Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $I$ là trung điểm $SC$, $O$ là tâm hình bình hành $ABCD$ (nên $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$).

(I) Trong tam giác $SAC$: $I$ là trung điểm $SC$, $O$ là trung điểm $AC$, nên $IO$ là đường trung bình, suy ra $IO\parallel SA$. Mệnh đề (I) đúng.

(II) Mặt phẳng $(IBD)$: $B,D$ thuộc đáy, $I$ thuộc cạnh $SC$. Thiết diện gồm: đoạn $IB$ trong mặt $(SBC)$, đoạn $ID$ trong mặt $(SDC)$ và đoạn $BD$ trong đáy. Vậy thiết diện là tam giác $IBD$, không phải tứ giác. Mệnh đề (II) sai.

(III) Trong mặt phẳng $(SAC)$, gọi $G=AI\cap SO$. Vì $AI$ và $SO$ là hai đường trung bình của tam giác $SAC$ (trung điểm từ $A$ và từ $S$), $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$, nên $\frac{SG}{GO}=2$. Mặt khác, trọng tâm tam giác $SBD$ cũng nằm trên trung tuyến $SO$ và chia $SO$ theo tỉ số $\frac{S{G}^{\prime }}{G^{\prime }O}=2$ (vì $O$ là trung điểm $BD$). Do đó $G^{\prime }\equiv G$: giao điểm của $AI$ và $(SBD)$ chính là trọng tâm tam giác $SBD$. Mệnh đề (III) đúng.

(IV) $O\in BD\subset (IBD)$ và $O\in (SAC)$; $I\in (IBD)\cap (SAC)$. Vậy giao tuyến của $(IBD)$ và $(SAC)$ là $OI$. Mệnh đề (IV) đúng.

Số mệnh đề đúng là 3 (các mệnh đề I, III, IV).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$: $I$ là trung điểm $SC$, $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) nên $IO$ là đường trung bình, suy ra $IO\parallel SA$. Do $SA\subset (SAB)$, $SA\subset (SAD)$ và $IO\not\subset$ các mặt phẳng đó nên $IO\parallel (SAB)$ và $IO\parallel (SAD)$: B và D đúng. Vì $I\in SC\subset (SAC)$, $O\in AC\subset (SAC)$ và $I,O\in (IBD)$ nên $(IBD)\cap (SAC)=IO$: C đúng. Mặt phẳng $(IBD)$ chứa $B,D$ thuộc đáy và $I\in SC$: giao tuyến với $(SBC)$ là $BI$, với $(SDC)$ là $DI$, với đáy là $BD$. Thiết diện là tam giác $BDI$, không phải tứ giác. Vậy khẳng định A SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAB)$ vì $M\in SA$, $N\in SB$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, do $M$ là trung điểm $SA$ nên $\frac{SM}{SA}=\frac{1}{2}$, còn $N$ không là trung điểm $SB$ nên $\frac{SN}{SB}\ne \frac{1}{2}$. Suy ra $MN$ không song song với $AB$, do đó $MN$ cắt $AB$ tại một điểm $Q$. Điểm $Q\in AB\subset (ABC)$ và $Q\in MN$, nên $Q$ chính là giao điểm của $MN$ với $(ABC)$. Vậy giao điểm của $MN$ với $(ABC)$ là giao điểm của $MN$ với $AB$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Xét hình chóp $S.ABCD$, $M\in SC$, $N\in BC$, $O=AC\cap BD$, $K=AN\cap CD$.

a) Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$. Ta có $AC\subset (SAC)$, $BD\subset (SBD)$ và $AC\cap BD=O$, nên $O$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là $SO$. → Đúng.

