Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4;-5;3)$ và bán kính $R=\sqrt{4^2+(-5{)}^2+3^2-49}=\sqrt{16+25+9-49}=1$. Chọn A.

Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$ bán kính $R$ là $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.
Thay $I(0;-2;1)$ và $R=5$ ta được: $x^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=25$.

a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-2;-1;1)$ và bán kính $R=\sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2+1^2-(-3)}=3$. Mệnh đề a sai.
b) Khoảng cách $d(I,(P))=\frac{|2(-2)+2(-1)+1-10|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{15}{3}=5$. Mệnh đề b đúng.
c) Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n}=(2;2;1)$. Ta có $\sin \alpha =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|6+4-6|}{7\cdot 3}=\frac{4}{21}⟹\cos \alpha =\frac{\sqrt{425}}{21}\ne \frac{4}{21}$. Mệnh đề c sai.
d) Góc giữa đường thẳng $MN$ và $(P)$ cố định bằng $\alpha$. Ta có $MN=\frac{MH}{\sin \alpha }=\frac{MJ+d(I,(P))}{\sin \alpha }$. Do đó $MN$ lớn nhất khi $MJ$ lớn nhất $⟺M,I,H$ thẳng hàng theo thứ tự đó, suy ra $M(-4;-3;0)$. Khi đó $a-2b+3c=-4-2(-3)+3(0)=2$. Mệnh đề d đúng.

Tâm $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow I(1;2;0)$.
Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(-2{)}^2+2^2+2^2}}{2}=\frac{\sqrt{12}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow R^2=3$.
Phương trình mặt cầu là: $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=3$.

a) Tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là trung điểm của $AB$ nên $I(-1;4;4)\ne (-3;4;4)$. Sai.
b) Ta có $AB=\sqrt{(-6{)}^2+6^2+2^2}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$, nên bán kính mặt cầu là $R=\frac{AB}{2}=\sqrt{19}\ne 2\sqrt{19}$. Sai.
c) Mặt cầu $(S)$ tâm $I(-1;4;4)$, bán kính $R=\sqrt{19}$ có phương trình $(x+1{)}^2+(y-4{)}^2+(z-4{)}^2=19$. Đúng.
d) Vì $AB$ là đường kính của mặt cầu $(S)$ nên với mọi $M\in (S)$ ta luôn có $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$. Đúng.

a) Vì hệ trục tọa độ quy ước $1$ đơn vị $=100\text{ m}$, nên bán kính mặt cầu tương ứng là $R=\frac{800}{100}=8$. Phương trình mặt cầu đúng phải là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1,2{)}^2=8^2=64$. Mệnh đề a) SAI.
b) Thời gian tàu đi từ $A$ đến $B$ là $30$ phút. Vectơ dịch chuyển $\overrightarrow{AB}=(-30;30;0)$, vectơ vận tốc mỗi phút là $\vec{v}=\frac{1}{30}\overrightarrow{AB}=(-1;1;0)$.
Tại thời điểm $8\text{h}10$ (sau $t=10$ phút), vị trí của tàu là $M=A+10\vec{v}=(6;-3;0)$.
Ta có $I{M}^2=(6-1{)}^2+(-3-2{)}^2+(0-1,2{)}^2=25+25+1,44=51,44<R^2=64$, nên tàu nằm trong vùng nhận diện. Mệnh đề b) ĐÚNG.
c) Vị trí tổng quát của tàu theo thời gian $t$ (phút) là $M(t)=(16-t;-13+t;0)$.
$I{M}^2(t)=(15-t{)}^2+(t-15{)}^2+(-1,2{)}^2=2(t-15{)}^2+1,44$, đạt giá trị nhỏ nhất khi $t=15$ phút (tức là lúc $8$ giờ $15$ phút). Mệnh đề c) SAI.
d) Tàu nằm trong vùng nhận diện khi $I{M}^2(t)\le 64\iff 2(t-15{)}^2+1,44\le 64\iff (t-15{)}^2\le 31,28\iff |t-15|\le \sqrt{31,28}\approx 5,59$.
Thời gian tàu ở trong vùng nhận diện là $\Delta t=2\sqrt{31,28}\approx 11,19$ phút $\le 12$ phút. Mệnh đề d) ĐÚNG.

