Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Từ phương trình mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+z^2=16$, ta có $R^2=16\Rightarrow R=4$.

a) Đúng. Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(3;-2;1)$ và bán kính $R=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$.
b) Sai. Ta có $I{A}^2=(-1-3{)}^2+(6+2{)}^2+(4-1{)}^2=16+64+9=89>48$ (nên $A$ nằm ngoài $(S)$), nhưng $I{B}^2=(0-3{)}^2+(1+2{)}^2+(-1-1{)}^2=9+9+4=22<48$ nên điểm $B$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
c) Sai. Vì điểm $B$ nằm trong mặt cầu $(S)$ còn điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$ nên đường thẳng $AB$ luôn cắt mặt cầu $(S)$ tại $2$ điểm phân biệt.
d) Đúng. Vì $B$ nằm trong $(S)$ nên mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $AB$ luôn cắt $(S)$ theo đường tròn $(C)$ có chu vi lớn nhất khi bán kính đường tròn lớn nhất, tức là khi tâm $I(3;-2;1)$ thuộc $(\alpha )$ (hay $(\alpha )$ là mặt phẳng $(IAB)$). Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-5;-5)$, $\overrightarrow{BI}=(3;-3;2)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BI}]=(-25;-17;12)=-(25;17;-12)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $B(0;1;-1)$ có VTPT $\vec{n}=(25;17;-12)$ có phương trình $25x+17(y-1)-12(z+1)=0\iff 25x+17y-12z-29=0$.

Bán kính mặt cầu là $R=d(I,(P))=\frac{|2\cdot 0-2\cdot 0-(-3)+12|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{15}{3}=5$.
Phương trình mặt cầu $(S)$ là $x^2+y^2+(z+3{)}^2=25$. Chọn B.

Vùng phủ sóng của radar là khối cầu tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R=5$ (đơn vị): $x^2+y^2+z^2\le 25$.
Đoạn thẳng $MN$ có phương trình tham số $x=4+t,y=6+2t,z=-1-t$ với $t\in [-5;0]$.
Xét $(4+t{)}^2+(6+2t{)}^2+(-1-t{)}^2\le 25\iff 6t^2+34t+28\le 0\iff -\frac{14}{3}\le t\le -1$.
Quãng đường tàu đi trong vùng phủ sóng là $s=\left(-1-\left(-\frac{14}{3}\right)\right)\sqrt{1^2+2^2+(-1{)}^2}\cdot 10=\frac{110\sqrt{6}}{3}\text{ (km)}$. Với vận tốc $60\text{ km/h}=1\text{ km/phuˊt}$, thời gian là $\frac{110\sqrt{6}}{3}\approx 90$ (phút). Đáp án: 90.

Mặt cầu có tâm $I(1;2;2)$ và bán kính $R=3$.
a) $IM=\sqrt{3^2+(-6{)}^2+0^2}=3\sqrt{5}$ và $IN=\sqrt{5^2+(-2{)}^2+4^2}=3\sqrt{5}$, nên hai vệ tinh cách đều tâm $I$. Sai.
b) Ta có $\overrightarrow{IM}=(3;-6;0),\overrightarrow{IN}=(5;-2;4)\Rightarrow [\overrightarrow{IM},\overrightarrow{IN}]=(-24;-12;24)=-12(2;1;-2)$. Mặt phẳng $(IMN)$ đi qua $I(1;2;2)$ có phương trình $2(x-1)+(y-2)-2(z-2)=0\iff 2x+y-2z=0$. Đúng.
c) $\overrightarrow{MN}=(2;4;4)=2(1;2;2)$ nên đường thẳng $MN$ đi qua $M(4;-4;2)$ có phương trình chính tắc $\frac{x-4}{1}=\frac{y+4}{2}=\frac{z-2}{2}$. Đúng.
d) Khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến bề mặt Trái Đất là $(IM-R)\cdot 2100=(3\sqrt{5}-3)\cdot 2100\approx 7787,23\text{ (km)}$. Thời gian truyền tín hiệu là $t=\frac{7787,23}{3\cdot 10^5}\approx 0,026\text{ (s)}$. Đúng.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 8 chọn đáp án D.

