Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$, ta có $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), suy ra $x=-\frac{\pi }{12}+k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$. a) Đúng vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$. b) Trong $(0;\pi )$: họ thứ nhất cho $x=\frac{11\pi }{12}$ (k=1); họ thứ hai cho $x=\frac{\pi }{4}$ (k=0). Vậy chỉ có 2 nghiệm, khẳng định Sai. c) Tổng các nghiệm $=\frac{\pi }{4}+\frac{11\pi }{12}=\frac{7\pi }{6}\ne \frac{3\pi }{4}$, Sai. d) Nghiệm lớn nhất trong $(0;\pi )$ là $\frac{11\pi }{12}\ne \frac{7\pi }{12}$, Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$ nên hai phương trình trùng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm trong $(0;\pi )$ là $x=\frac{\pi }{4}$ và $x=\frac{11\pi }{12}$, chỉ có 2 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm là $\frac{\pi }{4}+\frac{11\pi }{12}=\frac{7\pi }{6}\ne \frac{3\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong $(0;\pi )$ là $\frac{11\pi }{12}$, không phải $\frac{7\pi }{12}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos x=\sqrt{3}\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
a) Sai: nghiệm phải là $\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$ chứ không phải $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
b) Sai: Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]=\left[0;\frac{15\pi }{6}\right]$, các nghiệm là $\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6},\frac{13\pi }{6}$ (vì $-\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{11\pi }{6}$, $\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}$, $-\frac{\pi }{6}+4\pi =\frac{23\pi }{6}>\frac{15\pi }{6}$). Vậy chỉ có 3 nghiệm, không phải 4.
c) Đúng: Tổng $=\frac{\pi }{6}+\frac{11\pi }{6}+\frac{13\pi }{6}=\frac{25\pi }{6}$.
d) Đúng: Nghiệm lớn nhất trong đoạn là $\frac{13\pi }{6}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$, không phải $\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6},\frac{13\pi }{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $\frac{\pi }{6}+\frac{11\pi }{6}+\frac{13\pi }{6}=\frac{25\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất là $\frac{13\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.

Theo công thức nghiệm phương trình $\sin x=\sin \alpha$: $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{\pi }{4}$, $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ đúng; với $x=\frac{3\pi }{4}$, $\sin \frac{3\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0$.

Ta có $2\cos \frac{x}{2}=-\sqrt{3}\iff \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Do $\cos \frac{5\pi }{6}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên:
$$\cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}\iff \frac{x}{2}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$$

Suy ra $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{5\pi }{3}$ thì $\cos \frac{x}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, khi đó $2\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\sqrt{3}=0$ — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ có $\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi }{3}$. Theo công thức nghiệm của phương trình $\sin x=\sin \alpha$ với $\alpha =\frac{\pi }{3}\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, ta được: $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ đúng. Phương án B sai vì $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$; C sai vì chu kỳ của $\sin x$ là $2\pi$ không phải $\pi$; D sai vì $\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{3\pi }{4}$. Do đó $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: với $x=\frac{3\pi }{4}$, $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ đúng; đáp án B khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}$. Do đó $x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ và $-1\le \cos x\le 1$. Xét từng phương trình: A) $\sin x=\frac{1}{2}$ thỏa điều kiện nên có nghiệm, với nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. B) $\sin x=-2<-1$ vô nghiệm. C) $\sqrt{2}\sin x=2\iff \sin x=\sqrt{2}>1$ vô nghiệm. D) $\cos x=2>1$ vô nghiệm. Vậy chỉ phương trình ở phương án A có nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 2x=-\frac{1}{2}$. a) Sai vì $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{2}$; đúng phải là $\sin 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)$. b) Với $x\in (0;\pi )$ thì $2x\in (0;2\pi )$, khi đó $2x=\frac{7\pi }{6}$ hoặc $2x=\frac{11\pi }{6}$, tức $x=\frac{7\pi }{12}$ hoặc $x=\frac{11\pi }{12}$: chỉ có 2 nghiệm, nên khẳng định 3 nghiệm là sai. c) Tổng hai nghiệm $\frac{7\pi }{12}+\frac{11\pi }{12}=\frac{18\pi }{12}=\frac{3\pi }{2}$: đúng. d) Nghiệm lớn nhất trong $(0;\pi )$ là $\frac{11\pi }{12}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}\ne -\frac{1}{2}$, nên phương trình không tương đương $\sin 2x=\sin \frac{\pi }{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;\pi )$, $2x\in (0;2\pi )$ nên $2x=\frac{7\pi }{6}$ hoặc $2x=\frac{11\pi }{6}$, cho $x=\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}$: chỉ 2 nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng nghiệm $\frac{7\pi }{12}+\frac{11\pi }{12}=\frac{3\pi }{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong $(0;\pi )$ là $\frac{11\pi }{12}$.

