Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{4}$ có nghiệm dạng $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Điều này khớp với đáp án A và cũng khớp với bảng đáp án (đề 0101, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình: A) $\sin x=\frac{3}{2}>1$ vô nghiệm. B) $\sin 3x=\sqrt{3}>1$ vô nghiệm. C) $\cos x=\frac{5}{2}>1$ vô nghiệm. D) $2\sin 2x-1=0\iff \sin 2x=\frac{1}{2}\in [-1;1]$ nên có nghiệm $2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $2x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$. Vậy chỉ phương trình D có nghiệm, khớp với đáp án nguồn (đề 1008, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phương trình: A) $2\cos x-5=0\iff \cos x=\frac{5}{2}>1$ (vô nghiệm vì $\cos x\in [-1;1]$). B) $\sin 3x=\sqrt{3}>1$ (vô nghiệm vì $\sin 3x\in [-1;1]$). C) $\sin x=\frac{3}{2}>1$ (vô nghiệm). D) $2\sin 2x-1=0\iff \sin 2x=\frac{1}{2}\in [-1;1]$, nên có nghiệm $2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $2x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy phương trình có nghiệm là D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2x=1\iff 2x=2k\pi \iff x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Yêu cầu $-\pi <k\pi <3\pi \iff -1<k<3$, nên $k\in \{0,1,2\}$, cho các nghiệm $x=0,\pi ,2\pi$. Vậy có 3 nghiệm thuộc khoảng $(-\pi ;3\pi )$, đáp án B. Kết quả này trùng với đáp án gạch chân trong nguồn (trang 6).

Ta có: $\sin x+\cos x+\sin 2x+1=2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos x$

Đặt $\sin x+\cos x=t$ $(|t|\le \sqrt{2})$ $\iff$ $t^2-2t\cos x+t=0$ $\iff$ $\{\begin{array}{l}t=0\\ t=2\cos x-1\end{array}$

+ Với $t=0$ $\iff$ $\sin x+\cos x=0$ $\iff$ $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

+ Với $t=2\cos x-1$ $\iff$ $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=-1$ $\iff$ $\{\begin{array}{l}x=k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi \end{array}$ $(k\in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình có nghiệm $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ ; $x=k2\pi$; $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$

(AI giải đề cho tôi)
Từ (*) ta có $\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$, nên ý a) đúng. Khi đó $x-\frac{\pi }{12}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{3\pi }{4}$ (khi $k=0$), nên ý b) đúng. Ý c) sai vì họ nghiệm thứ hai phải là $-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ chứ không phải $\frac{\pi }{4}+k2\pi$. Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ có hai nghiệm $-\frac{3\pi }{4}$ và $\frac{11\pi }{12}$, tổng bằng $-\frac{9\pi }{12}+\frac{11\pi }{12}=\frac{\pi }{6}\ne \frac{7\pi }{6}$, nên ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$, phương trình tương đương $\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=\cos \frac{5\pi }{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$; với $k=0$ được $-\frac{3\pi }{4}$, với $k=1$ được $\frac{5\pi }{4}>0$, nên nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{3\pi }{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nghiệm đúng là $x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, không phải $\frac{\pi }{4}+k2\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm trong $(-\pi ;\pi )$ là $-\frac{3\pi }{4}$ và $\frac{11\pi }{12}$, tổng bằng $\frac{\pi }{6}$, không phải $\frac{7\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Trên đường tròn lượng giác, các điểm có tung độ đối với trục tan thỏa mãn là $x=-30^{\circ }$ (tức $330^{\circ }$) và $x=150^{\circ }$. Theo hình vẽ: điểm $C$ ứng với góc $30^{\circ }$, điểm $F$ ứng với $-30^{\circ }$ (đối xứng qua trục hoành, phía dưới trục $Ox$ bên phải), điểm $D$ ứng với $150^{\circ }$ (góc phần tư thứ hai), điểm $E$ ứng với $210^{\circ }$. Vậy nghiệm tương ứng với các điểm $D$ và $F$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$.

Trường hợp 1: $2x+\frac{\pi }{3}=x+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$. Nghiệm dương nhỏ nhất của họ này là $x=\frac{5\pi }{3}$.

Trường hợp 2: $2x+\frac{\pi }{3}=\pi -x+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{9}+\frac{2k\pi }{3}$. Với $k=0$ ta được $x=\frac{2\pi }{9}\approx 0,222\pi$, nhỏ hơn $\frac{5\pi }{3}$.

