Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(\alpha ):3x+4y-z+1=0$ nên có dạng $3x+4y-z+d=0$. Vì $(Q)$ đi qua $A(1;2;-1)$ nên $3(1)+4(2)-(-1)+d=0\iff 3+8+1+d=0\iff d=-12$. Vậy $(Q):3x+4y-z-12=0$, trùng với đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 102, câu 3).

Gọi $(P)$ là mặt phẳng cần tìm. Do $(P)\parallel (\alpha )\Rightarrow$ VTPT $\overrightarrow{n_P}=\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-1;0)$. Và $(P)$ đi qua điểm $M\Rightarrow (P):2.(x-1)-1.(y+0)+0.(z+0)=0$ $\Rightarrow (P):2x-y-2=0\iff -x+\frac{1}{2}y+1=0$. Vậy $b=\frac{1}{2},c=0,d=1\Rightarrow b+c-3d=-2,5$.

Theo bài ra ta có: $O(0;0;0),A(100;0;0),G(100;60;0),D(0;60;0),B(10;10;8)$. Do $\overrightarrow{OA}=(100;0;0),\overrightarrow{OB}=(10;10;8)$, ta có: $\vec{n}=[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}]=(0;-800;1000)$. Chọn $\overrightarrow{n_1}=\frac{-1}{200}\vec{n}=(0;4;-5)$. Mặt phẳng $(OACB)$ qua gốc tọa độ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(0;4;-5)$. Phương trình tổng quát của mặt phẳng $(OACB)$ là: $4y-5z=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Q)$ song song với $(\alpha ):3x+4y-z+1=0$ nên có dạng $3x+4y-z+d=0$. Vì $(Q)$ đi qua $A(1;2;-1)$ nên $3(1)+4(2)-(-1)+d=0\iff 12+d=0\iff d=-12$. Vậy $(Q):3x+4y-z-12=0$, khớp với đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của BC là $\overrightarrow{BC}=(-1;-2;2)$. Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(-1;-2;2)$, phương trình: $-1(x+1)-2(y-1)+2(z-1)=0\iff -x-2y+2z-1=0\iff x+2y-2z+1=0$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\vec{u}=(2;1;-1)$ và đi qua điểm $A(1;0;-1)$.
a) Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;2;3)$ vuông góc với $\Delta$ có VTPT $\vec{n}=\vec{u}=(2;1;-1)$: $2(x-1)+(y-2)-(z-3)=0\iff 2x+y-z-1=0$. Đúng.
b) $d(I,(P))=\frac{|2\cdot 2+2-(-1)-1|}{\sqrt{4+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{6}}=\sqrt{6}$, nên $R^2=6$: $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=6$. Đúng.
c) VTCP của $\Delta$ là $(2;1;-1)$, không phải $(2;-1;1)$. Sai.
d) $\overrightarrow{AM}=(0;2;4)$; $\overrightarrow{AM}\times \vec{u}=(-6;8;-4)$, độ dài $\sqrt{116}=2\sqrt{29}$. Khoảng cách $d(M,\Delta )=\frac{2\sqrt{29}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{58}{3}}\approx 4,4\ne 5$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(P) có VTPT $(2;1;-1)$ qua $M(1;2;3)$: $2(x-1)+(y-2)-(z-3)=0\iff 2x+y-z-1=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,(P))=|4+2+1-1|/\sqrt{6}=\sqrt{6}=R$, nên $(x-2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+1{)}^2=6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của $\Delta$ là $(2;1;-1)$, không phải $(2;-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,\Delta )=|\overrightarrow{AM}\times \vec{u}|/|\vec{u}|=2\sqrt{29}/\sqrt{6}=\sqrt{58/3}\approx 4,4\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):2x-y+2z-1=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=-1,C=2$. Do đó một vecto pháp tuyến của mặt phẳng là $\vec{n}=(A;B;C)=(2;-1;2)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(2;0;0),B(0;4;0),C(0;0;6)$ nên có dạng $\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{6}=1$, tức $6x+3y+2z-12=0$ (khớp $ax+by+2z+d=0$ với $a=6,b=3$). Vì $(P)\parallel (ABC)$ nên $(P):6x+3y+2z+c=0$. Thay $D(2;4;6)$: $6\cdot 2+3\cdot 4+2\cdot 6+c=36+c$, nên $d(D,(P))=\frac{|36+c|}{7}$. Khoảng cách giữa $(P)$ và $(ABC)$ là $\frac{|c+12|}{7}$. Cách đều: $|36+c|=|c+12|$. Trường hợp $36+c=c+12$ vô nghiệm; trường hợp $36+c=-(c+12)$ cho $2c=-48\Rightarrow c=-24$. Vậy $(P):6x+3y+2z-24=0$, $d=-24$. Kiểm tra: $d(D,(P))=\frac{|36-24|}{7}=\frac{12}{7}=d((P),(ABC))=\frac{|-24+12|}{7}=\frac{12}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với giá của vecto $\vec{a}=(1;-1;2)$ nên nhận ${\vec{n}}_{(P)}=(1;-1;2)$. Phương trình $(P)$: $1(x-3)-1(y+1)+2(z-4)=0\iff x-y+2z-12=0$. Kiểm tra: thay $M(3;-1;4)$: $3+1+8-12=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha ):x+2y-z+6=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;-1)$.

