Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
$2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Trong các đáp án, $x=\frac{\pi }{3}$ là một nghiệm (với $k=0$). Kiểm tra: $2\cos \frac{\pi }{3}-1=2\cdot \frac{1}{2}-1=0$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
A sai vì $\cos x=-\frac{3}{2}$ với $-\frac{3}{2}<-1$ nên vô nghiệm. B sai vì $\sin x=\sqrt{2}$ với $\sqrt{2}>1$ nên vô nghiệm. C đúng vì $\tan x=3$ luôn có nghiệm $x=\arctan 3+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. D sai vì ${\cos }^{2}x=3$ mà ${\cos }^{2}x\le 1<3$ nên vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm là $\tan x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan (2x)=\tan 80^{\circ }\iff 2x=80^{\circ }+k180^{\circ }\iff x=40^{\circ }+k90^{\circ }$, với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(x+45^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\cot 60^{\circ }$. Do đó $x+45^{\circ }=60^{\circ }+k180^{\circ }$, suy ra $x=15^{\circ }+k180^{\circ }$, với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x-m=0\iff \cos x=m$. Phương trình này vô nghiệm khi và chỉ khi $m\notin [-1;1]$, tức là $m<-1$ hoặc $m>1$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x+\sqrt{3}=0$ suy ra $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\sqrt{3}+3\tan x=0$ ta có $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Do đó $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đáp án: A đúng vì $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. B đúng vì $\cot x=-1\iff x=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)+k\pi =-\frac{\pi }{4}+k\pi$. D đúng vì $\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. C sai vì $\cos x=-1\iff x=\pi +k2\pi$ (chu kỳ $2\pi$, không phải $\pi$); với $x=\pi +k\pi$ thì $\cos x=\pm 1$, ví dụ $x=2\pi$ cho $\cos x=1\ne -1$. Vậy đáp án sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
cot 2x = cot 20° ⟺ 2x = 20° + k180° ⟺ x = 10° + k90°, k∈ℤ. Điều kiện sin2x≠0 thỏa mãn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Giải sin(3x+π/3) = -√3/2: 3x+π/3 = -π/3+2kπ hoặc 3x+π/3 = 4π/3+2kπ. Suy ra x = -2π/9 + k·2π/3 hoặc x = π/3 + k·2π/3 (k∈Z). a) Sai vì họ nghiệm đầu phải là x = -2π/9 + k·2π/3 chứ không phải -π/9. b) Đúng: các nghiệm âm là -2π/9 (k=0 họ 1) và -π/3 (k=-1 họ 2); vì -2π/9 > -π/3 nên nghiệm âm lớn nhất là -2π/9. c) Sai: trong (0; π/2) chỉ có 2 nghiệm là π/3 và 4π/9. d) Đúng: tổng = π/3 + 4π/9 = 7π/9.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là x = -2π/9 + k·2π/3 hoặc x = π/3 + k·2π/3; phát biểu ghi -π/9 là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm âm: -2π/9 và -π/3; lớn nhất là -2π/9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong (0; π/2) có 2 nghiệm: π/3 và 4π/9, không phải 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng hai nghiệm π/3 + 4π/9 = 7π/9.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (*). Vì $\cot \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $3x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

a) $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\cos (-\pi /6)}{\sin (-\pi /6)}=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên (*) không tương đương $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ → Sai.

b) Với $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ thì $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ và $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, không thỏa mãn. Nghiệm đúng là $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ → Sai.

c) Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$: $k=0$ cho $x=-\frac{\pi }{9}$; $k=-1$ cho $x=-\frac{4\pi }{9}$; $k=-2$ cho $x=-\frac{7\pi }{9}<-\frac{\pi }{2}$ (loại); $k=1$ cho $x=\frac{2\pi }{9}>0$ (loại). Tổng: $-\frac{\pi }{9}+\left(-\frac{4\pi }{9}\right)=-\frac{5\pi }{9}$ → Đúng.