b) Đường thẳng $AM$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, còn $(SAC)\cap (SBD)=SO$. Trong tam giác $SAC$, $M$ nằm trên cạnh $SC$, $O$ nằm trên cạnh $AC$, nên hai đường thẳng $AM$ và $SO$ là hai đường thẳng đồng phẳng không song song, chúng cắt nhau tại một điểm $P$ nằm trong tam giác $SAC$, tức $P$ thuộc đoạn $SO$. Vậy giao điểm của $AM$ và $(SBD)$ nằm trên cạnh $SO$. → Đúng.

c) $M\in SC$ nên $M\in (SCD)$ và $M\in (AMN)$. $K=AN\cap CD$ nên $K\in AN\subset (AMN)$ và $K\in CD\subset (SCD)$. Hai mặt phẳng có hai điểm chung $M$, $K$ phân biệt, vậy giao tuyến là $KM$. → Đúng.

d) $SD$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$, mà $(SCD)\cap (AMN)=KM$ (theo c), nên giao điểm của $SD$ và $(AMN)$ là giao điểm của $SD$ và $KM$. Trong mặt phẳng $(SCD)$ xét tam giác $SCD$: $M$ nằm trên cạnh $SC$, $K$ nằm trên cạnh $CD$, nên đoạn $MK$ nằm trong tam giác và không cắt cạnh $SD$ tại điểm trong (chỉ gặp $SD$ khi $M\equiv S$ hoặc $K\equiv D$). Do đó $SD$ cắt đường thẳng $KM$ tại điểm nằm ngoài đoạn $KM$ (trên phần kéo dài), không nằm trên cạnh $KM$. → Sai.

Kết luận: a đúng, b đúng, c đúng, d sai.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $Q=MN\cap BC$ (tồn tại vì $M\in AB$, $N\in AC$ nên $MN$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, và $MN$ không song song với $BC$ nên chúng cắt nhau tại $Q$). Vì $Q\in MN\subset (MNP)$ và $Q\in BC\subset (BCD)$ nên $Q$ thuộc cả hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(BCD)$.

a) Vì $M\in AB\subset (ABC)$ và $N\in AC\subset (ABC)$ nên đường thẳng $MN$ nằm trong $(ABC)$; đồng thời $MN\subset (MNP)$. Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(ABC)$ là đường thẳng $MN$.

b) Hai mặt phẳng $(MNP)$ và $(BCD)$ cùng chứa điểm $Q$. Lấy $P$ (thuộc $△BCD$, tức $P\in (BCD)$, và $P\in (MNP)$). Hai mặt phẳng này không trùng nhau (vì $M\notin (BCD)$), nên giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung $P$ và $Q$. Vậy giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $PQ$.

c) Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $PQ$ cắt cạnh $BD$ tại $I$ (nếu $PQ\parallel BD$ thì lấy giao điểm của $PM$ với $BD$; trường hợp tổng quát $I=PQ\cap BD$). Khi đó $I\in BD\subset (ABD)$ và $I\in PQ\subset (MNP)$. Mặt khác $M\in AB\subset (ABD)$ và $M\in (MNP)$. Vậy $(MNP)$ và $(ABD)$ có hai điểm chung $M$ và $I$, giao tuyến là đường thẳng $MI$.

d) Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $PQ$ cắt cạnh $CD$ tại $J$ ($J=PQ\cap CD$). Khi đó $J\in CD\subset (ACD)$ và $J\in PQ\subset (MNP)$. Mặt khác $N\in AC\subset (ACD)$ và $N\in (MNP)$. Vậy $(MNP)$ và $(ACD)$ có hai điểm chung $N$ và $J$, giao tuyến là đường thẳng $NJ$.