Kiểm tra: $\sin \left(2\cdot \frac{2\pi }{9}+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{7\pi }{9}=\sin \frac{2\pi }{9}$ ✓.

Vậy $x_0=\frac{2}{9}\pi$, tức $m=2$, $n=9$ (phân số tối giản), nên $m+2n=2+18=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $3\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+10=7$ với $0\le t\le 24$.

$$\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)=-1$$

$$\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

$$\frac{\pi t}{12}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow t=8+24k$$

Với $0\le t\le 24$, chỉ có $k=0$ cho $t=8$ ($k=1$ cho $t=32>24$, $k=-1$ cho $t=-16<0$).

Vậy vào lúc 8 giờ, độ sâu mực nước là 7 cm. Kiểm tra: $\cos \left(\frac{8\pi }{12}+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \pi =-1$, nên $h=3(-1)+10=7$ cm — đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-1$ có nghiệm $x=\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\pi$ thì $\cos \pi =-1$ đúng; phương án A ($x=\pi +k\pi$) sai vì tại $x=2\pi$ ta có $\cos 2\pi =1\ne -1$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin 3x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m$ thuộc tập giá trị của hàm $\sin$, tức $-1\le m\le 1$. Đặt $t=3x$, khi $x$ chạy khắp $\mathbb{R}$ thì $t$ cũng chạy khắp $\mathbb{R}$, nên điều kiện cần và đủ là $-1\le m\le 1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) Với $m=-\frac{1}{2}$: $\cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$. Đúng. b) $\cos 2x=-m$ có nghiệm $\iff -m\in [-1;1]\iff m\in [-1;1]$, mệnh đề chỉ cho $(-1;1)$ nên Sai. c) $\tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. Trong khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{2025\pi }{4}\right)$: cần $k\ge 1$ và $k\pi <505\pi \Rightarrow k\le 504$, thus $k=1,\dots ,504$ cho 504 nghiệm, không phải 505. Sai. d) Với $m=-1$: $\cos 2x-1=\tan x\iff -2{\sin }^{2}x=\frac{\sin x}{\cos x}\iff \sin x\left(2\sin x\cos x+1\right)=0\iff \sin x=0$ hoặc $\sin 2x=-1$. Suy ra $x=k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$. Trong $\left(\frac{\pi }{2};\frac{41\pi }{2}\right)$: họ $x=k\pi$ có $k=1,\dots ,20$ (20 nghiệm); họ $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$ có $k=1,\dots ,20$ (20 nghiệm). Tổng 40 nghiệm, không phải 60. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=\frac{1}{2}\iff 2x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=-m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-m\in [-1;1]$, tức $m\in [-1;1]$ (bao gồm hai đầu mút), không chỉ $(-1;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$ với $k=1,\dots ,504$ nên chỉ có 504 nghiệm trong khoảng $\left(\frac{\pi }{4};\frac{2025\pi }{4}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $\sin x(\sin 2x+1)=0$ cho $x=k\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$; trong $\left(\frac{\pi }{2};\frac{41\pi }{2}\right)$ mỗi họ có 20 nghiệm, tổng 40 nghiệm chứ không phải 60.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\frac{m}{3}$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le \frac{m}{3}\le 1$, tức $-3\le m\le 3$. Vì $m$ nguyên nên $m\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, gồm 7 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Xét trên khoảng $(0;3\pi )$: với $k=0$ ta được $x=\frac{\pi }{3}$ (thỏa) và $x=-\frac{\pi }{3}$ (không thỏa); với $k=1$ ta được $x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}$ (thỏa) và $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$ (thỏa); với $k=2$ ta được $x=\frac{13\pi }{3}>3\pi$ (không thỏa). Vậy có 3 nghiệm thuộc $(0;3\pi )$: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi) $\tan 2x=-1\Rightarrow 2x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$2\sin x+1=0\iff \sin x=-\frac{1}{2}\iff x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\pi +\frac{\pi }{6}+2k\pi =\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ (tương đương họ $x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ và $x=\frac{11\pi }{6}+2k\pi$). Với mỗi họ, điều kiện $0\le \frac{7\pi }{6}+2k\pi \le 2024\pi$ cho $0\le k\le 1011,5$, tức $k=0,1,\dots ,1011$: 1012 nghiệm. Tương tự họ $\frac{11\pi }{6}+2k\pi$ cũng cho 1012 nghiệm. Tổng: $1012+1012=2024$ nghiệm. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị $f(x)$ không âm, bằng $0$ tại các bội của $\pi$ và đạt giá trị $1$ tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, nên $f(x)=|\sin x|$. Giải $|\sin x|=\frac{1}{2}$ trên đoạn $\left[-\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$, tức $\sin x=\pm \frac{1}{2}$. Với $\sin x=\frac{1}{2}$: $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$; trong đoạn đã cho có $x=-\frac{7\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ (3 nghiệm; lưu ý $-\frac{11\pi }{6}<-\frac{3\pi }{2}$ và $\frac{13\pi }{6}>2\pi$ nên bị loại). Với $\sin x=-\frac{1}{2}$: $x=-\frac{5\pi }{6},-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$ (4 nghiệm). Tổng cộng $3+4=7$ nghiệm. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $\sin A=\sin B$: hoặc $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}-x+k2\pi \Rightarrow 3x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+\frac{k2\pi }{3}$; hoặc $2x-\frac{\pi }{4}=\pi -\left(\frac{\pi }{4}-x\right)+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+x+k2\pi \Rightarrow x=\pi +k2\pi$. Vậy tập nghiệm khớp với phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\sin x$, nên phương trình $(\ast )$ trở thành $\sin 2x+\sin x=0\iff \sin x(2\cos x+1)=0$.
Suy ra $\sin x=0\Rightarrow x=k\pi$ hoặc $\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$.