a) Đường thẳng $d$ có véc tơ chỉ phương $\vec{u}=(3;0;3)$, qua $A(1;-1;2)$. Vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=3+0-3=0$ nên $d\parallel (\alpha )$. Khoảng cách từ $d$ đến $(\alpha )$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $(\alpha )$: $d(A,(\alpha ))=\frac{|1-2-2+6|}{\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Đường thẳng OH đi qua O và H (hình chiếu của O lên $(\alpha )$), với $H(-1;-2;1)$ nên có phương trình $\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=-2t\\ z=t\end{array}$. Thay vào $d$: $-2t=-1\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, khi đó $x=-\frac{1}{2}=1+3t\Rightarrow t=-\frac{1}{2}$, $z=2+3\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$ khớp, vậy $d$ cắt OH tại $\left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{2}\right)$. Khoảng cách từ $d$ đến $O$: $d(O,d)=\left|\left(-\frac{1}{2};-1;\frac{1}{2}\right)\right|=\sqrt{\frac{1}{4}+1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Hai khoảng cách bằng nhau, phát biểu a ĐÚNG.

b) Từ phương trình mặt phẳng, $\vec{n}=(1;2;-1)$ là véc tơ pháp tuyến. ĐÚNG.

c) Hình chiếu H của O lên $(\alpha )$: $H=t\vec{n}=(t;2t;-t)$, thay vào mặt phẳng: $t+4t+t+6=0\Rightarrow t=-1$, suy ra $H(-1;-2;1)$, không phải $H(1;2;-1)$. SAI.

d) Đường thẳng qua O và vuông góc $(\alpha )$ có véc tơ chỉ phương là $\vec{n}=(1;2;-1)$, phương trình $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
d song song (α) (vì u·n=0), d(A,(α))=3/√6=√6/2; d cắt OH tại (−1/2;−1;1/2) nên d(O,d)=√(3/2)=√6/2. Hai khoảng cách bằng nhau nên a đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình x+2y−z+6=0, véc tơ pháp tuyến là n=(1;2;−1).
c) (AI giải đề cho tôi)
H=t·n thỏa mãn mặt phẳng: 6t+6=0 ⇒ t=−1, suy ra H(−1;−2;1) chứ không phải H(1;2;−1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua O vuông góc (α) có chỉ phương n=(1;2;−1): x/1=y/2=z/−1.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục theo hình 2: $A(0;0;0)$, $B(0;25;0)$ trên trục $Oy$, $D(15;0;0)$ trên trục $Ox$. Vì $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với $AD\parallel BC$, $AD=15$ m, $BC=18$ m nên $C(18;25;0)$.

Mặt phẳng lát sân đi qua $A(0;0;0)$, $B^{\prime }(0;25;-0,1)$ (hạ 10 cm), $D^{\prime }(15;0;-0,06)$ (hạ 6 cm). Vì đi qua gốc $A$ nên mặt phẳng có dạng $z=px+qy$.

Thay $B^{\prime }$: $25q=-0,1\Rightarrow q=-0,004$.
Thay $D^{\prime }$: $15p=-0,06\Rightarrow p=-0,004$.
Vậy mặt phẳng là $z=-0,004(x+y)$.

Tại $C(18;25)$: $z=-0,004\cdot (18+25)=-0,004\cdot 43=-0,172$ m $=-17,2$ cm.

Suy ra $C^{\prime }$ thấp hơn mặt Oxy $17,2$ cm, tức $a=17,2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (17,2).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(R):2x-4y+6z-2025=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=-4,C=6$, nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-4;6)$. Mọi vecto cùng phương với $(2;-4;6)$ đều là vecto pháp tuyến. Ta có $(1;-2;3)=\frac{1}{2}(2;-4;6)$, tức cùng phương với $(2;-4;6)$, nên đáp án C. Xét các đáp án khác: A $(1;2;3)$ không cùng phương vì tỉ số $1/2\ne 2/(-4)$; B $(2;4;6)$ không cùng phương vì $4/(-4)=-1\ne 1$; D $(-2;4;6)$ không cùng phương vì $6/6=1\ne -1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$. Tâm đáy $I(2;2;0)$, $SI=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ nên $S(2;2;2\sqrt{7})$. Trung điểm $M$ của $CD$: $M(2;4;0)$; trung điểm $N$ của $AD$: $N(0;2;0)$.