Tóm tắt: a) $MN$; b) $PQ$ với $Q=MN\cap BC$; c) $MI$ với $I=PQ\cap BD$; d) $NJ$ với $J=PQ\cap CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Giả sử phản chứng: giả sử bốn điểm $M,N,C,D$ cùng nằm trong một mặt phẳng $(\alpha )$. Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,BC$ nên $M,N$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$, do đó $MN$ là đường thẳng nằm trong $(ABC)$. Mặt khác $M,N\in (\alpha )$ nên $MN\subset (\alpha )$. Trong tam giác $ABC$, đường trung bình $MN$ song song với $AC$, tức $MN\parallel AC$. Vì $MN\subset (\alpha )$, $AC\not\subset (\alpha )$ (nếu $AC\subset (\alpha )$ thì $A\in (\alpha )$, khi đó $(\alpha )$ chứa $A,C,D$ và $M$... dẫn tới $(\alpha )=(ACD)$, mâu thuẫn vì $B$ không thuộc $(ACD)$). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, từ $MN\parallel AC$ và $AC\subset (ACD)$ suy ra $MN\parallel (ACD)$. Nhưng $M\in (\alpha )$ và $MN\subset (\alpha )$, tức $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $MN$; mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $D$ và chứa đường thẳng $MN$ song song với $(ACD)$, trong khi $(\alpha )$ cũng chứa $C\in (ACD)$ — mâu thuẫn vì một mặt phẳng đi qua $MN$ song song với $(ACD)$ thì không thể cắt $(ACD)$ tại $C$. Cách trình bày gọn hơn: giả sử $M,N,C,D$ đồng phẳng trong $(\alpha )$. Khi đó $C\in (\alpha )$ và $MN\subset (\alpha )$. Vì $MN\parallel AC$ (đường trung bình tam giác $ABC$) nên giao tuyến của $(\alpha )$ với $(ABC)$ là đường thẳng qua $C$ và song song với $MN$, tức là đường thẳng qua $C$ song song với $AC$, đó chính là đường thẳng $AC$. Suy ra $A\in (\alpha )$. Vậy $(\alpha )$ chứa bốn điểm $A,B$ (vì $M,N\in (\alpha )$ nên đường thẳng $MN$... thực ra từ $A,C,M\in (\alpha )$, ba điểm không thẳng hàng, suy ra $(\alpha )=(ACM)=(ABC)$). Do đó $D\in (ABC)$, mâu thuẫn với giả thiết $ABCD$ là tứ diện (bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng). Vậy giả sử sai, tức bốn điểm $M,N,C,D$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. $■$

(AI giải đề cho tôi)
Xét mặt phẳng $(DEF)$. Ta có $I=DE\cap AB$, mà $DE\subset (DEF)$, $AB\subset (ABC)$, nên $I$ là điểm chung của $(DEF)$ và $(ABC)$. Tương tự, $J=EF\cap BC$ với $EF\subset (DEF)$, $BC\subset (ABC)$ nên $J$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng $(DEF)$ và $(ABC)$. Và $K=FD\cap CA$ với $FD\subset (DEF)$, $CA\subset (ABC)$ nên $K$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng $(DEF)$ và $(ABC)$. Vậy cả ba điểm $I,J,K$ đều là điểm chung của hai mặt phẳng $(DEF)$ và $(ABC)$. Mặt khác, $(DEF)\ne (ABC)$ (vì $D\in (DEF)$ nhưng $D\notin (ABC)$ do $D$ nằm trên cạnh $SA$ không thuộc mặt đáy). Theo định lý: nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt nhau thì giao tuyến của chúng là một đường thẳng, nên giao tuyến $(DEF)\cap (ABC)$ là một đường thẳng. Do đó ba điểm $I,J,K$ cùng nằm trên đường thẳng giao tuyến này, tức là ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $E$, $F$ là trung điểm $AB$, $BC$ nên $EF\parallel AC$ (định lí đường trung bình). Mà $EF\subset (EFG)$ nên $AC\parallel (EFG)$, do đó mặt phẳng $(EFG)$ không cắt mặt $(SAC)$. Ba điểm $E\in AB$, $F\in BC$, $G\in SC$ (vì $\overrightarrow{SG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{SC}$ nên $G$ là trung điểm $SC$) lần lượt nằm trên ba mặt $(SAB)$, $(SBC)$, $(ABC)$. Vậy thiết diện là tam giác $EFG$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm $SA,SB$ nên $MN\parallel AB$ (tính chất đường trung bình của tam giác $SAB$). Do đó mặt phẳng $(MNP)$ chứa phương // của $AB$.

