Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn A**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Theo tính chất của nguyên hàm: với $k$ là một hằng số thực khác $0$, ta có $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$.

Ta có $\int (x^2-3x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+C$.

Ta có $f(x)=\int \frac{1}{\sqrt{1-3x}}dx=-\frac{2}{3}\sqrt{1-3x}+C_1$.
Vì $f(-1)=\frac{2}{3}\iff -\frac{2}{3}\sqrt{1-3(-1)}+C_1=\frac{2}{3}\iff -\frac{4}{3}+C_1=\frac{2}{3}\iff C_1=2$.
Suy ra $f(x)=-\frac{2}{3}\sqrt{1-3x}+2$.

Nguyên hàm của $f(x)$ là:
$F(x)=\int \left(-\frac{2}{3}(1-3x{)}^{\frac{1}{2}}+2\right)dx=-\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\cdot \frac{2}{3}(1-3x{)}^{\frac{3}{2}}+2x+C_2=\frac{4}{27}\sqrt{(1-3x{)}^3}+2x+C_2$.
Vì $F(-1)=0\iff \frac{4}{27}\sqrt{4^3}+2(-1)+C_2=0\iff \frac{32}{27}-2+C_2=0\iff C_2=\frac{22}{27}$.

Do đó $F(x)=\frac{4}{27}\sqrt{(1-3x{)}^3}+2x+\frac{22}{27}$.
Với $x=\frac{1}{4}$, ta có $1-3x=\frac{1}{4}$, suy ra:
$F\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{4}{27}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3+2\cdot \frac{1}{4}+\frac{22}{27}=\frac{4}{27}\cdot \frac{1}{8}+\frac{1}{2}+\frac{22}{27}=\frac{1}{54}+\frac{1}{2}+\frac{22}{27}=\frac{1+27+44}{54}=\frac{72}{54}=\frac{4}{3}$.

Theo định nghĩa nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 101).

Ta có họ nguyên hàm của $f(x)=x^3$ là $\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C$.
Với $C=-1$ ta có $y=\frac{x^4}{4}-1$.
Với $C=2$ ta có $y=\frac{x^4}{4}+2$.
Với $C=0$ ta có $y=\frac{1}{4}{x}^4$.
Hàm số $y=3x^2$ là đạo hàm của $x^3$, không phải nguyên hàm của $x^3$. Do đó chọn C.

Ta có $f(x)=F^{\prime }(x)=(x^2+4x+1{)}^{\prime }=2x+4$.
Khi đó $f(3)=2\cdot 3+4=10$.

Áp dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ: $\int e^{ax+b}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax+b}+C$, ta có:
$\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}{e}^{3x}+C.$

Ta có:
$\int f(x)dx=\int \left(\frac{1}{x}+\sin x\right)dx=\ln |x|-\cos x+C.$

Đặt $u=\sqrt{x+1}\Rightarrow u^2=x+1\Rightarrow x=u^2-1$ và $dx=2udu$.
Khi đó:
$\int \frac{x-3}{\sqrt{x+1}}dx=\int \frac{u^2-1-3}{u}\cdot 2udu=\int 2(u^2-4)du.$

Trên khoảng $(1;+\infty )$: $f(x)=\ln (x-1)+C_1$.
Vì $f(2)=2018\Rightarrow \ln 1+C_1=2018\Rightarrow C_1=2018$.
Suy ra $f(3)=\ln (3-1)+2018=\ln 2+2018$.
Trên khoảng $(-\infty ;1)$: $f(x)=\ln (1-x)+C_2$.
Vì $f(0)=2017\Rightarrow \ln 1+C_2=2017\Rightarrow C_2=2017$.
Suy ra $f(-1)=\ln (1-(-1))+2017=\ln 2+2017$.
Vậy $S=f(3)-f(-1)=(\ln 2+2018)-(\ln 2+2017)=1$.

**Chọn D**
2.x 2
F ( x ) =∫ ( 2 x + e − x ) dx =
− e− x + C = x 2 − e− x + C
2
F ( 0=
) 2023 ⇔ 0 − e + C= 2023 ⇔ C= 2024
2 −0

F ( x ) = x 2 − e − x + 2024.

**Chọn D**

4
Ta có ∫ f ( x=
) dx F ( 4 ) − F (1)
1
4
Mà ∫ f ( x ) dx = F ( 4 ) − G (1) + m
1

Suy ra: F ( 4 ) − F (1) = F ( 4 ) − G (1) + m ⇒ G (1) − F (1) = m, ( m > 0 )
Vì F ( x ) , G ( x ) là hai nguyên hàm của f ( x ) nên G ( x ) − F ( x ) =
m
4 4

∫ G ( x ) − F ( x ) dx =
4
Do đó S =
1
∫ mdx =
1
3m
mx 1 =

Mà S = 12 ⇒ 3m = 12 ⇒ m = 4
( x ) f x2 − 2

Ta có $F(x)=\int (2x-\cos 2x)dx=x^2-\frac{1}{2}\sin 2x+C$. Vì $F(0)=1\Rightarrow C=1$, nên $F(x)=x^2-\frac{1}{2}\sin 2x+1$.

Ta có $f(x)=F^{\prime }(x)=(e^{3x}{)}^{\prime }=3e^{3x}$.

Ta có $\int (3x^2-\cos x)\mathrm{d}x=x^3-\sin x+C$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1202).

Ta có $\int (2x+\sin x)\mathrm{d}x=x^2-\cos x+C$ (theo đáp án chính thức Trang 9, Mã đề 1201).

Chọn D.

Ta có: $\int (2x+\sin x)dx=x^2-\cos x+C$.

Chọn A.

Theo định nghĩa nguyên hàm, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=x^2+1$ thì $F^{\prime }(x)=x^2+1$.