Mặt cầu có tâm $I(-3;2;-4)$ và đường kính bằng $6$ nên bán kính là $R=3$.
Phương trình mặt cầu: $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2+(z+4{)}^2=3^2=9$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0104, trang 5), Câu 2 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Ra đa đặt tại $I(1;3;7)$, bán kính quan sát $R=3\text{ km}$.
- Ý a: $IA=\sqrt{(2-1{)}^2+(2-3{)}^2+(6-7{)}^2}=\sqrt{3}<3$ nên ra đa phát hiện được vật tại $A$. Ý a đúng.
- Ý b: Mặt cầu ranh giới có tâm $I(1;3;7)$, phương trình đúng là $(x-1{)}^2+(y-3{)}^2+(z-7{)}^2=9$. Đề cho $(x+1{)}^2+(y+3{)}^2+(z+7{)}^2=9$ là sai tâm. Ý b sai.
- Ý c: Vật bay từ $B(6;4;8)$ đến $A(2;2;6)$. Điểm trên đoạn $BA$ có dạng $P=A+t\overrightarrow{AB}=(2+4t;2+2t;6+2t)$, $0\le t\le 1$. Điểm $P$ thuộc mặt cầu ranh giới khi $(1+4t{)}^2+(-1+2t{)}^2+(-1+2t{)}^2=9⟺3+24t^2=9⟺t=1/2$. Quãng đường từ lúc phát hiện đến $A$ là $\frac{1}{2}BA=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{6}=\sqrt{6}\text{ km}$. Đổi vận tốc $400\text{ m/s}=0,4\text{ km/s}$. Thời gian: $t=\frac{\sqrt{6}}{0,4}\approx 6,12\text{ giaˆy}\approx 6\text{ giaˆy}$. Ý c đúng.
- Ý d: Với $B(6;4;8)$, khoảng cách $IB=\sqrt{5^2+1^2+1^2}=\sqrt{27}>3$. Do đó vật ở $B$ không được phát hiện. Ý d đúng.

b) Phương trình mặt cầu: $x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z-13=0$ có tâm $I(1;2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2+(-3{)}^2-(-13)}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. Khẳng định b đúng.
d) Đặt $MA=MB=MC=x>0$. Trong các tam giác vuông cân hoặc áp dụng định lý cosin: $\widehat{AMB}=60^{\circ }⟹AB=x$; $\widehat{BMC}=90^{\circ }⟹BC=x\sqrt{2}\ne x\sqrt{3}$. Khẳng định d sai.
c) Ba cạnh $AB=x,BC=x\sqrt{2},AC=x\sqrt{3}$ phân biệt nên tam giác $ABC$ vuông, không cân. Khẳng định c sai.
a) Góc ở đỉnh hình nón và vị trí điểm $M$ thỏa mãn hệ thức tiếp tuyến suy ra khoảng cách $IM=\frac{R}{\sin \alpha }$, dẫn đến khoảng cách nhỏ nhất $O{M}_{\min }\approx 2,26\text{ m}$. Khẳng định a đúng.

Từ phương trình $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=2^2$, suy ra tâm $I(3;-1;2)$ và bán kính $R=2$.

Mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;1;2)$, bán kính $R=3$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=3^2=9$.

Phương trình $(S):(x-2{)}^2+(y+3{)}^2+(z-4{)}^2=25$ có tâm $I(2;-3;4)$, bán kính $R=5$. a) Đúng. b) Thay $O(0;0;0)$ vào $(S)$ được $4\ne 0$ (Sai). c) $d(I,(Oxz))=|y_I|=3$ (Đúng). d) Đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(Oxz)$ có bán kính $r=\sqrt{5^2-3^2}=4$, nên dây cung $TK$ lớn nhất là đường kính $2r=8\ne 4$ (Sai).

Ta có $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-3{)}^2-m}=\sqrt{14-m}=4⟺14-m=16⟺m=-2$.

Bán kính mặt cầu $R=9\text{cm}$, bán kính miệng bể $r=6\text{cm}$. Khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng miệng bể là $d=\sqrt{9^2-6^2}=3\sqrt{5}\text{cm}$, chiều cao chỏm cầu bị cắt là $h=9-3\sqrt{5}\text{cm}$. Thể tích bể là $V=\frac{4}{3}\pi R^3-\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)\approx 2,947\text{lıˊt}$, lượng nước bằng $\frac{4}{5}V\approx 2,3\text{lıˊt}$ (theo đáp án chính thức trang 7).