Xét giao của $(MNP)$ với mặt đáy $(ABCD)$: hai mặt phẳng này cùng chứa phương // của $AB$ nên giao tuyến của chúng đi qua $P$ và song song với $AB$. Đường thẳng qua $P\parallel AB$ cắt cạnh $AD$ tại điểm $U$ (vì $AB\parallel CD$ nên nó song song với $CD$, không cắt $CD$; mà cắt $AD$ tại $U$ với $U$ nằm giữa $A$ và $D$). Vậy $(MNP)$ cắt đáy theo đoạn $PU\parallel AB$.

Tiếp tục: trong mặt $(SAD)$, mặt phẳng $(MNP)$ cắt theo đoạn $MU$ (M trên $SA$, U trên $AD$); đường thẳng $MU$ không cắt đoạn $SD$ bên trong, và đường thẳng $NP$ cắt đường thẳng $SC$ ngoài đoạn $SC$, nên mặt phẳng không cắt thêm cạnh nào khác của hình chóp.

Vậy thiết diện là tứ giác $MNPU$ với $MN\parallel PU$ (cùng song song với $AB$) và $MN=\frac{1}{2}AB<PU=AB$, tức là một hình thang.

Đáp án: B. Hình thang.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$, $N$, $P$ là trung điểm $BD$, $AD$ nên $NP\parallel AB$, do đó $AB\parallel (MNP)$ và mặt phẳng không cắt cạnh $AB$. Trong mặt phẳng $(BCD)$, đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $CD$ tại điểm $Q$ ngoài đoạn $CD$ (vì $M$ không phải trung điểm), nên mặt phẳng không cắt cạnh $CD$ trong đoạn cạnh. Xét mặt phẳng cắt cạnh $AC$: dùng tọa độ với $A,B,C,D$ làm gốc: $P=\frac{A+D}{2}$, $N=\frac{B+D}{2}$, $M=\frac{2B+C}{3}$. Mặt phẳng $(MNP)$ có phương trình barycentric $-A-B+2C+D=0$. Điểm trên $AC$ dạng $(1-u)A+uC$ thỏa $-(1-u)+2u=0\Rightarrow u=\frac{1}{3}$, tức mặt phẳng cắt cạnh $AC$ tại $E$ với $AE=\frac{1}{3}AC$, nằm trong đoạn $AC$. Vậy thiết diện là tứ giác $PNME$ (các đỉnh lần lượt trên $AD,BD,BC,AC$). Ta có $NP\parallel AB$ và $E=\frac{2A+C}{3}$, $M=\frac{2B+C}{3}$ nên $EM\parallel AB$, suy ra $NP\parallel EM$. Thiết diện là tứ giác có một cặp cạnh đối song song, tức hình thang. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Mặt phẳng $(ICD)$ chứa $CD$ và điểm $I$ trên cạnh $SO$. Trong mặt phẳng $(SAB)$, giao tuyến của $(ICD)$ với $(SAB)$ là đường thẳng qua $I$ song song với $AB$ (do $CD\parallel AB$), cắt $SA$ tại $E$ và cắt $SB$ tại $F$, suy ra $EF\parallel CD$. Thiết diện cắt các mặt $SAD$, $SBC$ và chứa $CD$ là tứ giác $EFCD$ (thứ tự $E,F,C,D$) có $EF\parallel CD$ nhưng $EC$ và $FD$ không song song (chúng nằm trên hai cạnh bên của hình chóp và không song song nhau). Vậy thiết diện là hình thap.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm $AB,AC$ nên $MN\parallel BC$ và $MN=\frac{1}{2}BC$. Mặt phẳng $(MNE)$ chứa đường thẳng $MN\parallel BC$, mà $BC\subset (BCD)$, nên giao tuyến của $(MNE)$ với $(BCD)$ là đường thẳng qua $E$ song song với $BC$, cắt $BD$ tại $F$ với $EF\parallel BC$. Tam giác $DEF$ đồng dạng $DCB$ nên $EF=\frac{ED}{DC}BC=\frac{3}{4}BC$. Trong tứ giác $MNEF$: $MN\parallel EF$ (cùng song song $BC$) nhưng $MN=\frac{1}{2}BC\ne \frac{3}{4}BC=EF$, do đó thiết diện là hình thang $MNEF$ với $F$ trên cạnh $BD$ sao cho $EF\parallel BC$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(IBC)$ chứa $B$, $C$ và $I$ (trung điểm $SA$). Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$, do đó $BC\parallel (SAD)$. Giao tuyến của $(IBC)$ với mặt $(SAD)$ là đường thẳng qua $I$ song song với $AD$ (cũng song song với $BC$), cắt $SD$ tại $J$. Trong tam giác $SAD$, đường thẳng qua trung điểm $I$ của $SA$ và song song với $AD$ đi qua trung điểm $J$ của $SD$ (tính chất đường trung bình), nên $IJ\parallel AD\parallel BC$. Vậy thiết diện là tứ giác $IBCJ$ với $IJ\parallel BC$, tức hình thang $IBCJ$ với $J$ là trung điểm $SD$. Khớp với đáp án B của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ABC$, $E$ là trung điểm $AB$, $F$ là trung điểm $BC$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel AC$. Đúng.
b) Vì $AB\parallel CD$ (đáy là hình bình hành) và $CD\subset (SCD)$, $AB\not\subset (SCD)$ nên $AB\parallel (SCD)$. Mặt phẳng $(SAB)$ chứa $AB$ và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến $d$ qua $S$, do đó $d\parallel AB$ (tức $d\parallel CD$), không phải song song với $AC$. Sai.
c) Vì $BC\parallel AD$ (đáy là hình bình hành) và $AD\subset (SAD)$, $BC\not\subset (SAD)$ nên $BC\parallel (SAD)$. Mặt phẳng $(MBC)$ chứa $BC$ và cắt $(SAD)$ theo giao tuyến $d$ qua $M$ (vì $M\in SA\subset (SAD)$ và $M\in (MBC)$), suy ra $d\parallel BC$. Đúng.
d) Theo câu a), $EF\parallel AC$ với $AC\subset (SAC)$, $EF\not\subset (SAC)$ nên $EF\parallel (SAC)$. Mặt phẳng $(MEF)$ chứa $EF$ và cắt $(SAC)$ theo giao tuyến $d$ qua $M$ (vì $M\in SA\subset (SAC)$ và $M\in (MEF)$), suy ra $d\parallel AC$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F$ là trung điểm $AB,BC$ nên $EF$ là đường trung bình tam giác $ABC$, suy ra $EF\parallel AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$; giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường qua $S$ song song với $AB$ (tức $CD$), không song song với $AC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\parallel AD$ nên $BC\parallel (SAD)$; giao tuyến của $(MBC)$ và $(SAD)$ là đường qua $M$ song song với $BC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $EF\parallel AC$ nên $EF\parallel (SAC)$; giao tuyến của $(MEF)$ và $(SAC)$ là đường qua $M$ song song với $AC$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trong tam giác $ACD$, $I$ là trung điểm $AD$, $J$ là trung điểm $AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, suy ra $IJ\parallel CD$ và $IJ=\frac{1}{2}CD=3$.