d) Nghiệm dương nhỏ nhất với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{9}$ → Đúng.
a) Ta có $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\cos \left(-\frac{\pi }{6}\right)}{\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Do đó phương trình (*) không tương đương $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ → Sai.
b) Với $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ thì $3x=\frac{\pi }{3}+k\pi$ và $\cot \frac{\pi }{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên đây không phải là nghiệm của phương trình (*). Nghiệm đúng là $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ → Sai.
c) Nghiệm tổng quát $x=-\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$. Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có hai nghiệm $x=-\frac{\pi }{9}$ ($k=0$) và $x=-\frac{4\pi }{9}$ ($k=-1$). Tổng bằng $-\frac{\pi }{9}+\left(-\frac{4\pi }{9}\right)=-\frac{5\pi }{9}$ → Đúng.
d) Với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{9}+\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{9}$ là nghiệm dương nhỏ nhất → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x\sin \left(x-\frac{\pi }{18}\right)=0$ tương đương với $\sin x=0$ hoặc $\sin \left(x-\frac{\pi }{18}\right)=0$.
- Trường hợp 1: $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- Trường hợp 2: $\sin \left(x-\frac{\pi }{18}\right)=0\Rightarrow x-\frac{\pi }{18}=k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{18}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{k\pi ;\frac{\pi }{18}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne 0$. Đặt $t=\cos x$ với $t\in [-1;1],t\ne 0$.

Phương trình: $2\cos 2x-8\cos x+7=\frac{1}{\cos x}$.
Nhân hai vế với $\cos x$:
$$(2\cos 2x-8\cos x+7)\cos x=1.$$
Với $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$:
$$(4t^2-8t+5)t=1\iff 4t^3-8t^2+5t-1=0.$$
Thử $t=\frac{1}{2}$: $4\cdot \frac{1}{8}-8\cdot \frac{1}{4}+\frac{5}{2}-1=\frac{1}{2}-2+\frac{5}{2}-1=0$, nên $t=\frac{1}{2}$ là nghiệm.
Phân tích: $4t^3-8t^2+5t-1=(2t-1{)}^2(t-1)=0$ (kiểm tra: $(4t^2-4t+1)(t-1)=4t^3-8t^2+5t-1$ ✓).

Suy ra $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=1$ (đều thỏa $t\in [-1;1],t\ne 0$).

- Với $\cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
- Với $\cos x=1\iff x=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{2k\pi ;\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)+\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0$. Áp dụng công thức tổng hai cosin $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ với $A=x-\frac{3\pi }{4}$, $B=x+\frac{\pi }{3}$.

Ta có:
$$\frac{A+B}{2}=\frac{\left(x-\frac{3\pi }{4}\right)+\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}=x-\frac{5\pi }{24},$$
$$\frac{A-B}{2}=\frac{\left(x-\frac{3\pi }{4}\right)-\left(x+\frac{\pi }{3}\right)}{2}=-\frac{13\pi }{24}.$$

Phương trình trở thành:
$$2\cos \left(x-\frac{5\pi }{24}\right)\cos \left(-\frac{13\pi }{24}\right)=0.$$

Vì $\cos \left(-\frac{13\pi }{24}\right)=\cos \frac{13\pi }{24}\ne 0$ (do $\frac{13\pi }{24}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$), nên:
$$\cos \left(x-\frac{5\pi }{24}\right)=0\iff x-\frac{5\pi }{24}=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Vậy $x=\frac{5\pi }{24}+\frac{\pi }{2}+k\pi =\frac{17\pi }{24}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{17\pi }{24}$, ta có $x-\frac{3\pi }{4}=-\frac{\pi }{24}$ và $x+\frac{\pi }{3}=\frac{25\pi }{24}$. Hai góc này lệch nhau đúng $\pi$, nên $\cos \left(-\frac{\pi }{24}\right)+\cos \left(\frac{25\pi }{24}\right)=\cos \frac{\pi }{24}-\cos \frac{\pi }{24}=0$. Thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải phương trình $\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)-\cos 2x=0$, tức $\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)=\cos 2x$.

