Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le {\cos }^{2}2x\le 1$ nên phương trình ${\cos }^{2}2x=m+1$ có nghiệm khi và chỉ khi $0\le m+1\le 1$, tức $-1\le m\le 0$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m=-1$ và $m=0$, vậy có 2 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $m\cos x-m^2-8=2\cos x-6m$ tương đương $(m-2)\cos x=m^2-6m+8=(m-2)(m-4)$.
- Với $m=2$: phương trình trở thành $0=0$, nghiệm với mọi $x$, nên $m=2$ thỏa mãn.
- Với $m\ne 2$: $\cos x=m-4$. Điều kiện có nghiệm là $|m-4|\le 1\iff 3\le m\le 5$, cho các giá trị nguyên $m=3,4,5$.
Vậy các giá trị nguyên của $m$ là $2,3,4,5$ và tổng là $2+3+4+5=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin (x+40^{\circ })=\sqrt{3}$ ta có $\sin (x+40^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $x+40^{\circ }=60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x+40^{\circ }=120^{\circ }+k360^{\circ }$. Vì $x\in (-180^{\circ };180^{\circ })$ nên $x+40^{\circ }\in (-140^{\circ };220^{\circ })$, chỉ có $x+40^{\circ }=60^{\circ }$ và $x+40^{\circ }=120^{\circ }$ thỏa mãn, tức $x=20^{\circ }$ và $x=80^{\circ }$. Tổng các nghiệm là $20^{\circ }+80^{\circ }=100^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 128: Giải từng phương trình lượng giác cơ bản.

a) $\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}$
$$\frac{x}{2}-\frac{\pi }{3}=(-1{)}^k\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)+k\pi =(-1{)}^{k+1}\arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}+k\pi$$
$$\Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+2(-1{)}^{k+1}\arcsin \frac{\sqrt{3}}{4}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

b) $\sin (3x-30^{\circ })=\sin 45^{\circ }$
$3x-30^{\circ }=45^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $3x-30^{\circ }=135^{\circ }+k360^{\circ }$
$$\Rightarrow x=25^{\circ }+k120^{\circ }\text{hoặc}x=55^{\circ }+k120^{\circ },k\in \mathbb{Z}.$$

c) $\sin \left(3x-\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{6}-x\right)$
- Trường hợp 1: $3x-\frac{3\pi }{4}=\frac{\pi }{6}-x+2k\pi \Rightarrow 4x=\frac{11\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}$.
- Trường hợp 2: $3x-\frac{3\pi }{4}=\pi -\frac{\pi }{6}+x+2k\pi =\frac{5\pi }{6}+x+2k\pi \Rightarrow 2x=\frac{19\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{19\pi }{24}+k\pi$.

Vậy $x=\frac{11\pi }{48}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{19\pi }{24}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

d) $\sin \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)=0\Rightarrow 4x-\frac{\pi }{3}=k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}.$

e) $\cos \left(-x+\frac{\pi }{3}\right)=1\Rightarrow -x+\frac{\pi }{3}=2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}-2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

f) $\cos \left(5x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{7\pi }{4}-2x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{7\pi }{4}+2x\right)=\cos \left(2x-\frac{5\pi }{4}\right)$
- $5x-\frac{\pi }{3}=2x-\frac{5\pi }{4}+2k\pi \Rightarrow 3x=-\frac{11\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.
- $5x-\frac{\pi }{3}=-2x+\frac{5\pi }{4}+2k\pi \Rightarrow 7x=\frac{19\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{19\pi }{84}+\frac{2k\pi }{7}$.

Vậy $x=-\frac{11\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=\frac{19\pi }{84}+\frac{2k\pi }{7}$, $k\in \mathbb{Z}$.

g) $\cos (2x+25^{\circ })=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos 135^{\circ }$
$2x+25^{\circ }=\pm 135^{\circ }+k360^{\circ }$
- $2x=110^{\circ }\Rightarrow x=55^{\circ }+k180^{\circ }$.
- $2x=-160^{\circ }\Rightarrow x=-80^{\circ }+k180^{\circ }$.