b) Ta có $I\in (BCD)$? Không, $I\notin (BCD)$. Xét: $G\in (BCD)$ và $G\in (GIJ)$ nên $G$ thuộc giao tuyến. Trong mặt phẳng $(ACD)$, $IJ\parallel CD$ với $CD\subset (BCD)$, $IJ\subset (GIJ)$, $CD\subset (BCD)$, do đó đường thẳng qua $G$ song song với $CD$ (nằm trong $(BCD)$) cũng song song với $IJ$, nên nó chính là giao tuyến. Vậy giao tuyến của $(GIJ)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $G$ và $d\parallel CD$ (hay $d\parallel IJ$).

c) Đường thẳng $d$ qua $G$ song song $CD$ cắt $BC$ tại $M$, cắt $BD$ tại $N$. Trong tam giác $BCD$, đường thẳng qua trọng tâm $G$ song song với $CD$ nên $\frac{BM}{BC}=\frac{BN}{BD}=\frac{2}{3}$ (vì $G$ cách đỉnh $B$ một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ đường trung tuyến). Suy ra $MN$ là đường trung bình tương tự: $MN=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}\cdot 6=4$, và $G$ là trung điểm $MN$.

Vậy $2IJ+3MN=2\cdot 3+3\cdot 4=6+12=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABD$: $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel BD$.

Ta có $BD\subset (BCD)$ và $MN\subset (MNP)$, với $BD\not\subset (MNP)$, nên theo định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng, giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng đi qua $P$ và song song với $BD$.

Mặt khác, $Q$ là giao điểm của $BC$ với $(MNP)$, mà $BC\subset (BCD)$ nên $Q$ thuộc giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$. Do đó giao tuyến này chính là đường thẳng $PQ$.

Vậy $PQ\parallel BD$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0,0,0)$, $B(b,0,0)$, $C(b,c,0)$, $D(0,c,0)$, $O\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},0\right)$, $S\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$. Trung điểm $M$ của $OC$ là $M\left(\frac{3b}{4},\frac{3c}{4},0\right)$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ có hai vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_1=(b,-c,0)$ (song song $BD$) và ${\vec{u}}_2=\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$ (song song $SA$), nên điểm thuộc $(\alpha )$ có dạng $M+t(b,-c,0)+s\left(\frac{b}{2},\frac{c}{2},h\right)$.

- Giao với mặt đáy ($z=0\Rightarrow s=0$): đường thẳng qua $M$ song song $BD$, cắt $BC$ tại $P\left(b,\frac{c}{2},0\right)$ (trung điểm $BC$) và cắt $CD$ tại $Q\left(\frac{b}{2},c,0\right)$ (trung điểm $CD$).
- Giao với mặt $(SBC)$: điểm trên $SC$ có dạng $C+u(S-C)=\left(b-\frac{ub}{2},c-\frac{uc}{2},uh\right)$. Thay vào phương trình của $(\alpha )$: từ tung độ $z$ được $s=u$; từ $x$: $\frac{3}{4}+t+\frac{u}{2}=1-\frac{u}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{4}-u$; từ $y$: $\frac{3}{4}-t+\frac{u}{2}=1-\frac{u}{2}\Rightarrow t=u-\frac{1}{4}$. Suy ra $u=\frac{1}{4}$, tức giao điểm $R$ trên $SC$ với $CR=\frac{1}{4}SC$: $R=\left(\frac{7b}{8},\frac{7c}{8},\frac{h}{4}\right)$.
- Giao với mặt $(SCD)$: điểm dạng $C+u(S-C)+v(D-C)$. Tương tự thu được $v=\frac{1}{2}-2u$ với $0\le u\le \frac{1}{4}$: hai đầu mút là $u=0,v=\frac{1}{2}$ cho đúng điểm $Q$ và $u=\frac{1}{4},v=0$ cho đúng điểm $R$. Vậy giao tuyến trên mặt $(SCD)$ là đoạn $QR$.
- Với $(SAB)$ và $(SAD)$: giải hệ cho tham số nằm ngoài đoạn nên $(\alpha )$ không cắt hai mặt bên này (do $(\alpha )\parallel SA$).