Mặt cầu có tâm là gốc tọa độ $O(0;0;0)$ và bán kính $R=3$.
Giả sử đèn chiếu điểm $M$ có tọa độ $(x_0;y_0;z_0)$. Khi đó, với mỗi tiếp điểm $T(x;y;z)$ trên mặt cầu, ta có $\overrightarrow{OT}\perp \overrightarrow{MT}\Rightarrow x(x-x_0)+y(y-y_0)+z(z-z_0)=0$. Kết hợp $x^2+y^2+z^2=9$, phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa đường tròn tiếp điểm là:
$x_{0}x+y_{0}y+z_{0}z=9$.
Vì mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm cố định $D(2;0;1)$ nên:
$2x_0+0\cdot y_0+1\cdot z_0=9\iff 2x_0+z_0=9$ $(1)$.
Do điểm $M(x_0;y_0;z_0)$ nằm trên đường thẳng $d$, ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_0=1+t\\ y_0=1+2t\\ z_0=2-3t\end{array}$.
Thay vào $(1)$: $2(1+t)+(2-3t)=9\iff 4-t=9\Rightarrow t=-5$.
Suy ra $M(-4;-9;17)$ (thỏa mãn $OM>R$).
Khoảng cách từ đèn $M$ đến tâm khối cầu $O(0;0;0)$ là:
$OM=\sqrt{(-4{)}^2+(-9{)}^2+17^2}=\sqrt{16+81+289}=\sqrt{386}\approx 19,647\text{ (m)}$.
Làm tròn đến hàng phần chục của mét, ta được $19,6$.
Đáp số: 19,6.

Mặt cầu $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ có tâm là $I(a;b;c)$. Do đó $(S)$ có tâm $I(1;2;-3)$.

Lời giải chi tiết:

- Bước 1: Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;1;2)$, bán kính $R=\sqrt{6}$.
Khoảng cách từ $I$ đến $(\alpha )$ là $d(I,(\alpha ))=\frac{|1+1-2+4|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$.
Bán kính đường tròn khung thép là $r=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{6-\frac{16}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Tâm $H$ của đường tròn là hình chiếu của $I$ lên $(\alpha )$: $H\left(-\frac{1}{3};-\frac{1}{3};\frac{10}{3}\right)$.
- Bước 2: Bán kính vùng chiếu sáng trên sàn $(P)$ là $R_s=h\tan 30^{\circ }=\frac{h}{\sqrt{3}}$, diện tích $S=\pi R_s^2=\frac{\pi h^2}{3}$, với $h=d(A,(P))$.
Diện tích nhỏ nhất khi $h$ nhỏ nhất.
- Bước 3: Khoảng cách từ tâm $H$ đến mặt sàn $(P)$ là $d(H,(P))=\frac{|-1/3-2(-1/3)+2(10/3)+10|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac{17}{3}$.
Góc giữa $(\alpha )$ và $(P)$ là $\cos \phi =\frac{|1-2-2|}{\sqrt{3}\cdot 3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \sin \phi =\sqrt{\frac{2}{3}}$.
Khoảng cách nhỏ nhất từ $A$ trên khung thép đến $(P)$ là $h_{\min }=d(H,(P))-r\sin \phi =\frac{17}{3}-\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{17}{3}-\frac{2}{3}=5\text{ m}$.
- Bước 4: Diện tích vùng chiếu sáng nhỏ nhất là $S_{\min }=\frac{\pi \cdot 5^2}{3}=\frac{25\pi }{3}\approx 26,1799\cdots \approx 26,2{\text{ m}}^2$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 9), Câu 12 (Phần I) chọn đáp án D.

Phương trình mặt cầu tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R>0$ có dạng chính tắc:

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2.$

Trong các phương án, chỉ có phương án D đúng dạng phương trình mặt cầu với tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R=5$.

Chọn đáp án D.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 10), Câu 2 (Phần II, câu 14): a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Lời giải chi tiết:

- a) ĐÚNG: Phi thuyền ở vị trí $P(-8;-3;4)$, bán kính vùng được phép bay là $R=5\text{ m}$. Vùng được phép bay là hình cầu tâm $P(-8;-3;4)$, bán kính $5$ có biên là mặt cầu phương trình: $(x+8{)}^2+(y+3{)}^2+(z-4{)}^2=25$.

- b) ĐÚNG: Khoảng cách từ vị trí $A(1;2;0)$ đến $P(-8;-3;4)$ là: $AP=\sqrt{(1+8{)}^2+(2+3{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{81+25+16}=\sqrt{122}$. Khoảng cách ngắn nhất từ $A$ đến mặt cầu vùng bay là: $\sqrt{122}-5\approx 11,045-5=6,045\approx 6,05\text{ m}$.

