Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x+3y-4z+5=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=3,C=-4$, nên một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;3;-4)$. Đây chính là đáp án A, khớp với đáp án của đề (mã đề 103, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxz)$ là mặt phẳng chứa trục $Ox$, trục $Oz$ và vuông góc với trục $Oy$, nên mọi điểm của nó có tung độ $y=0$. Vậy phương trình tổng quát của $(Oxz)$ là $y=0$, tương ứng đáp án D. (Lưu ý: đáp án trong bảng mã đề 103 cho câu 12 là D, khớp với kết quả này.)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau nên phương trình có dạng $x+y+z=k$ (các hệ số bằng nhau, hệ số của $x$ bằng 1). Vì mặt phẳng đi qua $M(1;1;2)$ nên $k=1+1+2=4$. Vậy phương trình là $x+y+z-4=0$, suy ra $a=b=1$ và $c=-4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn ($-4$).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oyz)$ là mặt phẳng chứa trục $Oy$, trục $Oz$ và đi qua gốc $O$, tức là tập hợp các điểm có hoành độ $x=0$. Vậy phương trình tổng quát của $(Oyz)$ là $x=0$. Đáp án A, trùng với đáp án của đề (theo bảng mã đề 103, câu 11 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau nên có dạng $\frac{x}{p}+\frac{y}{p}+\frac{z}{p}=1$ ($p\ne 0$), tức $x+y+z=p$. So với $x+ay+bz+c=0$ ta được $a=1$, $b=1$, $c=-p$. Mặt phẳng đi qua $M(1;2;1)$ nên $1+2+1=p=4$, phương trình là $x+y+z-4=0$. Vậy $a=1$, khớp với đáp án nguồn (đề 102/104, Câu 3 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x+3y+4z+5=0$ có dạng tổng quát $Ax+By+Cz+D=0$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A;B;C)$. Do đó $\vec{n}=(1;3;4)$, trùng với ${\vec{n}}_3$ ở phương án C. Kết quả trùng với đáp án đề 102, câu 5: C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oxz)$ là tập hợp các điểm có tung độ $y=0$, nên phương trình tổng quát là $y=0$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 101: câu 11 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia $Ox$, $Oy$, $Oz$ các đoạn bằng nhau nên có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1$ ($a\ne 0$), tức $x+y+z=a$. So với $x+ay+bz+c=0$ (hệ số của $x$ bằng 1) ta được $a=b=1$. Mặt phẳng đi qua $M(1;1;2)$ nên $1+1+2+c=0$, suy ra $c=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn ($-4$).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x+3y-4z+5=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=1,B=3,C=-4$, nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;3;-4)$. Đáp án khớp với key B (đề 101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-y+3z-5=0$ có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a=2,b=-1,c=3$, nên một véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1;3)$. Đây chính là đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình 8x-3y+2z+61=0, véc-tơ pháp tuyến là n=(8;-3;2). b) Thay A(-7;9;7): 8(-7)-3(9)+2(7)+61 = -56-27+14+61 = -8 ≠ 0 nên A không thuộc (P) → sai. c) d(M,(P)) = |8(-5)-3(9)+2(7)+61|/√(64+9+4) = |-40-27+14+61|/√77 = 8/√77 = 8√77/77 → đúng. d) (R): -40x+15y-10z+63=0, chia hai vế cho -5: 8x-3y+2z-63/5=0, song song với (P). Khoảng cách d = |61-(-63/5)|/√77 = (368/5)/√77 = 368√77/385 ≈ 4,19, khác 368√77/77 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng cho véc-tơ pháp tuyến n=(8;-3;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
8(-7)-3(9)+2(7)+61 = -8 ≠ 0 nên A không thuộc (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
d = |−40−27+14+61|/√77 = 8/√77 = 8√77/77.
d) (AI giải đề cho tôi)
(R) chia cho -5 được 8x-3y+2z-63/5=0; d = (61+63/5)/√77 = 368√77/385, không phải 368√77/77.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp: $\overrightarrow{AD}=D-A=(-2;2;-2)$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(4;4;2)$. Suy ra $C=B+\overrightarrow{AD}=(-7;5;-4)$, $C^{\prime }=C+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-3;9;-2)$. Vectơ $\overrightarrow{C^{\prime }D}=D-C^{\prime }=(-1;-8;-5)$ nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực là $(1;8;5)$, tức $m=1,n=5$. Trung điểm của $C^{\prime }D$ là $I\left(-\frac{7}{2};5;-\frac{9}{2}\right)$. Mặt phẳng trung trực: $(x+\frac{7}{2})+8(y-5)+5(z+\frac{9}{2})=0\iff x+8y+5z-14=0$, vậy $p=-14$. Do đó $3m+2n-p=3+10+14=27$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Véctơ pháp tuyến của (P): 8x+9y+7z-86=0 là n=(8;9;7). Ta có (-40;-45;-35) = -5·(8;9;7), cùng phương với (8;9;7) nên là một pháp tuyến của (P). Đúng.
b) Thay A(2;3;5): 8·2+9·3+7·5-86 = 16+27+35-86 = -8 ≠ 0, nên A không thuộc (P). Sai.
c) Pháp tuyến của (Q) là n_Q=(-40;-45;7). Vì -40/8 = -5, -45/9 = -5 nhưng 7/7 = 1 ≠ -5, hai véctơ pháp tuyến không cùng phương nên (Q) không song song với (P). Sai.
d) Hai mặt phẳng vuông góc khi n_β·n_P = 0: 8m+9(m+3)+7·2m = 31m+27 = 0 ⟹ m = -27/31, không phải m = 27/31. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(-40;-45;-35) = -5(8;9;7) cùng phương với pháp tuyến (8;9;7) của (P), nên là một véctơ pháp tuyến của (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
8·2+9·3+7·5-86 = -8 ≠ 0 nên A(2;3;5) không thuộc (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
n_Q=(-40;-45;7) không cùng phương với n_P=(8;9;7) vì 7/7 ≠ -5, nên (Q) không song song với (P).
d) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện vuông góc: 8m+9(m+3)+14m = 31m+27 = 0 ⟹ m = -27/31 ≠ 27/31, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, ta có $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(4;-4;3)$ và $\overrightarrow{C^{\prime }D}=\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DA}$... Cụ thể: $C=B+D-A=(-10;1;-2)$, nên $C^{\prime }=C+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-6;-3;1)$. Suy ra $\overrightarrow{C^{\prime }D}=D-C^{\prime }=(0;2;0)$, trung điểm của $C^{\prime }D$ là $I=(-6;-2;1)$. Mặt phẳng trung trực của $C^{\prime }D$ đi qua $I$ và vuông góc với $\overrightarrow{C^{\prime }D}=(0;2;0)$ nên có dạng $y=-2$, tức $0x+2y+0z+4=0$. Vậy $m=0,n=0,p=4$, do đó $3m+n-2p=0+0-8=-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-y+3z-5=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2$, $B=-1$, $C=3$, $D=-5$. Véc-tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(A;B;C)=(2;-1;3)$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-y+3z-5=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=-1,C=3$. Vậy một véc-tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-1;3)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Véc-tơ pháp tuyến của (P) là (9;6;5), và (-27;-18;-15) = -3·(9;6;5) nên là một pháp tuyến của (P): đúng. b) Thay A(6;-5;7): 9·6+6·(-5)+5·7-59 = 54-30+35-59 = 0, vậy A thuộc (P), khẳng định 'không thuộc' là sai. c) d(M,(P)) = |9·(-3)+6·(-5)+5·7-59|/√(81+36+25) = |-81|/√142 = 81/√142 = 81√142/142 ≠ 36√142/71 (=72√142/142): sai. d) (R): -27x-18y-15z-57=0 chia cho -3 được 9x+6y+5z+19=0, song song với (P). Khoảng cách = |−59−19|/√142 = 78/√142 = 39√142/71: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(-27;-18;-15) = -3·(9;6;5) cùng phương với pháp tuyến (9;6;5) của (P), nên là một véc-tơ pháp tuyến của (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(6;-5;7) vào (P): 54-30+35-59 = 0 nên A thuộc (P); khẳng định 'không thuộc' sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P)) = |-27-30+35-59|/√142 = 81/√142 = 81√142/142, khác 36√142/71 = 72√142/142.
d) (AI giải đề cho tôi)
(R) chia -3 được 9x+6y+5z+19=0 song song với (P); d = |−59−19|/√142 = 78/√142 = 39√142/71.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $C=B+D-A=(4;7;-3)$. $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $C^{\prime }=C+(A^{\prime }-A)=(8;9;-7)$. Trung điểm $I$ của $C^{\prime }D$: $I=(6;8;-5)$. Vectơ $\overrightarrow{C^{\prime }D}=D-C^{\prime }=(-8;-5;7)$ là pháp tuyến. Mặt phẳng trung trực: $-8(x-6)-5(y-8)+7(z+5)=0\iff -8x-5y+7z+123=0\iff 8x+5y-7z-123=0$. Vậy $m=8,n=-7,p=-123$, suy ra $m+n-3p=8-7-3(-123)=370$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình 9x+5y+9z-63=0, véc-tơ pháp tuyến là n=(9;5;9). b) Sai: thay A(0;0;7) vào (P): 9.0+5.0+9.7-63=0, nên A thuộc (P), khẳng định 'không thuộc' sai. c) Sai: pháp tuyến của (Q) là n_Q=(-27;-15;9)=-3(9;5;-3), không tỉ lệ với n_P=(9;5;9) (thành phần z khác dấu tỉ lệ), nên hai mặt phẳng không song song (nếu song song thì -27/-15/9 phải cùng tỉ lệ với 9/5/9; 9/(-27)=-1/3 nhưng 9/9=1). d) Sai: với m=0, pháp tuyến của (β) là n_β=(0;10;0), khi đó n_P·n_β=9.0+5.10+9.0=50≠0, nên (β) không vuông góc với (P).
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (P): 9x+5y+9z-63=0 là n=(9;5;9).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(0;0;7): 9.0+5.0+9.7-63=0 nên A thuộc (P); khẳng định 'không thuộc' sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
n_Q=(-27;-15;9) không tỉ lệ với n_P=(9;5;9) vì 9/(-27)=-1/3 nhưng 9/9=1, nên (Q) không song song (P).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với m=0, n_β=(0;10;0), n_P·n_β=50≠0 nên (β) không vuông góc (P).

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-4;-3;-3)$, $\overrightarrow{AB}=(-3;-4;3)$, nên $C=B+D-A=(4;-3;3)$ và $C^{\prime }=C+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0;-6;0)$. Trung điểm của $C^{\prime }D$ là $I=\left(\frac{7}{2};-\frac{5}{2};0\right)$, vecto $\overrightarrow{C^{\prime }D}=D-C^{\prime }=(7;7;0)$. Mặt phẳng trung trực của $C^{\prime }D$ đi qua $I$ và có pháp tuyến $\overrightarrow{C^{\prime }D}=(7;7;0)$: $7x+7y+p=0$. Thay $I$: $7\cdot \frac{7}{2}+7\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)+p=0\Rightarrow 7+p=0\Rightarrow p=-7$. So với dạng $mx+7y+nz+p=0$ ta có $m=7$, $n=0$, $p=-7$. Vậy $2m-n-2p=14-0+14=28$.