(AI giải đề cho tôi)
$$\tan \left(2x-15^{\circ }\right)=1\Rightarrow 2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }+k90^{\circ },k\in \mathbb{Z}.$$ a) Đúng, đây chính là nghiệm tổng quát. b) Nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $x=-60^{\circ }$, không phải $-30^{\circ }$ $\Rightarrow$ Sai. c) Trong $\left(-180^{\circ };90^{\circ }\right)$: $k=-2\Rightarrow -150^{\circ }$, $k=-1\Rightarrow -60^{\circ }$, $k=0\Rightarrow 30^{\circ }$; tổng $=-180^{\circ }\ne 180^{\circ }$ $\Rightarrow$ Sai. d) Nghiệm lớn nhất trong khoảng là $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$ $\Rightarrow$ Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$$2x-15^{\circ }=45^{\circ }+k180^{\circ }\Rightarrow x=30^{\circ }+k90^{\circ }.$$
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm âm lớn nhất là $-60^{\circ }$ ($k=-1$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm trong $\left(-180^{\circ };90^{\circ }\right)$: $-150^{\circ }$, $-60^{\circ }$, $30^{\circ }$; tổng $=-180^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong khoảng là $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $-\frac{1}{\sqrt{3}}=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)$ nên $\cot 3x=\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)\Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$. a) Đúng vì $\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\sqrt{3}\cdot \frac{1}{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. b) Sai: nghiệm tổng quát là $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, khác $\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$ (vì $\frac{\pi }{9}=\frac{2\pi }{18}\ne -\frac{\pi }{18}$). c) Sai: trong $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$, với $k=0$: $x=-\frac{\pi }{18}\approx -0,17$ (nhận); $k=-1$: $x=-\frac{7\pi }{18}\approx -1,22$ (nhận); $k=-2$: $x=-\frac{13\pi }{18}\approx -2,27<-\frac{\pi }{2}$ (loại). Tổng $=-\frac{8\pi }{18}=-\frac{4\pi }{9}\ne -\frac{5\pi }{9}$. d) Sai: nghiệm dương nhỏ nhất ứng với $k=1$: $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{18}\ne \frac{2\pi }{9}=\frac{4\pi }{18}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên hai phương trình tương đương.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm tổng quát là $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{\pi }{3}$, không phải $\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm trong $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ là $-\frac{\pi }{18}$ và $-\frac{7\pi }{18}$, tổng bằng $-\frac{4\pi }{9}\ne -\frac{5\pi }{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{5\pi }{18}$, không phải $\frac{2\pi }{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\cos x=\sqrt{3}\iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, nên a) đúng. Trong đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$: với họ $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ có $x=\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$; với họ $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ có $x=\frac{5\pi }{3}$ (vì $-\frac{\pi }{3}+4\pi =\frac{11\pi }{3}>\frac{5\pi }{2}$). Vậy chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$, nên b) sai. Tổng các nghiệm bằng $\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}+\frac{7\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}\ne \frac{25\pi }{6}$, nên c) sai. Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}\ne \frac{13\pi }{6}$, nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm là $\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}+\frac{7\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}\ne \frac{25\pi }{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất trong đoạn là $\frac{7\pi }{3}$, không phải $\frac{13\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ta có $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$ (vì $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$). Theo công thức nghiệm phương trình $\sin x=\sin \alpha$: $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Thay $\alpha =\frac{\pi }{4}$ ta được: $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi =\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓; $\sin \frac{3\pi }{4}=\sin \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ✓. Kết quả trùng với đáp án nguồn: $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{3}=0\iff \cos \frac{x}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Suy ra $\frac{x}{2}=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Nhân hai vế với 2 ta được $x=\pm \frac{5\pi }{3}+k4\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-1$ có nghiệm dạng $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì $\cos x=-1$ khi và chỉ khi $x$ là góc có số đo bằng $\pi$ cộng bội của $2\pi$. Kiểm tra: với $k=0$, $x=\pi$, $\cos \pi =-1$ đúng. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi$ (với điều kiện $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$, thỏa mãn). Suy ra $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $m=6$, $n=1$ nên $m-n=6-1=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$. Phương trình trở thành $\sin x=-\sin \alpha =\sin (-\alpha )$. Do đó $x=-\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -(-\alpha )+k2\pi =\pi +\alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\{-\alpha +k2\pi ,\pi +\alpha +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $550-450\cos \left(\frac{\pi t}{50}\right)=325\iff \cos \left(\frac{\pi t}{50}\right)=\frac{1}{2}$. Suy ra $\frac{\pi t}{50}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi \iff t=\pm \frac{50}{3}+100k$. Với $t\in [0;300]$ (5 giờ), các giá trị thỏa mãn là $t=\frac{50}{3},\frac{250}{3},\frac{350}{3},\frac{550}{3},\frac{650}{3},\frac{850}{3}$, tức 6 giá trị. Vậy độ cao 325 km xuất hiện 6 lần, khớp với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$. Ta có $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=-(\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)=-t(\sin x+\cos x)$. Phương trình trở thành $t=-t(\sin x+\cos x)\iff t\left(1+\sin x+\cos x\right)=0$.

Trường hợp 1: $t=0\iff \sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $\sin x+\cos x=-1\iff \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
Suy ra $x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, hoặc $x+\frac{\pi }{4}=\pi +\frac{\pi }{4}+k2\pi \iff x=\pi +k2\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$.

Thử lại: $x=\pi$: $0-(-1)=1=\cos 2\pi =1$ ✓; $x=-\frac{\pi }{2}$: $-1-0=-1=\cos (-\pi )=-1$ ✓; $x=\frac{\pi }{4}$: $0=\cos \frac{\pi }{2}=0$ ✓.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $S=\left\{\pi +k2\pi ,-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$, nên phương trình trở thành $\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=-\cos x=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$.

Trường hợp 1: $3x+\frac{\pi }{4}=x-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow 2x=-\frac{3\pi }{4}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trường hợp 2: $3x+\frac{\pi }{4}=\pi -\left(x-\frac{\pi }{2}\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}-x+2k\pi \Rightarrow 4x=\frac{5\pi }{4}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{16}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Tập nghiệm gồm hai họ $x=-\frac{3\pi }{8}+k\pi$ và $x=\frac{5\pi }{16}+\frac{k\pi }{2}$, đúng với đáp án A (khớp với key đã cho).