Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(3,0 điểm) Cho hàm số bậc hai là $f(x)=2x^2-3x-1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(5\sin 2x-3m)=1$ có đúng 5 nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{2}\right]$.

(3,0 điểm) Giải phương trình $2{\sin }^{3}x-\sin 2x\cdot \sin x=-2\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{2026\pi }{4}\right)$.

Số nghiệm của phương trình $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ với $-\pi \le x\le 5\pi$ là

Trong một thí nghiệm, một quả cầu được gắn vào một đầu dây đàn hồi, đầu kia của sợi dây được gắn cố định vào một thanh treo nằm ngang. Sau khi quả cầu được kéo xuống và thả ra, quả cầu bắt đầu di chuyển lên xuống, chiều cao $h$ (tính bằng cm) của quả cầu so với mặt đất được cho bởi công thức $h=100-30\cos 20t$, trong đó $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ lúc bắt đầu thả quả cầu. Hỏi thời điểm đầu tiên là bao nhiêu giây tính từ lúc bắt đầu thả thì quả cầu đạt chiều cao lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip (tham khảo hình vẽ). Giả sử độ cao $h$ (km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được mô hình hóa bởi công thức $h=550-450\cos \left(\frac{\pi }{50}t\right)$, trong đó $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo. Trong khoảng thời gian 200 phút tính từ lúc vệ tinh bắt đầu bay vào quỹ đạo, có bao nhiêu lần độ cao của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất là 325 km?

Học sinh An tiến hành làm một thí nghiệm trên một con lắc đơn. Tại vị trí cân bằng, An tác động một lực lên con lắc theo phương ngang. Từ các kết quả thí nghiệm, An tính được con lắc dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng theo phương trình $s=2\sqrt{2}\cos \left(7t+\frac{\pi }{3}\right)$ với $s(cm)$ là độ dài cung quét của con lắc từ một vị trí bất kì tại thời điểm $t$ (giây) đến vị trí cân bằng. Con lắc đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần trong khoảng thời gian từ 0 đến 30 giây?

Cho hàm số $f(x)=\cot x$ có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};2\pi \right]$ có bao nhiêu giá trị của $x$ để $\cot x=0$.

Nghiệm của phương trình $\sin x=0$ là

Nghiệm của phương trình $\cos x=0$ là

Giải phương trình $2\cos 4x+\sqrt{3}=0$.

Giải phương trình $\sin 3x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Giải phương trình $\tan 5x=-1$.

Giải phương trình $\cot 9x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Số nghiệm của phương trình $2\sin x-\sqrt{3}=0$ trên đoạn đoạn $[0;2\pi ]$.

Cho phương trình lượng giác $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau:

Tìm số nghiệm thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ của phương trình lượng giác $\sin 2x=\frac{1}{2}$.

Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

b) $\cos \left(3x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

c) $\tan (x-15^{\circ })=\sqrt{3}$.

d) $\cot \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$.

e) $\sin 3x+\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=0$.

f) $\cos (2x+30^{\circ })=\sin (x-60^{\circ })$.

Phương trình $2026^{\sin x}=\sin x+\sqrt{2-{\cos }^{2}x}$ có bao nhiêu nghiệm thực trên đoạn $[-5\pi ;2026\pi ]$?

Trong một hệ thống trí tuệ nhân tạo (AI) dùng camera để nhận diện vật thể, camera được gắn trên một mô-tơ có thể quay liên tục. Khi camera quay quanh vật thể, góc nhìn thay đổi, làm cho chất lượng các đặc trưng hình ảnh mà hệ thống thu nhận cũng thay đổi. Hệ thống sử dụng hai thuật toán nhận diện độc lập. Với mỗi góc quay $x$ (đơn vị radian), $0\le x\le 8\pi$, mỗi thuật toán đưa ra một chỉ số tin cậy cho kết quả nhận diện. Qua quá trình thử nghiệm, các kỹ sư mô hình hóa hai chỉ số tin cậy này lần lượt bởi các hàm số $f(x)=1+{\sin }^{2}x$ và $g(x)=1+{\cos }^{2}x$. Để đánh giá mức độ phối hợp của hai thuật toán, hệ thống sử dụng một chỉ số kết hợp là $$H(x)={\log }_{4}f(x)\cdot {\log }_{4}g(x).$$ Gọi $H_0={\log }_4\frac{3}{2}$ và hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu khi $\sqrt{H(x)}=H_0$. Gọi $S$ tổng tất cả các góc quay $x\in [0;8\pi ]$ tại đó hệ thống đạt trạng thái phối hợp tối ưu, tính $\frac{20S}{\pi }$.

Số nghiệm của phương trình $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ thuộc khoảng $(0;\pi )$ là: