Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Hàm số $f(t)=t+\sqrt{t^2+4}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $f(t)f(-t)=4$. Phương trình tương đương $4{\cos }^{2}x-5=-(4-2\cos x)\iff 4{\cos }^{2}x-2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{4}$. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$, phương trình $\cos x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}\in (0;1)$ có $4$ nghiệm và $\cos x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\in (-1;0)$ có $3$ nghiệm, tổng cộng $7$ nghiệm.

Chọn A.
Ta có: $2f(2\cos x+1)+3=0⟺f(2\cos x+1)=-\frac{3}{2}$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(t)=-\frac{3}{2}$ có 3 nghiệm:
$[<table><tbody><tr><td>t=m\in (-\infty ;-2)</td><td>(1)</td></tr><tr><td>t=n\in (0;1)</td><td>(2)</td></tr><tr><td>t=p\in (1;2)</td><td>(3)</td></tr></tbody></table>$
Với $t=2\cos x+1$, ta có:
- Với (1): $2\cos x+1=m<-2⟺\cos x=\frac{m-1}{2}<-\frac{3}{2}<-1⟹$ phương trình vô nghiệm.
- Với (2): $2\cos x+1=n\in (0;1)⟺\cos x=\frac{n-1}{2}\in \left(-\frac{1}{2};0\right)$.
Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$ (độ dài $3,5\pi$), đường thẳng $\cos x=c\in \left(-\frac{1}{2};0\right)$ cắt đồ thị hàm số $y=\cos x$ tại đúng 3 điểm phân biệt.
- Với (3): $2\cos x+1=p\in (1;2)⟺\cos x=\frac{p-1}{2}\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$.
Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$, đường thẳng $\cos x=c^{\prime }\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ cắt đồ thị hàm số $y=\cos x$ tại đúng 4 điểm phân biệt.
Tổng số nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$ là $3+4=7$ nghiệm.

Chọn B.
Sử dụng hàm đặc trưng dẫn đến mối quan hệ giữa các nghiệm lượng giác của phương trình trên đoạn $[0;2021]$, tính được số nghiệm là 1930.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.
Vì $|\sin |\le 1$ nên $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
Ta có:
$$t^2=(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin 2x⟹\sin 2x=t^2-1.$$
Và $2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=2t$.
Thay vào phương trình ban đầu:
$$f^2(t)+1=2tf(t)-(t^2-1)⟺f^2(t)-2tf(t)+t^2=0⟺(f(t)-t{)}^2=0⟺f(t)=t.$$
Từ đồ thị hàm số bậc ba $y=f(t)$ đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$ với điểm cực đại $(-1;2)$ và điểm cực tiểu $(1;-2)$, ta xác định được hàm số $f(t)=t^3-3t$.
Phương trình $f(t)=t$ trở thành:
$$t^3-3t=t⟺t^3-4t=0⟺t(t^2-4)=0⟺[<table><tbody><tr><td>t=0</td></tr><tr><td>t=\pm 2</td></tr></tbody></table>$$
Vì $t\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, các giá trị $t=\pm 2$ bị loại.
Chỉ có nghiệm $t=0$ thỏa mãn.
Với $t=0⟺\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=0⟺x+\frac{\pi }{4}=k\pi ⟺x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Để nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{5\pi }{4};\frac{5\pi }{4}\right]$:
$$-\frac{5\pi }{4}\le -\frac{\pi }{4}+k\pi \le \frac{5\pi }{4}⟺-1\le k\le \frac{3}{2}.$$
Do $k\in \mathbb{Z}⟹k\in \{-1,0,1\}$.
Có đúng 3 giá trị của $k$, tương ứng với 3 nghiệm thực phân biệt:
$$x=-\frac{5\pi }{4},x=-\frac{\pi }{4},x=\frac{3\pi }{4}.$$
Vậy phương trình có 3 nghiệm thực thuộc đoạn đã cho.

Ta có: $\sin 2x-2m\cos x-\sin x+m=0\iff 2\sin x\cos x-\sin x+m(1-2\cos x)=0\iff (2\cos x-1)(\sin x-m)=0$.
$\iff \{\begin{array}{l}\cos x=\frac{1}{2}\\ \sin x=m\end{array}$
Trên khoảng $(0;3\pi )$:
- Phương trình $\cos x=\frac{1}{2}$ có đúng 3 nghiệm phân biệt là $x_1=\frac{\pi }{3},x_2=\frac{5\pi }{3},x_3=\frac{7\pi }{3}$.
- Phương trình $\sin x=m$ để có 4 nghiệm phân biệt thì $0<m<1$.
Đồng thời các nghiệm này không được trùng với 3 nghiệm trên, tức $m\ne \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Vậy điều kiện là $m\in (0;1)\setminus \left\{\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}$. Chọn A.

Chọn B.
Biến đổi phương trình:
$256^{2{\cos }^{2}x+\cos x}+8{\cos }^{2}x+8\cos x=2^{2m\cos x+m}+2m\cos x+m$
Vì $256=2^8$, phương trình trở thành:
$2^{8(2{\cos }^{2}x+\cos x)}+8(2{\cos }^{2}x+\cos x)=2^{2m\cos x+m}+(2m\cos x+m).$
Xét hàm số $f(t)=2^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra:
$8(2{\cos }^{2}x+\cos x)=2m\cos x+m\iff 16{\cos }^{2}x+8\cos x=m(2\cos x+1)$
$\iff (2\cos x+1)(8\cos x-m)=0.$
Vì $x\in [-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ nên $\cos x\in [0;1]$. Do đó $2\cos x+1>0$, phương trình tương đương:
$8\cos x=m\iff \cos x=\frac{m}{8}.$
Để phương trình $\cos x=\frac{m}{8}$ có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc $[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ thì $0\le \frac{m}{8}<1$ (tại $\cos x=1$ chỉ có 1 nghiệm $x=0$; tại $\cos x=0$ có 2 nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{2}$).
Do đó $0\le m<8$.
Vì $m$ là số nguyên nên $m\in \{0,1,2,3,4,5,6,7\}$.
Tổng cộng có 8 giá trị nguyên của $m$.