Bước 1: Đưa về cùng một hàm số. Vì $\cos 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$, phương trình trở thành:
$$\sin \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right).$$

Bước 2: Giải phương trình dạng $\sin A=\sin B$.

• Trường hợp 1: $A=B+2k\pi$:
$$x-\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}-2x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{7\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}.$$

• Trường hợp 2: $A=\pi -B+2k\pi$:
$$x-\frac{2\pi }{3}=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{2}+2x+2k\pi$$
$$\Rightarrow -x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Bước 3: Kiểm tra lại. Ví dụ với $x=\frac{7\pi }{18}$: $\sin \left(\frac{7\pi }{18}-\frac{12\pi }{18}\right)=\sin \left(-\frac{5\pi }{18}\right)$ và $\cos \frac{7\pi }{9}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{18}\right)=\sin \frac{\pi }{18}$... kiểm tra trực tiếp: $\sin \left(-\frac{5\pi }{18}\right)=-\sin \frac{5\pi }{18}$, còn $\cos \frac{7\pi }{9}=\cos \left(\pi -\frac{2\pi }{9}\right)=-\cos \frac{2\pi }{9}=-\sin \frac{5\pi }{18}$. Hai vế bằng nhau, thỏa mãn. Tương tự $x=-\frac{7\pi }{6}$: $\sin \left(-\frac{11\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$, $\cos \left(-\frac{7\pi }{3}\right)=\cos \frac{7\pi }{3}=\frac{1}{2}$, thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là:
$$S=\left\{\frac{7\pi }{18}+\frac{2k\pi }{3},-\frac{7\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan (2x-15^{\circ })=1$ có $\tan 45^{\circ }=1$, nên $2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x=60^{\circ }+k180^{\circ }$, tức $x=30^{\circ }+k90^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được $x=30^{\circ }>0$; với $k\le -1$ thì $x\le -60^{\circ }<0$. Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là $x=30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}-2\sin (45^{\circ }-2x)=0\iff \sin (45^{\circ }-2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin 45^{\circ }$.

Trường hợp 1: $45^{\circ }-2x=45^{\circ }+k360^{\circ }\iff x=-k180^{\circ },k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm âm lớn nhất của họ này là $x=-180^{\circ }$ (khi $k=1$).

Trường hợp 2: $45^{\circ }-2x=135^{\circ }+k360^{\circ }\iff -2x=90^{\circ }+k360^{\circ }\iff x=-45^{\circ }-k180^{\circ },k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được $x=-45^{\circ }$, là nghiệm âm lớn nhất của họ này.

So sánh hai họ: $-45^{\circ }>-180^{\circ }$, vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là $x=-45^{\circ }$ (tức $-\frac{\pi }{4}$).

Kiểm tra: $\sin (45^{\circ }-2(-45^{\circ }))=\sin 135^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $h=250$, tức $550+450\cos \frac{\pi t}{50}=250\iff \cos \frac{\pi t}{50}=-\frac{2}{3}$. Với $0\le t\le 60$ thì $0\le \frac{\pi t}{50}\le \frac{6\pi }{5}$, nên $\frac{\pi t}{50}=\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)$ (nghiệm $2\pi -\arccos (-2/3)$ nằm ngoài khoảng này). Do đó $t=\frac{50}{\pi }\arccos \left(-\frac{2}{3}\right)\approx \frac{50}{\pi }\cdot 2,3005\approx 36,62$ phút, tức khoảng 36 phút 37 giây kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Vậy thời điểm thực hiện thí nghiệm trong 60 phút đầu là $t\approx 36,62$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{4}$ có nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kết quả này trùng với đáp án C và với bảng đáp án mã đề 0102 (câu 3 là C).