Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Ta có: $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1\leftrightarrow x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ $\leftrightarrow x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}+3\tan x=0\iff \tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\tan \frac{\pi }{6}$. Vậy $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1101, câu 12 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.
Ta có $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.
- Trường hợp 1: $2x=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+2k\pi =-\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$. Trên đường tròn lượng giác, họ nghiệm này cho 2 vị trí phân biệt (tương ứng $x=-\frac{\pi }{12}$ và $x=\frac{11\pi }{12}$ khi lấy $k=0,1$ trong $[0,2\pi )$).
- Trường hợp 2: $2x=\frac{5\pi }{6}-\frac{\pi }{3}+2k\pi =\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Họ này cũng cho 2 vị trí phân biệt ($x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{5\pi }{4}$).
Vậy tổng cộng có $2+2=4$ vị trí biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác. Kết quả khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $h=13$: $$2\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{6}\right)+12=13\iff \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}.$$ Suy ra $$\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{6}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$ Với dấu $+$: $\frac{t}{12}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+2k=\frac{1}{6}+2k\Rightarrow t=2+24k$, cho $t=2$ (thỏa $0\le t\le 24$). Với dấu $-$: $\frac{t}{12}=-\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+2k=-\frac{1}{2}+2k\Rightarrow t=-6+24k$, cho $t=18$ (thỏa $0\le t\le 24$). Vậy trong ngày, độ sâu mực nước đạt 13 mét tại các thời điểm $t=2$ giờ (2 giờ sáng) và $t=18$ giờ (18 giờ, tức 6 giờ chiều).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $4{\sin }^{2}x-3=0\iff {\sin }^{2}x=\frac{3}{4}\iff \sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Với $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{3}\approx 1,047$. Với $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, nghiệm dương nhỏ nhất là $x=\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}\approx 4,189$. Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac{\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chất điểm qua gốc O khi $2\cos (\pi t)+1=0\iff \cos (\pi t)=-\frac{1}{2}\iff \pi t=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ hoặc $\pi t=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$, tức $t=\frac{2}{3}+2k$ hoặc $t=\frac{4}{3}+2k$.

Với $0\le t\le 10$:
- Họ thứ nhất $t=\frac{2}{3}+2k$: $k=0,1,2,3,4$ cho $t=\frac{2}{3},\frac{8}{3},\frac{14}{3},\frac{20}{3},\frac{26}{3}\approx 8,67$ (5 giá trị; $k=5$ cho $t=\frac{32}{3}>10$).
- Họ thứ hai $t=\frac{4}{3}+2k$: $k=0,1,2,3,4$ cho $t=\frac{4}{3},\frac{10}{3},\frac{16}{3},\frac{22}{3},\frac{28}{3}\approx 9,33$ (5 giá trị).

Vậy tổng cộng $5+5=10$ lần.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}-2\sin 2x=0\iff \sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Với $x\in [-\pi ;0]$ thì $2x\in [-2\pi ;0]$. Các nghiệm: $2x=-\frac{7\pi }{4}$ hoặc $2x=-\frac{5\pi }{4}$, tức $x=-\frac{7\pi }{8}$ hoặc $x=-\frac{5\pi }{8}$. Tổng hai nghiệm: $-\frac{7\pi }{8}-\frac{5\pi }{8}=-\frac{12\pi }{8}=-\frac{3\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos 2x\ne 0$ (để $\tan 2x$ và mẫu xác định). Nhân hai vế với $\cos 2x$:
$$\sqrt{2}\sin 2x=2\sin x+\sqrt{2}\cos x-1.$$
Với $\sin 2x=2\sin x\cos x$:
$$2\sqrt{2}\sin x\cos x-2\sin x-\sqrt{2}\cos x+1=0$$
$$\iff 2\sin x(\sqrt{2}\cos x-1)-(\sqrt{2}\cos x-1)=0$$
$$\iff (2\sin x-1)(\sqrt{2}\cos x-1)=0.$$

**TH1:** $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khi đó $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\ne 0$ (thỏa mãn điều kiện).

**TH2:** $\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$. Khi đó $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{2}=0$ (loại).