Vậy $x=55^{\circ }+k180^{\circ }$ hoặc $x=-80^{\circ }+k180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

h) $\cos \left(\frac{\pi }{6}-2x\right)=-\frac{1}{4}$
$$\frac{\pi }{6}-2x=\pm \arccos \left(-\frac{1}{4}\right)+2k\pi =\pm \left(\pi -\arccos \frac{1}{4}\right)+2k\pi$$
$$\Rightarrow x=\frac{\pi }{12}\mp \frac{1}{2}\left(\pi -\arccos \frac{1}{4}\right)+k\pi =-\frac{5\pi }{12}\pm \frac{1}{2}\arccos \frac{1}{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 129: Giải từng phương trình.

a) $\tan (2x-1)=\tan \left(-x+\frac{\pi }{3}\right)$
Điều kiện: $2x-1\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ và $-x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.
Phương trình tương đương $2x-1=-x+\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow 3x=1+\frac{\pi }{3}+k\pi$
$$x=\frac{1}{3}+\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$
Với các giá trị này, hiệu hai vế là bội của $\pi$ nên không thể bằng $\frac{\pi }{2}+m\pi$, điều kiện được thỏa mãn.

b) $\tan \left(3x-10^{\circ }\right)=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ }$
$$3x-10^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow 3x=70^{\circ }+k180^{\circ }$$
$$x=\frac{70^{\circ }}{3}+k60^{\circ },k\in \mathbb{Z}.$$

c) $3\tan \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=-1\Rightarrow \tan \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$
$$3x+\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$$
$$x=-\frac{\pi }{9}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$

d) $\cot \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=1=\cot \frac{\pi }{4}$
$$2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow 2x=\frac{7\pi }{12}+k\pi$$
$$x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}.$$

e) $2\cot (3x)=3\Rightarrow \cot (3x)=\frac{3}{2}$
$$3x=\arctan \frac{2}{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{1}{3}\arctan \frac{2}{3}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$

f) $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\cot \left(-2x+\frac{\pi }{6}\right)$
Điều kiện: $x+\frac{\pi }{3}\ne k\pi$.
$$x+\frac{\pi }{3}=-2x+\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$$
$$x=-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$
Khi đó $x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{18}+\frac{k\pi }{3}\ne k\pi$, điều kiện thỏa mãn.

Các kết quả đều đã kiểm tra lại bằng cách thay vào phương trình gốc, đúng với chu kỳ tương ứng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ta có $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Nghiệm trong $[0,2\pi )$ là $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Vậy $\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \end{array}$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp với đáp án D. Lưu ý: đáp án C ($\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$) là nghiệm của $\sin x=\frac{1}{2}$, không phải của phương trình này.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin 30^{\circ }$. Theo công thức nghiệm của phương trình $\sin x=\sin \alpha$: $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Với $\alpha =30^{\circ }$, ta được $x=30^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x=150^{\circ }+k360^{\circ }$. Vậy $S=\{30^{\circ }+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{150^{\circ }+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$ (vì $360^{\circ }=2\pi$). Đáp án A. Các phương án B, C thiếu nghiệm $150^{\circ }$; phương án D thiếu điều kiện $k\in \mathbb{Z}$ (viết sai dạng tập hợp).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-1$ có nghiệm $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì $\cos x=-1$ khi và chỉ khi $x$ là góc có điểm biểu diễn trùng với điểm $(-1;0)$ trên đường tròn lượng giác, tức là $x=\pi$ cộng với bội của chu kỳ $2\pi$. Kiểm tra: $\cos (\pi +k2\pi )=\cos \pi =-1$ đúng với mọi $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x+\sqrt{2}=0$ ta có $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \left(\frac{3\pi }{4}\right)$. Do đó $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tức $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Đây chính là đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\sqrt{3}$ có nghiệm $x=\arctan \sqrt{3}+k\pi =\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (chu kỳ của tan là $\pi$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos 3x\ne 0$ và $\cos x\ne 0$. Từ $\tan 3x=\tan x$ ta có $3x=x+k\pi$, suy ra $2x=k\pi$, tức $x=\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Tuy nhiên với $k$ lẻ thì $x=\frac{\pi }{2}+m\pi$ khiến $\cos x=0$ (loại). Với $k$ chẵn, $k=2m$, ta được $x=m\pi$, $m\in \mathbb{Z}$; khi đó $\cos x=\pm 1\ne 0$ và $\cos 3x=\pm 1\ne 0$, thỏa mãn. Vậy nghiệm là $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ ${\tan }^{2}x=3$ ta có $\tan x=\pm \sqrt{3}$. Với $\tan x=\sqrt{3}$: $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$. Với $\tan x=-\sqrt{3}$: $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$. Gộp lại: $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0\iff \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\tan \frac{\pi }{6}=\tan \left(-\frac{\pi }{6}\right)$. Vậy $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\tan 2x-3=0\iff \tan 2x=\sqrt{3}$ (điều kiện $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$). Suy ra $2x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, tức $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Các nghiệm này thỏa mãn điều kiện vì $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}$ không bao giờ bằng $\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\sqrt{3}+2\sin x=0\Rightarrow \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$. Nghiệm $x=-\frac{4\pi }{3}+k2\pi \equiv \frac{2\pi }{3}+k2\pi$ có $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne -\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên mệnh đề sai.
b) $\sin 3x=\sin x\Rightarrow 3x=x+k2\pi \Rightarrow x=k\pi$; hoặc $3x=\pi -x+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$. Mệnh đề đúng.
c) $\tan (3x-15^{\circ })=\sqrt{3}\Rightarrow 3x-15^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=25^{\circ }+k60^{\circ }$. Mệnh đề chỉ cho $x=25^{\circ }+k360^{\circ }$ (thiếu nghiệm) nên sai.
d) $\cos 2x=1\Rightarrow 2x=k2\pi \Rightarrow x=k\pi$. Với $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ thì $\cos 2x=\cos (\pi +2k\pi )=-1\ne 1$ nên mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$; còn $x=-\frac{4\pi }{3}+k2\pi$ cho $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, không thỏa.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$3x=x+k2\pi \Rightarrow x=k\pi$ và $3x=\pi -x+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đầy đủ là $x=25^{\circ }+k60^{\circ }$, không phải chỉ $x=25^{\circ }+k360^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=1\Rightarrow x=k\pi$; với $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ thì $\cos 2x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. a) Đúng vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$. b) Đúng theo công thức nghiệm $\sin t=\sin \alpha \iff t=\alpha +k2\pi$ hoặc $t=\pi -\alpha +k2\pi$, tức $2x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$. c) Giải: $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$; $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Tập nghiệm đúng như đề. d) Sai: trên $[-2\pi ;5\pi ]$, họ $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ có $k\in \{-1,0,1,2,3,4,5\}$ (7 nghiệm) và họ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ có $k\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$ (7 nghiệm), tổng cộng 14 nghiệm chứ không phải 7.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$ nên hai phương trình giống hệt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $\sin t=\sin \frac{\pi }{6}\iff t=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $t=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, gộp thành $t=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ được $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$; từ $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ được $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2\pi ;5\pi ]$: họ $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ cho 7 nghiệm ($k=-1,...,5$), họ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ cho 7 nghiệm ($k=-2,...,4$), tổng cộng 14 nghiệm phân biệt, không phải 7.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 94: $d=4000\cos \left[\frac{\pi }{45}(t-10)\right]$.

