận thấy $R+R_1=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}=OK$.
Do khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính, hai mặt cầu $(S)$ và $(S_1)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại đúng một điểm duy nhất.
Vậy có đúng 1 điểm $M$ thỏa mãn.

Diện tích mặt cầu có đường kính $d=24,5\text{ cm}$ là $S=\pi d^2=\pi \cdot 24,5^2\approx 1886{\text{ cm}}^2$. Chọn D.

Mặt cầu tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=3$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=9$. Chọn A.

Tâm mặt cầu $I(1;-1;0)$, hình chiếu của $I$ lên $(P)$ là $H\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3};\frac{1}{3}\right)$, bán kính đường tròn giao tuyến $r=\sqrt{R^2-I{H}^2}=\sqrt{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $\Delta \perp (P)$ tại $K\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$ nên $d(M,\Delta )=MK\le KH+r=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Chọn B.

Tâm mặt cầu $I(2;-1;2)$, bán kính $R=2\Rightarrow CD=4$, khoảng cách từ $CD$ đến $(P)$ bằng $d(I,(P))=\frac{|2-(-1)+4-1|}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$. Ta có $AB=\sqrt{3}$ và $V_{ABCD}=\frac{1}{6}AB\cdot CD\cdot d(AB,CD)\cdot \sin (AB,CD)\le \frac{1}{6}\cdot \sqrt{3}\cdot 4\cdot \sqrt{6}=2\sqrt{2}$ (khi $CD\perp AB$). Chọn A.

Mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+(z+2{)}^2=4^2$ có tâm $I(0;1;-2)$ và bán kính $R=4$.

Tâm $I$ của $(S)$ là trung điểm của $MN⟹I(3;1;-4)$ và bán kính $R=IM=\sqrt{(5-3{)}^2+(2-1{)}^2+(-9+4{)}^2}=\sqrt{30}$, nên $(S):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2+(z+4{)}^2=30$.

Bán kính mặt cầu là $R=IA=\sqrt{(1-1{)}^2+(2-(-1){)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{0+9+0}=3$.
Phương trình mặt cầu tâm $I(1;-1;1)$ bán kính $R=3$ là $(x-1{)}^2+(y+1{)}^2+(z-1{)}^2=3^2=9$. Chọn B.

Ta có $AB=4a$, $BH=3HA⟹HA=a,HB=3a$. Tam giác $SBH$ vuông tại $H$ có $\widehat{SBH}=30^{\circ }⟹SH=HB\tan 30^{\circ }=3a\frac{\sqrt{3}}{3}=a\sqrt{3}$.
Tứ giác $AHEK$ nội tiếp đường tròn đường kính $HK$. Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AHEK$ nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp đáy $AHEK$. Bán kính mặt cầu tính được $R=\frac{a\sqrt{13}}{2}$.
Thể tích khối cầu ngoại tiếp là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{13}}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \frac{13a^3\sqrt{13}}{8}=\frac{13a^3\sqrt{13}\pi }{6}$. Chọn A.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;2;5)$, bán kính $R=6$. Điểm $E(2;1;3)$ thuộc $(P)$ vì $2(2)+2(1)-3-3=0$. Khoảng cách $IE=\sqrt{(2-3{)}^2+(1-2{)}^2+(3-5{)}^2}=\sqrt{6}<6$ nên điểm $E$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Độ dài dây cung cắt bởi $\Delta$ là $AB=2\sqrt{R^2-d^2(I,\Delta )}$. Độ dài $AB$ nhỏ nhất khi khoảng cách $d(I,\Delta )$ lớn nhất, tức $\Delta \perp IE$.
Do $\Delta \subset (P)$ nên VTCP của $\Delta$ vuông góc với cả ${\vec{n}}_P=(2;2;-1)$ và $\overrightarrow{IE}=(-1;-1;-2)$.
Suy ra ${\vec{u}}_{\Delta }=[{\vec{n}}_P,\overrightarrow{IE}]=(-5;5;0)=-5(1;-1;0)$.
Với hoành độ là 2018: $\vec{u}=2018(1;-1;0)=(2018;-2018;0)⟹y_0=-2018,z_0=0$.
Vậy $T=z_0-y_0=0-(-2018)=2018$. Chọn C.

Thể tích khối cầu bán kính $R=3a$ là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (3a{)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27a^3=36\pi a^3$. Chọn B.

Diện tích mặt cầu bán kính $R=2$ là $S=4\pi R^2=16\pi$. Chọn C.

Trung điểm của $AB$ là $I(2;2;3)$ và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{64+4+4}}{2}=3\sqrt{2}\Rightarrow R^2=18$. Phương trình mặt cầu là $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=18$. Chọn B.

Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z+1{)}^2=16$, suy ra tâm $I(1;-2;-1)$.

Bán kính mặt cầu là $R=d(I,(\alpha ))=\frac{|4\cdot 0-3\cdot 1+2\cdot 2+28|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2+2^2}}=\frac{29}{\sqrt{29}}=\sqrt{29}$. Vậy phương trình mặt cầu $(S)$ là $x^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=29$.

Các đỉnh $A,B,C,D$ cùng nhìn đoạn $SC$ dưới một góc vuông nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ nhận $SC$ làm đường kính. Vậy $R=\frac{SC}{2}=\frac{\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}}{2}=\frac{\sqrt{a^2+2a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-1;2;1)$, bán kính $R=1$. Góc $\alpha$ giữa $\vec{u}=(1;0;1)$ và $(P)$ thỏa mãn $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot {\vec{n}}_P|}{|\vec{u}|\cdot |{\vec{n}}_P|}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Ta có $MN=\frac{d(N,(P))}{\sin \alpha }\le \frac{d(I,(P))+R}{\sin \alpha }=\frac{2+1}{1/\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$.