Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):(x+2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=3$ có tâm là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S):x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ và mặt phẳng $(P):x+2y+2z+3=0$.

Tại khu bảo tồn biển Hòn Mun, Viện Hải dương học thiết lập một trạm nghiên cứu ngầm mang hình dáng một khối cầu bảo vệ $(S)$. Trong hệ tọa độ $Oxyz$ (đơn vị: chục mét), mặt cầu $(S)$ có phương trình: $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=9$. Hai trạm thu phát tín hiệu phụ được neo cố định dưới đáy biển tại các vị trí $A(7;7;7)$ và $B(4;4;1)$. Để kết nối mạng lưới, các kỹ sư cần khoan một cổng kết nối cáp quang tại vị trí $M$ nằm trên bề mặt khối cầu bảo vệ $(S)$ để kéo cáp đến $A$ và $B$. Do yêu cầu về băng thông của trạm $B$ cao gấp đôi trạm $A$, nên tổng chi phí lắp đặt và độ suy hao tín hiệu $P$ được mô hình hóa theo công thức: $P=M{A}^2+2M{B}^2$. Tính giá trị nhỏ nhất của $P$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(1;-2;3)$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+3}{-1}$. Tính bán kính của mặt cầu $(S)$ có tâm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $d$.

Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương có cạnh bằng $a$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;1;1)$, mặt phẳng $(\alpha ):x+y+z-4=0$ và mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y-3{)}^2+(z-4{)}^2=16$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$ và nằm trong $(\alpha )$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm nào trong các điểm sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),B(6;5;5)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu đường kính $AB$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AB$ tại $H$ sao cho khối nón đỉnh $A$ và đáy là hình tròn tâm $H$ (giao của mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$) có thể tích lớn nhất, biết rằng $(P):2x+by+cz+d=0$ với $b,c,d\in \mathbb{Z}$. Tính $S=b+c+d$.

Diện tích của mặt cầu bán kính $R$ là

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|=|3-4i|$. Biết tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w$ xác định bởi $w=(2+3i)z+3+4i$ là một đường tròn bán kính $R$. Tính $R$.

Xét hình trụ $(T)$ nội tiếp một mặt cầu bán kính $R$ và $S$ là diện tích thiết diện qua trục của $(T)$. Tính diện tích xung quanh của hình trụ $(T)$ biết $S$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $B$, $SA=BC=3,AB=\sqrt{7}$. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(2;-3;4)$, mặt phẳng $(P):x-2y+z-12=0$ và mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$, bán kính $R=\sqrt{5}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua $M$, nằm trong $(P)$ và cắt $(S)$ theo dây cung dài nhất?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-3;1;-4)$ và $B(1;-1;2)$. Phương trình mặt cầu $(S)$ nhận $AB$ làm đường kính là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):2x-y-2z-2=0$ và mặt phẳng $(Q):2x-y-2z+10=0$ song song với nhau. Biết $A(1;2;1)$ là điểm nằm giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Gọi $(S)$ là mặt cầu qua $A$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Biết rằng khi $(S)$ thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1{)}^2=9$. Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0;3;0),B(0;0;-4)$ và mặt phẳng $(P):x+2z=0$. Điểm $C$ thuộc trục $Ox$ sao cho mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với $(P)$. Tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$ là

Cho mặt cầu $(S)$ có diện tích bằng $4\pi$. Thể tích khối cầu $(S)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ có tâm là $I(2;5;3)$ và cắt đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho chu vi tam giác $IAB$ bằng $10+2\sqrt{7}$. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu $(S)$?

Biết rằng mặt phẳng $(P):x+y-z+4=0$ cắt mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+(z+1{)}^2=16$ theo một đường tròn giao tuyến $(C)$. Tìm tọa độ tâm $H$ của đường tròn $(C)$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$ và mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2=8$. Đường thẳng $d$ thay đổi, đi qua điểm $M$, cắt mặt cầu $(S)$ tại hai điểm phân biệt. Tính diện tích lớn nhất $S$ của tam giác $OAB$.