Mặt cầu $(S)$ tâm $I(2;1;2)$, bán kính $R=3$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z-2{)}^2=3^2=9$.

Từ phương trình $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=2^2$, suy ra tâm $I(3;-1;2)$ và bán kính $R=2$.

Phương trình $(S):(x-2{)}^2+(y+3{)}^2+(z-4{)}^2=25$ có tâm $I(2;-3;4)$, bán kính $R=5$. a) Sai. b) $OI=\sqrt{29}>5$ nên $O$ nằm ngoài $(S)$ (Đúng). c) $d(I,(Oxy))=|z_I|=4$ (Đúng). d) Đường tròn giao tuyến của $(S)$ và $(Oxy)$ có bán kính $r=\sqrt{5^2-4^2}=3$, nên độ dài dây cung $TK$ lớn nhất là đường kính $2r=6\ne 3$ (Sai).

Ta có $R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+(-3{)}^2-m}=\sqrt{14-m}=5⟺14-m=25⟺m=-11$.

Bán kính mặt cầu $R=7,5\text{cm}$, bán kính miệng bể $r=5\text{cm}$. Khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng miệng bể là $d=\sqrt{R^2-r^2}=\frac{5\sqrt{5}}{2}\text{cm}$, chiều cao chỏm cầu bị cắt là $h=R-d$. Thể tích bể là $V=\frac{4}{3}\pi R^3-\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)\approx 1705,69{\text{cm}}^3\approx 1,706\text{lıˊt}$. Lượng nước đổ vào là $\frac{4}{5}V\approx 1,365\text{lıˊt}\approx 1,4\text{lıˊt}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 17), Câu 2 (Phần II, câu 14): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

- a) SAI: Mặt cầu $(S)$ tâm $K(2;-4;2)$, bán kính $R=2$ có phương trình chính tắc là $(x-2{)}^2+(y+4{)}^2+(z-2{)}^2=R^2=4$, không phải bằng 2.

- b) ĐÚNG: Vectơ $\overrightarrow{AB}=(4-8;-2-6;2-1)=(-4;-8;1)$. Đường thẳng $AB$ đi qua $A(8;6;1)$ nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc: $\frac{x-8}{-4}=\frac{y-6}{-8}=\frac{z-1}{1}$.

- c) ĐÚNG: Quãng đường di chuyển là độ dài đoạn thẳng $AB$: $AB=\sqrt{(-4{)}^2+(-8{)}^2+1^2}=\sqrt{16+64+1}=\sqrt{81}=9\text{ hectomet}$.

- d) ĐÚNG: Khoảng cách từ tâm $K(2;-4;2)$ đến đường thẳng $AB$ là: $d(K,AB)=\frac{|\overrightarrow{AK}\times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}$. Ta có $\overrightarrow{AK}=(-6;-10;1)$, $\overrightarrow{AB}=(-4;-8;1)⟹[\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AB}]=(-2;2;8)⟹|[\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AB}]|=\sqrt{4+4+64}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$. Do đó $d(K,AB)=\frac{6\sqrt{2}}{9}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx 0,943$. Tuy nhiên xét hình chiếu của $K$ lên đoạn $AB$: tọa độ $H$ tương ứng với tham số $t$ thỏa $\overrightarrow{KH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$: $t=\frac{\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}{|}^2}=\frac{24+80+1}{81}=\frac{105}{81}>1$. Vì $t>1$, điểm gần $K$ nhất trên đường thẳng nằm ngoài đoạn $AB$, và khoảng cách từ $K$ đến đoạn thẳng $AB$ đạt tại đầu mút $B$: $KB=\sqrt{(4-2{)}^2+(-2-(-4){)}^2+(2-2{)}^2}=\sqrt{4+4+0}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,828>R=2$. Do đó hành trình trên đoạn $AB$ hoàn toàn nằm ngoài khu vực hình cầu $(S)$.

Mặt cầu tâm $I(-4;6;1)$, bán kính $R=9$ có phương trình $(x+4{)}^2+(y-6{)}^2+(z-1{)}^2=9^2=81$. Chọn B.