a) Họ nghiệm gồm các điểm trên đường tròn lượng giác: $0,\pi ,\frac{2\pi }{3},-\frac{2\pi }{3}$ — tức là đúng 4 điểm, không phải 3 điểm. Mệnh đề a SAI.

b) Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{2\pi }{3}$ (nhỏ hơn $\pi$). Mệnh đề b SAI.

c) Nghiệm dương nhỏ nhất $\frac{2\pi }{3}$ ứng với điểm $N$. Điểm $K$ đối xứng qua $O$ có số đo góc $(OA;OK)=\frac{2\pi }{3}+\pi =\frac{5\pi }{3}\equiv -\frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$. Vì $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}-2\pi$ cùng biểu diễn điểm $K$, nên góc $(OA;OK)$ có thể nhận giá trị $-\frac{7\pi }{3}$. Mệnh đề c ĐÚNG.

d) Phương trình $\sin x-\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, biểu diễn bởi 2 điểm $\frac{\pi }{4}$ và $\frac{5\pi }{4}$, khác hoàn toàn 4 điểm của phương trình $(\ast )$. Mệnh đề d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $\sin x(2\cos x+1)=0$, cho họ nghiệm $x=k\pi$ hoặc $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2k\pi$, biểu diễn bởi 4 điểm $0,\pi ,\frac{2\pi }{3},-\frac{2\pi }{3}$ trên đường tròn lượng giác, không phải 3 điểm.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{2\pi }{3}<\pi$, nên nghiệm dương nhỏ nhất không phải $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$N$ ứng với số đo $\frac{2\pi }{3}$; điểm đối xứng $K$ có số đo $\frac{5\pi }{3}\equiv -\frac{\pi }{3}(\mathrm{mod}2\pi )$. Vì $-\frac{7\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}-2\pi$ cùng biểu diễn $K$, góc $(OA;OK)$ có thể nhận giá trị $-\frac{7\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, biểu diễn bởi các điểm $\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}$, không trùng với bất kỳ điểm nào của phương trình $(\ast )$.

(AI giải đề cho tôi)
Chất điểm qua vị trí cân bằng khi $x(t)=0$, tức $\cos \left(2\pi t+\frac{\pi }{3}\right)=0$. Suy ra $2\pi t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Giải ra: $t=\frac{1}{12}+\frac{k}{2}$. Với $0\le t\le 10$: $0\le \frac{1}{12}+\frac{k}{2}\le 10\Rightarrow -\frac{1}{6}\le k\le \frac{59}{6}\approx 9,83$, nên $k=0,1,\dots ,9$ — kiểm tra lại: $k=9$ cho $t=\frac{1}{12}+\frac{9}{2}=\frac{55}{12}\approx 4,583$; nhưng $k$ có thể lớn hơn vì $t=\frac{1}{12}+\frac{k}{2}\le 10\Rightarrow k\le 19,83$, vậy $k=0,1,\dots ,19$, tức 20 giá trị. Thật vậy $k=19$ cho $t=\frac{115}{12}\approx 9,583\le 10$ và $k=20$ cho $t\approx 10,083>10$. Vậy trong 10 giây đầu tiên chất điểm đi qua vị trí cân bằng 20 lần.