Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-5}{x-3}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{3\}$.

a) $y^{\prime }=\frac{2(x-3)-(2x-5)}{(x-3{)}^2}=\frac{-1}{(x-3{)}^2}$. Khẳng định $y^{\prime }=\frac{1}{(x-3{)}^2}$ là SAI (thiếu dấu trừ).

b) $y^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}\left[-(x-3{)}^{-2}\right]=2(x-3{)}^{-3}=\frac{2}{(x-3{)}^3}$. ĐÚNG.

c) $y^{\prime }(5)=\frac{-1}{(5-3{)}^2}=-\frac{1}{4}=-0,25$. ĐÚNG.

d) Phương trình tiếp tuyến tại $x_0$: $y=\frac{-1}{(x_0-3{)}^2}(x-x_0)+\frac{2x_0-5}{x_0-3}$, hệ số góc $k=\frac{-1}{(x_0-3{)}^2}<0$. Tiếp tuyến $y=kx+m$ cắt hai trục tại $A\left(-\frac{m}{k};0\right)$, $B(0;m)$. Điều kiện $OA=OB$ tức $\left|\frac{m}{k}\right|=|m|$, với $m\ne 0$ (nếu $m=0$ tiếp tuyến qua gốc, không cắt hai trục tại hai điểm phân biệt) suy ra $|k|=1$, mà $k<0$ nên $k=-1$, tức $(x_0-3{)}^2=1\Rightarrow x_0=2$ hoặc $x_0=4$.
- $x_0=2$: tiếp tuyến $y=-x+3$, cắt trục tại $(3;0)$ và $(0;3)$, thỏa $OA=OB$.
- $x_0=4$: tiếp tuyến $y=-x+7$, cắt trục tại $(7;0)$ và $(0;7)$, thỏa $OA=OB$.
Vậy có đúng HAI tiếp tuyến thỏa mãn, khẳng định 'chỉ có đúng một' là SAI.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai — khớp hoàn toàn với đáp án đề 0103 (1a S, 1b D, 1c D, 1d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x-3)-(2x-5)}{(x-3{)}^2}=\frac{-1}{(x-3{)}^2}\ne \frac{1}{(x-3{)}^2}$, khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}\left[-(x-3{)}^{-2}\right]=\frac{2}{(x-3{)}^3}$, khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(5)=\frac{-1}{(5-3{)}^2}=-0,25$, khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$OA=OB$ với tiếp tuyến $y=kx+m$ ($m\ne 0$) suy ra $|k|=1$; vì $k=\frac{-1}{(x_0-3{)}^2}<0$ nên $k=-1\Rightarrow x_0=2$ hoặc $x_0=4$, cho hai tiếp tuyến $y=-x+3$ và $y=-x+7$ đều thỏa mãn. Vậy có hai tiếp tuyến, không phải một, khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ với $u=2x+1$, $v=3x+5$. Ta có $u^{\prime }=2$, $v^{\prime }=3$, nên $y^{\prime }=\frac{2(3x+5)-3(2x+1)}{(3x+5{)}^2}=\frac{6x+10-6x-3}{(3x+5{)}^2}=\frac{7}{(3x+5{)}^2}$. Kết quả trùng với đáp án A và với bảng đáp án nguồn (đề 0103, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: với $y=\frac{u}{v}$ thì $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$. Ở đây $u=2x+1$, $u^{\prime }=2$; $v=3x+5$, $v^{\prime }=3$. Do đó $y^{\prime }=\frac{2(3x+5)-3(2x+1)}{(3x+5{)}^2}=\frac{6x+10-6x-3}{(3x+5{)}^2}=\frac{7}{(3x+5{)}^2}$. Kết quả trùng với đáp án A (khớp với bảng đáp án đề 0101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4^{x^2+3}$ có đạo hàm $y^{\prime }=(x^2+3{)}^{\prime }.\ln 4.4^{x^2+3}=2x.\ln 4.4^{x^2+3}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (đề 0101, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-5}{x-3}$, $x\ne 3$.