Vectơ $\overrightarrow{SM}=(0;2;-2\sqrt{7})$, $\overrightarrow{SN}=(-2;0;-2\sqrt{7})$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SM}\times \overrightarrow{SN}=(-4\sqrt{7};4\sqrt{7};4)$. Mặt phẳng $(SMN)$ qua $S$: $-4\sqrt{7}(x-2)+4\sqrt{7}(y-2)+4(z-2\sqrt{7})=0$, rút gọn: $-\sqrt{7}x+\sqrt{7}y+z=2\sqrt{7}$ (kiểm tra: $M,N,S$ đều thỏa).

Khoảng cách từ $C(4;4;0)$: $d=\frac{|-4\sqrt{7}+4\sqrt{7}-2\sqrt{7}|}{\sqrt{7+7+1}}=\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{15}}=2\sqrt{\frac{7}{15}}\approx 1,3663\approx 1,37$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$. Vì $(SAB)\perp (ABCD)$ và $SAB$ đều cạnh 1 nên trung điểm $I$ của $AB$ có $SI\perp AB$, $S(\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Mặt phẳng $(SBD)$ đi qua $B(1;0;0)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)$, $\overrightarrow{BS}=(-\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BS}=(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2})$, chọn $\vec{n}=(\sqrt{3};\sqrt{3};1)$.
Phương trình: $\sqrt{3}(x-1)+\sqrt{3}y+z=0$, tức $\sqrt{3}x+\sqrt{3}y+z-\sqrt{3}=0$.

Khoảng cách từ $C(1;1;0)$:
$$d(C,(SBD))=\frac{|\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+3+1}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{7}\approx \mathrm{0.6928.}$$

Vậy kết quả làm tròn đến hàng phần trăm là $0.69$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(\sqrt{2};0;0)$, $D(0;d;0)$, $C(\sqrt{2};d;0)$, $S(0;0;2)$ với $d=AD$ tùy ý. Mặt phẳng $(SBC)$ chứa $\overrightarrow{SB}=(\sqrt{2};0;-2)$ và $\overrightarrow{BC}=(0;d;0)$ nên có vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{BC}=(2d;0;\sqrt{2}d)$, tức phương trình $2x+\sqrt{2}z-2\sqrt{2}=0$ (không phụ thuộc $d$). Khoảng cách từ $D(0;d;0)$: $d(D,(SBC))=\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{4+2}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,15$. Vậy kết quả (làm tròn đến hàng phần trăm) là $1,15$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-4y+3z-3=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2$, $B=-4$, $C=3$. Do đó một vecto pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=(2;-4;3)$, trùng với ${\vec{n}}_1$ ở phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;\sqrt{2};0)$, $C(1;\sqrt{2};0)$, $S(0;0;2\sqrt{6})$, $M$ trung điểm $CD$ nên $M\left(\frac{1}{2};\sqrt{2};0\right)$.

Ta có $\overrightarrow{SB}=(2;0;-2\sqrt{6})$, $\overrightarrow{SM}=\left(\frac{1}{2};\sqrt{2};-2\sqrt{6}\right)$.

VTPT của $(SBM)$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SM}=\left(4\sqrt{3};3\sqrt{6};2\sqrt{2}\right).$$

Mặt phẳng $(SBM)$ qua $S$: $4\sqrt{3}x+3\sqrt{6}y+2\sqrt{2}\left(z-2\sqrt{6}\right)=0$.

Khoảng cách từ $A(0;0;0)$:
$$d\left(A,(SBM)\right)=\frac{\left|-4\sqrt{12}\right|}{\sqrt{48+54+8}}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{110}}=\frac{4\sqrt{330}}{55}\approx 1,32.$$

Kết quả khớp với đáp số nguồn: 1,32.

Đáp án theo bảng đáp án mã 102, Phần II, Câu 3: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $H(1;-1;-2)$ lên các trục là $A(1;0;0)$, $B(0;-1;0)$, $C(0;0;-2)$. Mặt phẳng qua ba điểm này có dạng đoạn chắn $\frac{x}{1}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{-2}=1$, tức $\frac{x}{1}-\frac{y}{1}-\frac{z}{2}=1$. Thử lại: $A$ cho $1=1$; $B$ cho $-(-1)=1$; $C$ cho $\frac{-(-2)}{2}=1$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã 102, Câu 2: B).

VTPT của $(P)$ là $\vec{n}=\left[\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]=(-4;1;3)$ (0,25). PTMP: $-4(x-0)+(y-1)+3(z-2)=0\iff 4x-y-3z+7=0$ (0,25).