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính R=10(m), tâm bánh xe cao 1+10=11(m). Xuất phát từ vị trí thấp nhất, quay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ 0,5 vòng/phút nên ω=0,5·2π=π (rad/phút). Độ cao: h(t)=11-10cos(πt). h(t)=6 ⟺ cos(πt)=0,5 ⟺ πt=±π/3+2kπ ⟺ t=1/3+2k hoặc t=5/3+2k (phút), k∈ℕ. Các lần đạt độ cao 6(m) theo thứ tự: t=1/3 (lần 1), 5/3 (lần 2), 13/3 (lần 3), 17/3 (lần 4), 25/3 (lần 5), 29/3 (lần 6). Vậy lần thứ 6 ứng với t=5/3+2·4=29/3≈9,67 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét: phương trình ${\sin }^3\alpha -3\sin \alpha +2=0$ phân tích thành $(\sin \alpha -1{)}^2(\sin \alpha +2)=0$ nên chỉ cho $\sin \alpha =1$, tức $\alpha =90^{\circ }$, ngoài khoảng $(0^{\circ };90^{\circ })$. Do đó đề in thiếu thừa số ${\cos }^2\alpha$; dạng chuẩn (phù hợp đáp số 4) là ${\sin }^3\alpha -3\sin \alpha {\cos }^2\alpha +2\sin \alpha =0$.

Giải: $\sin \alpha ({\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha +2)=0$. Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha \ne 0$, do đó ${\sin }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha +2=0$. Dùng ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$: $1-{\cos }^2\alpha -3{\cos }^2\alpha +2=0\Rightarrow 3-4{\cos }^2\alpha =0\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{3}{4}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, tức $\alpha =30^{\circ }$.

Khi đó $P=\sqrt{3}\tan 30^{\circ }+\sqrt{3}\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=1+3=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a) Ta có $\cos \left(\frac{2025\pi }{2}-x\right)=\cos \left(1012\pi +\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$. Phương trình trở thành $\cos 2x+2\cos x-2\sin x=0$. Vì $\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$, ta có $$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)+2(\cos x-\sin x)=0$$ $$\iff (\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x+2)=0.$$ Với mọi $x$, $\cos x+\sin x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ge -\sqrt{2}$, nên $\cos x+\sin x+2\ge 2-\sqrt{2}>0$, do đó $\cos x-\sin x=0\iff \cos x=\sin x\iff \tan x=1$ (khi đó $\cos x\ne 0$). Vậy $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 1b) Điều kiện $2a>c$ đảm bảo $2a-c>0$. Bình phương hai vế của đẳng thức đã cho (hai vế đều không âm): $$(2a-c){\cos }^2\frac{B}{2}=(2a+c){\sin }^2\frac{B}{2}$$ $$\iff 2a\left({\cos }^2\frac{B}{2}-{\sin }^2\frac{B}{2}\right)=c\left({\cos }^2\frac{B}{2}+{\sin }^2\frac{B}{2}\right)\iff 2a\cos B=c\iff \cos B=\frac{c}{2a}.$$ Mặt khác, theo định lí côsin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. Suy ra $$\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{c}{2a}\iff a^2+c^2-b^2=c^2\iff b^2=a^2\iff b=a.$$ Vậy $AC=BC$, tức tam giác $ABC$ cân tại $C$. (Điều kiện $2a>c$ tương đương $\cos B>0$ với $b=a$, tức $B$ nhọn, thỏa mãn.)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=1$ có nghiệm $x=\arctan 1+k\pi =\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin x=\sin 3x$: hoặc $3x=x+2k\pi \Rightarrow x=k\pi$, hoặc $3x=\pi -x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.
a) Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$, nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{4}$, tổng bằng 0 → Đúng.
b) Tập nghiệm còn thiếu họ nghiệm $x=k\pi$ → Sai.
c) Trên $\left[-\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$: họ $x=k\pi$ cho $-\pi ,0,\pi ,2\pi$ có tổng $2\pi$; họ $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$ cho $-\frac{3\pi }{4},-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4},\frac{9\pi }{4}$ có tổng $\frac{21\pi }{4}$. Tổng cộng $2\pi +\frac{21\pi }{4}=\frac{29\pi }{4}$ → Đúng.
d) $g(x)=\sin 3x$ có chu kì $\frac{2\pi }{3}$, không phải $2\pi$ → Sai. Khớp với đáp án mã đề 0005: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{\pi }{4}$ và nghiệm âm lớn nhất $-\frac{\pi }{4}$ có tổng bằng 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu họ nghiệm $x=k\pi$; tập nghiệm đầy đủ là $\{k\pi \}\cup \{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trong đoạn là $2\pi +\frac{21\pi }{4}=\frac{29\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\sin 3x$ có chu kì $\frac{2\pi }{3}$ chứ không phải $2\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{2}=0\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Suy ra $x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=\pi +2k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$. Trên khoảng $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$: họ thứ nhất cho $x=\pi$ (các giá trị khác nằm ngoài khoảng); họ thứ hai cho $x=-\frac{\pi }{2}$ (giá trị $x=\frac{3\pi }{2}$ bị loại vì khoảng mở). Vậy tổng các nghiệm là $\pi +\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$, trùng với đáp án B đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $2\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{2}=0\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\iff x-\frac{\pi }{4}=\pm \frac{3\pi }{4}+2k\pi$. Suy ra $x=\pi +2k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$. Trên khoảng $\left(-\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$, các nghiệm thỏa mãn là $x=\pi$ và $x=-\frac{\pi }{2}$. Tổng các nghiệm: $\pi +\left(-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 0004.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình f(x)=g(x): sin x = sin 3x ⟹ 3x = x + 2kπ hoặc 3x = π − x + 2kπ ⟹ x = kπ hoặc x = π/4 + kπ/2 (k∈ℤ).
a) Sai: cả hai hàm đều xác định trên ℝ, tập giá trị [−1;1], nhưng g(x)=sin 3x có chu kì 2π/3 (chu kì cơ bản), không phải 2π.
b) Đúng: nghiệm dương nhỏ nhất là π/4, nghiệm âm lớn nhất là −π/4, tổng bằng 0.
c) Sai: tập nghiệm còn gồm cả họ x = kπ, nên S = {kπ} ∪ {π/4 + kπ/2}.
d) Đúng: trên [−π; 5π/2], họ x = kπ cho các nghiệm −π, 0, π, 2π có tổng 2π; họ x = π/4 + kπ/2 cho 7 nghiệm −3π/4, −π/4, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, 9π/4 có tổng 7·π/4 + (π/2)(−2−1+0+1+2+3+4) = 7π/4 + 7π/2 = 21π/4. Tổng tất cả: 2π + 21π/4 = 29π/4. Kết quả khớp đáp án nguồn (Câu 2: S, Đ, S, Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
g(x)=sin 3x có chu kì cơ bản 2π/3, không phải 2π, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất π/4 và nghiệm âm lớn nhất −π/4 có tổng bằng 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thiếu họ nghiệm x = kπ; tập nghiệm đầy đủ là S = {kπ} ∪ {π/4 + kπ/2, k∈ℤ}.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm trong [−π; 5π/2]: −π, 0, π, 2π và −3π/4, −π/4, π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4, 9π/4; tổng bằng 2π + 21π/4 = 29π/4.