- c) ĐÚNG: Nhân vật di chuyển trên mặt đất $z=0$. Hình chiếu vuông góc của $P$ xuống mặt đất là $P^{\prime }(-8;-3;0)$. Khoảng cách ngắn nhất đạt được khi nhân vật di chuyển trên đoạn thẳng nối $A(1;2;0)$ và $P^{\prime }(-8;-3;0)$. Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A{P}^{\prime }}=(-9;-5;0)$, cùng phương với vectơ $(9;5;0)$. Phương trình tham số đường thẳng qua $A(1;2;0)$ có dạng $\{\begin{array}{l}x=1+9t\\ y=2+5t\\ z=0\end{array}$.

- d) ĐÚNG: Vết của mặt cầu trên mặt phẳng $z=0$ là hình tròn $(x+8{)}^2+(y+3{)}^2\le 25-16=9$, tâm $P^{\prime }(-8;-3;0)$, bán kính $r=3\text{ m}$. Khoảng cách $A{P}^{\prime }=\sqrt{(1+8{)}^2+(2+3{)}^2}=\sqrt{106}\approx 10,296\text{ m}$. Quãng đường nhân vật phải chạy là $s=\sqrt{106}-3\approx 7,296\text{ m}$. Với gia tốc $a=1{\text{ m/s}}^2$: $s=\frac{1}{2}a{t}_1^2⟹t_1=\sqrt{2s}\approx 3,82\text{ giaˆy}$. Thời gian bay lên phi thuyền với khoảng cách $5\text{ m}$ và vận tốc $6\text{ m/s}$ là: $t_2=\frac{5}{6}\approx 0,83\text{ giaˆy}$. Tổng thời gian: $t=t_1+t_2\approx 3,82+0,83=4,65\approx 4,7\text{ giaˆy}$.

Phương trình mặt cầu có dạng: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$. Thay tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ vào, ta được: $(x-1{)}^2+y^2+(z+3{)}^2=(\sqrt{10}{)}^2=10$. Chọn B.

Phương pháp: Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ có bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.
Lời giải: Từ phương trình mặt cầu ta xác định được: $a=1,b=-2,c=4,d=-6$. Bán kính của mặt cầu là:
$R=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+4^2-(-6)}=\sqrt{1+4+16+6}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$.
Chọn B.

Lời giải: Vùng phủ sóng của radar là một khối cầu tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R=500\text{ km}$. Phương trình mặt cầu giới hạn là $x^2+y^2+z^2=250000$.
Máy bay xuất phát từ $A(0;0;300)$ bay theo hướng $\vec{u}=(3;4;0)$ có phương trình đường đi dạng tham số là: $\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=4t\\ z=300\end{array}$ ($t\ge 0$).
Thời điểm máy bay ra khỏi vùng phủ sóng ứng với giao điểm của đường bay và mặt cầu giới hạn:
$(3t{)}^2+(4t{)}^2+300^2=500^2\iff 25t^2+90000=250000\iff 25t^2=160000\iff t^2=6400\Rightarrow t=80$ (vì $t\ge 0$).
Tại thời điểm $t=80$, vị trí cuối cùng của máy bay trên màn hình là $M(240;320;300)$. Khoảng cách dịch chuyển từ vị trí $A$ ban đầu đến vị trí $M$ là:
$AM=\sqrt{(240-0{)}^2+(320-0{)}^2+(300-300{)}^2}=\sqrt{240^2+320^2}=400\text{ (km)}$.
Đáp số: 400.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 5), Câu 6 (Phần 1) chọn đáp án C.

Phương trình mặt cầu tâm $I(0;-2;1)$, bán kính $R=5$ là $x^2+(y+2{)}^2+(z-1{)}^2=25$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1202, trang 5), Câu 7 (Phần 1) chọn đáp án A.

Phương trình mặt cầu tâm $I(1;2;-1)$, bán kính $R=2$ là $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=4$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1202, trang 5), Câu 10 (Phần 1) chọn đáp án B.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-3;1)$ và bán kính $R=\sqrt{16}=4$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1202, trang 5), Câu 3 (Phần 3, câu 19) có đáp số là $2$.

Tâm mặt cầu là $I(0;3;-1)$ đã nằm trên mặt phẳng $(P):2(0)-3+3=0$, nên giao điểm $H$ của $d$ và $(P)$ chính là $I(0;3;-1)$. Vậy $S=0+3+(-1)=2$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 5), Câu 7 (Phần 1) chọn đáp án D.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;-1;1)$ và bán kính $R=\sqrt{9}=3$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0135, trang 5), Câu 9 (Phần 1) chọn đáp án A.

Tâm $I$ là trung điểm của $MN$ nên $I(-1;-2;-1)$, bán kính $R=IM=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2+(-4{)}^2}=6⟹R^2=36$.