Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

Đáp án theo bảng đáp án mã 101, Phần II, Câu 3: SĐĐS — a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Lưu ý: bản ghi trước đây đánh dấu ý c) là Sai, không khớp bảng đáp án SĐĐS ở trang 9; đã sửa ý c) thành Đúng và bổ sung lời giải cho từng ý.
a) Sai. Mặt phẳng $(ABC)$ có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{5}=1$, tức $\frac{x}{2}-y+\frac{z}{5}=1$ (không bằng $0$). Thử điểm $B(0;-1;0)$ vào $\frac{x}{2}-\frac{y}{1}+\frac{z}{5}=0$ được $1\ne 0$, nên khẳng định trên sai. Theo bảng đáp án mã 101: S.
b) Đúng. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$ đi qua $AC$ lớn nhất khi $(P)\perp (OAC)$, khi đó $d(O,(P))=d(O,AC)=\frac{|\overrightarrow{OA}\times \overrightarrow{OC}|}{AC}=\frac{|(2;0;0)\times (0;0;5)|}{\sqrt{4+25}}=\frac{10}{\sqrt{29}}=\frac{10\sqrt{29}}{29}$. Theo bảng đáp án mã 101: Đ.
c) Đúng. Trực tâm $H$ thỏa $\{\begin{array}{l}(H-A)\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ (H-B)\cdot \overrightarrow{AC}=0\end{array}$. Với $H(x;y;z)$: $y+5z=0$ và $-2x+5z=0$, suy ra $H=\left(\frac{5z}{2};-5z;z\right)$, tức $H$ nằm trên đường thẳng qua $O$ có VTCP $\left(\frac{5}{2};-5;1\right)\propto \left(1;-2;\frac{2}{5}\right)$. Vậy $OH$ đi qua $M\left(1;-2;\frac{2}{5}\right)$. Theo bảng đáp án mã 101 (dòng Câu 3: SĐĐS): Đ.
d) Sai. Gọi $I(x;y;z)$ là tâm mặt cầu qua $O,A,B,C$. Vì $IO=IA=IB=IC$ nên $x=1$, $y=-\frac{1}{2}$, $z=\frac{5}{2}$. Khi đó $R^2=I{O}^2=1+\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=\frac{15}{2}$, tức $R=\frac{\sqrt{30}}{2}\ne \frac{\sqrt{30}}{4}$. Theo bảng đáp án mã 101: S.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ là các giao điểm của mặt phẳng với ba trục. Trọng tâm $G=\left(\frac{a}{3};\frac{b}{3};\frac{c}{3}\right)=(1;-1;-2)$ nên $a=3$, $b=-3$, $c=-6$. Mặt phẳng có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{3}+\frac{y}{-3}+\frac{z}{-6}=1$, tức $\frac{x}{3}-\frac{y}{3}-\frac{z}{6}=1$. Khớp với đáp án C (đáp án nguồn là C, đúng).

Chọn $A(2;1;0)\in {\Delta }_1,B(1;-1;-1)\in {\Delta }_2$. VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=\left[\overrightarrow{AB},{\vec{u}}_{\Delta }\right]=(5;-1;-3)$. PTMP: $5(x-2)-(y-1)-3z=0\iff 5x-y-3z-9=0$. (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
(Lời giải do AI thực hiện, không có trong nguồn; đáp số S = 125 đã kiểm tra lại.)

Ý a. Đặt hệ trục toạ độ Oxyz với O là gốc, OA, OB, OC lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz. Khi đó $A(a;0;0)$, $B(0;b;0)$, $C(0;0;c)$ với $a=OA$, $b=OB$, $c=OC$.

Mặt phẳng (ABC) có phương trình: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$, tức $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$.

Khoảng cách từ O đến (ABC) chính là OH:
$$OH=\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}}}$$

Suy ra $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$. (Đpcm)

Kiểm tra H là trực tâm: vectơ pháp tuyến của (ABC) là $\vec{n}=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)$, và $\overrightarrow{AH}$ cùng phương với $\vec{n}$. Ta có $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{1}{a}\cdot (-a)\cdot 0+\frac{1}{b}\cdot (-b)+\frac{1}{c}\cdot c=-1+1=0$, tức $AH\perp BC$; tương tự $BH\perp AC$, $CH\perp AB$. Vậy H là trực tâm tam giác ABC.