a) Tại $t=0$: $d=4000\cos \left(-\frac{10\pi }{45}\right)=4000\cos \frac{2\pi }{9}=4000\cos 40^{\circ }\approx 4000\cdot 0,766044\approx 3064,178$ km. Mệnh đề đúng.

b) Con tàu trên đường thẳng $\Delta$ khi $d=0$: $\cos \left[\frac{\pi }{45}(t-10)\right]=0\Rightarrow \frac{\pi }{45}(t-10)=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t=10+22,5=32,5$ phút, không phải 32 phút. Mệnh đề sai.

c) $d=2000$: $\cos \left[\frac{\pi }{45}(t-10)\right]=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{45}(t-10)=\frac{\pi }{3}$ (nghiệm đầu tiên) $\Rightarrow t=10+15=25$ phút. Mệnh đề đúng.

d) Với $t\in [0;50]$ thì $\frac{\pi }{45}(t-10)\in \left[-\frac{2\pi }{9};\frac{8\pi }{9}\right]$. Trong khoảng này, $\cos =\frac{1}{2}$ chỉ xảy ra tại góc $\frac{\pi }{3}$ (các góc $-\frac{\pi }{3}$ và $\frac{5\pi }{3}$ không thuộc khoảng), tức chỉ có 1 thời điểm ($t=25$ phút), không phải 2. Mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(0)=4000\cos (2\pi /9)\approx 3064,178$ km, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d=0$ khi $t=32,5$ phút, không phải 32 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{\pi }{45}(t-10)=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=25$ phút, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;50]$, góc thuộc $[-2\pi /9;8\pi /9]$, $\cos =1/2$ chỉ tại $\pi /3$, tức chỉ 1 thời điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $x+\frac{\pi }{3}=\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{12}+2k\pi$ hoặc $x=-\frac{7\pi }{12}+2k\pi$. Với $x\in [0;2\pi ]$: họ thứ nhất cho $x=\frac{23\pi }{12}$ (k=1); họ thứ hai cho $x=\frac{17\pi }{12}$ (k=1). Vậy phương trình có 2 nghiệm trên đoạn $[0;2\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $2x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Suy ra $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.