Vậy thiết diện là tam giác $PQR$ với $P$ trung điểm $BC$, $Q$ trung điểm $CD$, $R$ thuộc $SC$ sao cho $CR=\frac{1}{4}SC$. Đáp án: hình tam giác.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thang cân với đáy lớn $AD$ nên $AB\parallel CD$ không đúng, nhưng $M,N$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang, do đó $MN\parallel AD\parallel BC$.

Vì $MN\parallel BC$ và $BC\subset (SBC)$ nên $MN\parallel (SBC)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $MN$ cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $EF$ (với $E\in SB$, $F\in SC$), suy ra $EF\parallel MN$ (giao tuyến của hai mặt phẳng, một mặt chứa đường thẳng song song với mặt kia).

Thiết diện là tứ giác $MNEF$ có $MN\parallel EF$. Hai cạnh còn lại $ME$ nằm trong mặt $(SAB)$ và $NF$ nằm trong mặt $(SDC)$; vì $AB$ và $CD$ không song song (hình thang) nên nói chung $ME$ không song song $NF$. Vậy thiết diện là tứ giác có một cặp cạnh đối song song: hình thang.

Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Cách dựng: Trong mặt phẳng $(ABC)$, qua $M$ vẽ đường thẳng song song với $BC$, cắt $AC$ tại $P$. Vì $(\alpha )$ chứa $M$ và $(\alpha )\parallel BC$ nên giao tuyến của $(\alpha )$ với mặt $(ABC)$ là đường thẳng qua $M$ song song $BC$, tức $MP$. Tương tự, trong mặt phẳng $(BCD)$, qua $N$ vẽ đường thẳng song song với $BC$ cắt $BD$ tại $Q$; đó là giao tuyến của $(\alpha )$ với mặt $(BCD)$. Khi đó: $(\alpha )\cap (ABC)=MP$ ($MP\parallel BC$); $(\alpha )\cap (BCD)=NQ$ ($NQ\parallel BC$); $(\alpha )\cap (ABD)=MQ$ vì $M\in AB$, $Q\in BD$ đều thuộc $(ABD)$ và thuộc $(\alpha )$; $(\alpha )\cap (ACD)=NP$ vì $N\in CD$, $P\in AC$ đều thuộc $(ACD)$ và thuộc $(\alpha )$. Vậy thiết diện của $(\alpha )$ với tứ diện là tứ giác $MPNQ$ (với $MP\parallel NQ$ cùng song song $BC$). Lưu ý: nếu $M$ trùng $A$ hoặc $N$ trùng $D$... thì một số cạnh của tứ giác suy biến thành tam giác, nhưng với $M,N$ là điểm bất kỳ trong lòng hai cạnh, kết quả là tứ giác $MPNQ$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết diện qua $M$ song song $(SBC)$: trong mặt $(SAB)$ qua $M$ kẻ $MN\parallel SB$ với $N\in SA$; trong đáy qua $M$ kẻ $MP\parallel BC$ với $P\in CD$ (tồn tại vì $AB\parallel CD$); trong mặt $(SCD)$ qua $P$ kẻ $PQ\parallel SC$ với $Q\in SD$. Ta có $\frac{SN}{SA}=\frac{MB}{AB}$ và $\frac{SQ}{SD}=\frac{PC}{DC}=\frac{MB}{AB}$, suy ra $\frac{SN}{SA}=\frac{SQ}{SD}$ nên $NQ\parallel AD$, tức $NQ\parallel MP$ (cùng song song $BC$). Còn $MN\nparallel QP$ vì $SB$ không song song $SC$. Vậy thiết diện $MNQP$ là hình thang. Vì $SBC$ đều nên $SB=SC$, do đó $MN=\frac{MB}{AB}\cdot SB=\frac{MB}{AB}\cdot SC=QP$: hai cạnh bên bằng nhau. Thiết diện là hình thang cân. Đáp án A.