Ý b. Gọi $d=OH$. Vì $\sin \alpha =\frac{d}{OA}$ nên
$${\cot }^2\alpha =\frac{O{A}^2}{d^2}-1=O{A}^2\left(\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}\right)-1=\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}$$

Tương tự ${\cot }^2\beta =\frac{b^2}{c^2}+\frac{b^2}{a^2}$, ${\cot }^2\gamma =\frac{c^2}{a^2}+\frac{c^2}{b^2}$.

Do đó
$$3+{\cot }^2\alpha =3+\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge 3+\frac{2a^2}{bc}$$
(theo AM–GM: $\frac{a^2}{b^2}+\frac{a^2}{c^2}\ge \frac{2a^2}{bc}$), dấu bằng khi $b=c$. Tương tự cho các yếu tố còn lại.

Đặt $u=\frac{a^2}{bc}$, $v=\frac{b^2}{ca}$, $w=\frac{c^2}{ab}$ thì $uvw=1$. Suy ra
$$S\ge (3+2u)(3+2v)(3+2w)$$

Với $uvw=1$, tích $(3+2u)(3+2v)(3+2w)$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $u=v=w=1$ (hàm $\ln (3+2e^t)$ lồi, theo bất đẳng thức Jensen hoặc AM–GM ba biến):
$$S\ge (3+2\cdot 1{)}^3=5^3=125$$

Dấu bằng xảy ra đồng thời khi $a=b=c$, tức $OA=OB=OC$. Khi đó ${\cot }^2\alpha ={\cot }^2\beta ={\cot }^2\gamma =2$ và $S=5^3=125$.

Vậy $\min S=125$, đạt được khi $OA=OB=OC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của (P): $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(3;2;1)$. Mặt phẳng qua $M(1;5;-1)$: $3(x-1)+2(y-5)+(z+1)=0\iff 3x+2y+z-12=0$.
a) Sai: phương trình đúng là $3x+2y+z-12=0$; thay $M$ vào $3x+2y+z+12=0$ được $3+10-1+12=24\ne 0$.
b) Góc giữa $(P)$ và mặt đất: $\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|}=\frac{1}{\sqrt{14}}\approx 0,2673\Rightarrow \phi \approx 74,5^{\circ }>72^{\circ }$ nên tiêu chuẩn KHÔNG thỏa mãn → Sai.
c) $A\in S_1$ (trục Ox) và $(P)$: $3x=12\Rightarrow A(4;0;0)$; $B\in S_2$: $2y=12\Rightarrow B(0;6;0)$. Diện tích $△OAB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12m^2$ → Đúng.
d) $N$ là chân đường vuông góc từ $O$ xuống $(P)$, $ON=\frac{12}{\sqrt{14}}\approx 3,2071$ m. Quãng đường ${\int }_0^{T}4tdt=2T^2=3,2071\Rightarrow T=\sqrt{1,60355}\approx 1,2663\approx 1,27$ giây → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Mặt phẳng (P) qua M(1;5;-1) với $\vec{n}=(3;2;1)$ có phương trình $3x+2y+z-12=0$, không phải $3x+2y+z+12=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Góc nghiêng với mặt đất: $\cos \phi =1/\sqrt{14}\Rightarrow \phi \approx 74,5^{\circ }>72^{\circ }$, tiêu chuẩn không thỏa mãn.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $A(4;0;0)$, $B(0;6;0)$ nên $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12m^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $ON=12/\sqrt{14}\approx 3,2071$ m; $2T^2=3,2071\Rightarrow T\approx 1,27$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M(a;b;1)\in (P):2x-y+z-3=0$ nên thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình mặt phẳng: $2a-b+1-3=0$, suy ra $2a-b=2$. Do đó $S=20a-10b=10(2a-b)=10\cdot 2=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x+3y-4z+11=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=3,C=-4$. Véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(A;B;C)=(2;3;-4)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua $M(-3;0;4)$ với véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$ có phương trình: $1(x+3)+2(y-0)+2(z-4)=0$, tức $x+3+2y+2z-8=0\iff x+2y+2z-5=0$. Thử lại với $M$: $-3+0+8-5=0$ đúng. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $B(0;0;0)$, $A(16;0;0)$, $C(0;20;0)$, $A^{\prime }(16;0;25)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ đi qua $B$ chứa các vectơ $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(16;0;25)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;20;0)$, có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{B{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{BC}=(-500;0;320)$, tức phương trình $25x-16z=0$. Khoảng cách từ $A(16;0;0)$: $d=\frac{|25\cdot 16|}{\sqrt{25^2+16^2}}=\frac{400}{\sqrt{881}}\approx 13,4765\approx 13,5$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $B(0;0;0)$, $A(8;0;0)$, $C(0;12;0)$, $A^{\prime }(8;0;9)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }BC)$ đi qua $B$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(0;12;0)$, $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(8;0;9)$. Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(108;0;-96)\sim (9;0;-8)$. Phương trình mặt phẳng: $9x-8z=0$. Khoảng cách từ $A(8;0;0)$: $d=\frac{|9\cdot 8|}{\sqrt{81+64}}=\frac{72}{\sqrt{145}}\approx 5,98$ cm.