a) $\sin 2x+\sqrt{2}(\sin x-2\cos x)=2$

$\iff 2\sin x\cos x+\sqrt{2}\sin x-2\sqrt{2}\cos x-2=0$

$\iff \sqrt{2}\sin x\left(\sqrt{2}\cos x+1\right)-2\left(\sqrt{2}\cos x+1\right)=0$ (0,5 điểm)

$\iff \left(\sqrt{2}\sin x-2\right)\left(\sqrt{2}\cos x+1\right)=0$ (0,5 điểm)

$\iff \left[\begin{array}{c}\sin x=\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\cos x+1=0\end{array}\right]\iff \cos x=\frac{-\sqrt{2}}{2}\iff x=\mp \frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$. (0,5+0,5+0,5 điểm)

b) Từ giả thiết $\Rightarrow 7=5^{2a};11=3^{2b};5=3^c$ (0,5 điểm)

${\log }_{135}385=\frac{{\log }_3\mathrm{11.7.5}}{{\log }_{3}27.5}=\frac{{\log }_{3}11+{\log }_{3}7+{\log }_{3}5}{{\log }_{3}27+{\log }_{3}5}$ (0,5 điểm)

$=\frac{2b+2ac+c}{3+c}$ (0,5 điểm)

* ${\cos }^{2}x-\cos x=0\iff \left[\begin{array}{c}\cos x=0\\ \cos x=1\end{array}\right]$.
* Ta có $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow B(0;1),C(0;-1)$.
* Lại có $\cos x=1\Rightarrow x=k2\pi$ có điểm $A(1;0)$.
Vậy $S_{ABC}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $t=0,75$ vào phương trình: $s=A\cos \left(\pi \cdot 0,75+\frac{\pi }{4}\right)=A\cos \left(\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)=A\cos \pi =-A$. Theo đề $s=-4$ nên $-A=-4$, suy ra $A=4$ (cm). Vậy $A=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\sin 2x\ne 0$. Ta có $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$, nên vế trái $=5\cos x$. Phương trình trở thành $5\cos x=\cos 2x+3=2{\cos }^{2}x+2$, tức $2{\cos }^{2}x-5\cos x+2=0$. Chuyển thành $(2\cos x-1)(\cos x-2)=0$, nên $\cos x=\frac{1}{2}$ (loại $\cos x=2$). Trên $(0;4\pi )$: $x=\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3},\frac{11\pi }{3}$, đều thỏa điều kiện. Tổng $=\frac{\pi }{3}(1+5+7+11)=8\pi$.