Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

a) Đúng. b) Sai vì diện tích bằng ${\int }_0^{3/2}(-2x^2+3x)\mathrm{d}x=\frac{9}{8}=1,125<1,5$. c) Đúng vì $V=\pi {\int }_0^1(-2x^2+3x{)}^2\mathrm{d}x=\frac{19}{30}\pi <\pi$. d) Đúng (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 221).

Ta có $(x^2+3x{)}^{\prime }=2x+3=f(x)$, nên $F(x)=x^2+3x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x+3$.

Ta có $\int f(x)\mathrm{d}x=\int \sin 2x\mathrm{d}x=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$.

Ta có $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int \frac{1}{2x-1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\ln |2x-1|+C$
$\Rightarrow f(x)=\{<table><tbody><tr><td>\frac{1}{2}\ln (2x-1)+C_1,\text{ khi }x>\frac{1}{2}</td></tr><tr><td>\frac{1}{2}\ln (1-2x)+C_2,\text{ khi }x<\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>$.
+ Xét trên $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right)$, ta có $f(0)=2022\Rightarrow C_2=2022$.
+ Xét trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, ta có $f(1)=2023\Rightarrow C_1=2023$.
Do đó $f(x)=\{<table><tbody><tr><td>\frac{1}{2}\ln (2x-1)+2023,\text{ khi }x>\frac{1}{2}</td></tr><tr><td>\frac{1}{2}\ln (1-2x)+2022,\text{ khi }x<\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>$.
Vậy $f(2)-f(-1)=\left(\frac{1}{2}\ln 3+2023\right)-\left(\frac{1}{2}\ln 3+2022\right)=1$.

Ta có $\int \cos xdx=\sin x+C$.

Ta có $\int (x^2+3)dx=\frac{x^3}{3}+3x+C$.

Với $x>\frac{1}{2}$, ta có $\int \frac{1}{2x-1}dx=\frac{1}{2}\ln (2x-1)+C$.
Suy ra $F(x)=\frac{1}{2}\ln (2x-1)+C$.
Vì $F(1)=1\iff \frac{1}{2}\ln (1)+C=1\iff C=1$.
Do đó $F(x)=\frac{1}{2}\ln (2x-1)+1$.
Vậy $F(5)=\frac{1}{2}\ln (2\cdot 5-1)+1=\frac{1}{2}\ln 9+1=\frac{1}{2}\ln (3^2)+1=1+\ln 3$.

Ta có $\int \frac{1}{2x-3}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{2x-3}d(2x-3)=\frac{1}{2}\ln |2x-3|+C$.

Ta có $f(x)=e^x-\frac{2}{x^5}=e^x-2x^{-5}$.
Do đó $\int f(x)dx=\int (e^x-2x^{-5})dx=e^x-2\frac{x^{-4}}{-4}+C=e^x+\frac{1}{2x^4}+C$.

Với $x>0$, ta có $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}$. Lấy nguyên hàm hai vế: $\ln (f(x))=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C$.
Vì $f(1)=1\Rightarrow \ln 1=\frac{2}{3}\sqrt{4}+C\Rightarrow C=-\frac{4}{3}$.
Do đó $\ln (f(5))=\frac{2}{3}\sqrt{16}-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}-\frac{4}{3}=\frac{4}{3}\Rightarrow f(5)=e^{4/3}\approx 3.79$.
Vậy $3<f(5)<4$. Chọn A.

Ta có $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$. Chọn C.

Ta có $\int (e^x-2x)dx=e^x-x^2+C$. Chọn A.

**Chọn B**

**Chọn A**
Ta có: f ' ( x ) = ∫ ( 6 x + 12 )dx = 3 x 2 + 12 x + C

f ' ( -2 ) = 2  3. ( -2 ) + 12 ( -2 ) + C = 2  C = 14
2

 f ' ( x ) = 3 x 2 + 12 x + 14

18

f ( x ) = ∫ ( 3 x 2 + 12 x + 14 )dx = x3 + 6 x 2 + 14 x + C

Do đồ thị ( C ) đi qua điểm M ( -2; 2 ) nên ta có: ( -2 ) + 6. ( -2 ) + 14. ( -2 ) + C = 2  C = 14
3 2

f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 14 x + 14

Vậy f ( 3) = 137
1 4

Ta có $F_1^{\prime }(x)=(x^3+x^2-4{)}^{\prime }=3x^2+2x=f(x)$ trên $\mathbb{R}$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

Ta có $F(x)=\int (2x+3x^{1/2})\mathrm{d}x=x^2+2\sqrt{x^3}+C$. Do $F(1)=0\Rightarrow C=-3$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1101).

Ta có $\int f(2x+3)dx=\frac{1}{2}\int f(2x+3)d(2x+3)=\frac{1}{2}F(2x+3)+C$. Chọn D.

Ta có $\int (\cos x+1)dx=\sin x+x+C$. Chọn A.

Ta có: $f(x)={\left(\frac{1}{x}+\ln x\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x^2}$.

Ta có $f(x)=(\sin x-\cos x{)}^2=1-2\sin x\cos x=1-\sin 2x$.

Suy ra $\int f(x)\mathrm{d}x=\int (1-\sin 2x)\mathrm{d}x=x+\frac{1}{2}\cos 2x+C$.