Mặt phẳng $(P):Ax+By+Cz+D=0$ thì $(P)$ có VTPT là $(A;B;C)$.
Mặt phẳng $(P):2x-3y+1=0$ có một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3;0)$.
Chọn đáp án C

a) VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Oxz)$ là $\vec{n}=\vec{j}=(0;1;0)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Oxz)$.
Khi đó $\cos \alpha =\cos ((P),(Oxz))=\frac{|1\cdot 0+(-1)\cdot 1+0\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{\circ }$.

b) Thay tọa độ $A(6;-3;4)$ vào đường thẳng $\Delta$ ta được $\frac{6}{3}=\frac{-3+1}{-1}=\frac{4-2}{1}$ (đúng) nên $A\in \Delta$.

c) Khoảng cách từ điểm $A(6;-3;4)$ đến mặt phẳng $(P):x-y-2=0$ là
$$d(A,(P))=\frac{|6+3-2|}{1^2+(-1{)}^2+0^2}$$

d) VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Q)$ là ${\vec{n}}_{(Q)}=(m;n;1)$.
Để $(P)\perp (Q)\iff m\cdot 1+n\cdot (-1)+1\cdot 0=0\iff m-n=0\iff m=n$.

Chọn đáp án a sai | b đúng | c sai | d đúng.
a) VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Oxz)$ là $\vec{n}=\vec{j}=(0;1;0)$.
Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Oxz)$.
Khi đó $\cos \alpha =\cos ((P),(Oxz))=\frac{|1\cdot 0+(-1)\cdot 1+0\cdot 0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2+0^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \alpha =45^{\circ }$.
b) Thay tọa độ $A(6;-3;4)$ vào đường thẳng $\Delta$ ta được $\frac{6}{3}=\frac{-3+1}{-1}=\frac{4-2}{1}$ (đúng) nên $A\in \Delta$.
c) Khoảng cách từ điểm $A(6;-3;4)$ đến mặt phẳng $(P):x-y-2=0$ là
$$d(A,(P))=\frac{|6+3-2|}{1^2+(-1{)}^2+0^2}$$
d) VTPT của $(P)$ là ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-1;0)$
VTPT của $(Q)$ là ${\vec{n}}_{(Q)}=(m;n;1)$.
Để $(P)\perp (Q)\iff m\cdot 1+n\cdot (-1)+1\cdot 0=0\iff m-n=0\iff m=n$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;4;1),{\overrightarrow{n}}_Q=(3;1;1)$.
Vecto pháp tuyến của $(P)$ là ${\overrightarrow{n}}_P=[\overrightarrow{AB},{\overrightarrow{n}}_Q]=(3;2;-11)$.
Phương trình tổng quát của $(P)$ là $3(x-1)+2(y-2)-11(z-0)=0\iff 3x+2y-11z-7=0$.
Vậy $b=2,c=-11,d=-7\Rightarrow b+c+d=-16$.

a) Vì hình chóp tứ giác đều nên đáy là hình vuông có cạnh $AB=2\sqrt{2}\Rightarrow AC=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4\Rightarrow OA=2$.
Vậy $A(2;0;0)$. Tương tự $B(0;2;0)$ và $S(0;0;5)$.
PT mặt phẳng $(SAB)$ theo đoạn chắn: $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{5}=1\iff 5x+5y+2z-10=0$.

b) Điểm $C$ đối xứng với $A$ qua $O$ nên $C(-2;0;0)$.
Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ là
$$d(C,(SAB))=\frac{|5(-2)+5(0)+2(0)-10|}{\sqrt{5^2+5^2+2^2}}=\frac{|-20|}{\sqrt{54}}=\frac{20}{3\sqrt{6}}=\frac{10\sqrt{6}}{9}.$$

Vì $(P)$ vuông góc với $AB$ nên VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{AB}=(1;2;-3)$.
Phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $1(x-1)+2(y+2)-3(z-5)=0\iff x+2y-3z+18=0$.
Chọn đáp án C

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ: O(0;0;0), A(100;0;0), G(100;60;0), D(0;60;0). Đáy trên song song với đáy dưới, B(10;10;8) nên mặt trên BCFE nằm trong mặt phẳng z=8, đối xứng: C(90;10;8), F(90;50;8), E(10;50;8).
Mặt phẳng (OBED) đi qua O nên có dạng ax+by+cz=0. VTCP của (OBED): n = OB×OD với OB=(10;10;8), OD=(0;60;0) ⇒ n=(10·0−8·60; 8·0−10·0; 10·60−0)=(−480;0;600) ⇒ phương trình: 4x−5z=0 (thử B: 40−40=0; E: 40−40=0; D: 0=0 đều thỏa).
Khoảng cách từ G(100;60;0) đến (OBED): d = |4·100−5·0|/√(16+25) = 400/√41 ≈ 62,47 ≈ 62,5 (m).

(AI giải đề cho tôi)
Gán tọa độ: O(0;0;0), A(100;0;0), G(100;60;0), D(0;60;0). Mặt trên song song với mặt dưới nên có dạng z = 8; vì BCFE là hình chữ nhật và B(10;10;8) nên E(10;50;8) (E nằm trên phía D, đối xứng với B qua tâm mặt trên). Kiểm tra O, B, E, D đồng phẳng: OE − OB = (0;40;0) cùng phương OD.

Vectơ pháp tuyến của (OBED): n = OB × OD = (10;10;8) × (0;60;0) = (−480;0;600) ∝ (−4;0;5).

Phương trình mặt phẳng: −4x + 5z = 0 (thỏa mãn O, B, E, D).

Khoảng cách từ G(100;60;0) đến (OBED):
d = |−4·100 + 5·0| / √(16+25) = 400/√41 ≈ 62,5 (m).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):x+3y+4z+5=0$ có dạng $ax+by+cz+d=0$ với $a=1,b=3,c=4,d=5$, do đó một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;3;4)$. So sánh với các phương án: A ${\vec{n}}_1=(1;3;4)$ đúng; B $(1;3;-4)$ sai dấu hệ số của $z$; C $(3;4;5)$ lấy nhầm các hệ số; D $(3;-4;5)$ sai. Đáp án trùng với mã đề 104, Câu 1 = A trong bảng đáp án.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oyz)$ chứa trục $Oy$, trục $Oz$ và đi qua gốc $O$, nên gồm mọi điểm có hoành độ $x=0$. Vậy phương trình tổng quát của $(Oyz)$ là $x=0$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (đề 104, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt ba tia Ox, Oy, Oz các đoạn bằng nhau nên có dạng x + y + z = k (k ≠ 0). Vì đi qua M(1;2;1) nên k = 1 + 2 + 1 = 4. Vậy (α): x + y + z − 4 = 0, suy ra a = 1, b = 1, c = −4. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102/104, Câu 3 = 1).