a) $y^{\prime }=\frac{2(x-3)-(2x-5)}{(x-3{)}^2}=\frac{-1}{(x-3{)}^2}$, nên $y^{\prime }(4)=\frac{-1}{(4-3{)}^2}=-1\ne -2$ → khẳng định a SAI.

b) Theo công thức trên $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-3{)}^2}$ → ĐÚNG.

d) $y^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{(x-3{)}^2}\right)=\frac{2}{(x-3{)}^3}$ → ĐÚNG.

c) Tiếp tuyến tại $x_0=a$ ($a\ne 3$): $y=\frac{-1}{(a-3{)}^2}(x-a)+\frac{2a-5}{a-3}$.
Giao với Ox: $x_A=a+(2a-5)(a-3)=2a^2-10a+15$; giao với Oy: $y_B=\frac{a+(2a-5)(a-3)}{(a-3{)}^2}=\frac{2a^2-11a+15}{(a-3{)}^2}$.
Đặt $t=a-3$ thì $x_A=2t^2+2t+3$ (luôn dương) và $y_B=\frac{2t^2+t}{t^2}=\frac{2t+1}{t}$.
Tam giác $OAB$ cân tại $O$ khi $|x_A|=|y_B|$, tức $t(2t^2+2t+3)=\pm (2t+1)$, cho hai phương trình $2t^3+2t^2+t-1=0$ và $2t^3+2t^2+5t+1=0$. Đạo hàm lần lượt $6t^2+4t+1>0$ và $6t^2+4t+5>0$ nên cả hai đồng biến trên $\mathbb{R}$, mỗi phương trình có đúng một nghiệm thực; các nghiệm này không làm $y_B=0$ (kiểm tra $t=-\frac{1}{2}$ không phải nghiệm) và cho hai tiếp tuyến phân biệt. Vậy có đúng hai tiếp tuyến thỏa mãn → c ĐÚNG.

Kết quả: a SAI, b ĐÚNG, c ĐÚNG, d ĐÚNG, khớp đáp án nguồn (1a S, 1b D, 1c D, 1d D). Lưu ý: báo cáo trước cho rằng $y_B$ tính sai là nhầm; thực tế $y_B=\frac{2t+1}{t}$ là đúng vì $2a^2-11a+15=2t^2+t$ với $a=t+3$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-1}{(x-3{)}^2}$ nên $y^{\prime }(4)=-1\ne -2$ → SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x-3)-(2x-5)}{(x-3{)}^2}=\frac{-1}{(x-3{)}^2}$ → ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $t=a-3$: $x_A=2t^2+2t+3$, $y_B=\frac{2t+1}{t}$. Điều kiện cân tại $O$: $t(2t^2+2t+3)=\pm (2t+1)$; hai phương trình bậc ba $2t^3+2t^2+t-1=0$ và $2t^3+2t^2+5t+1=0$ đều đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên mỗi cái có đúng một nghiệm → đúng hai tiếp tuyến → ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime \prime }=\frac{2}{(x-3{)}^3}$ → ĐÚNG.

Giải:

a) Ta có: $y^{\prime }=5x^4+\frac{7}{2\sqrt{7x-2}}$

b) Ta có:
$y^{\prime }=2x-4\Rightarrow y^{\prime }(1)=-2$.
PT tiếp tuyến cần tìm là: $y=-2(x-1)-4=-2x-2$

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: $(x^{10}{)}^{\prime }=10x^9\ne 10x$ nên A sai; $(7x{)}^{\prime }=7$ đúng nên B đúng; $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x\ne -\cos x$ nên C sai; $(2^x{)}^{\prime }=2^x\ln 2\ne 2^{x-1}$ nên D sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: $(x^{10}{)}^{\prime }=10x^9$ đúng; $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ đúng; $(5x{)}^{\prime }=5$ đúng; còn $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$, nên khẳng định $(\cos x{)}^{\prime }=\sin x$ là sai. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+3}{x-1}$. a) Điều kiện $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ → đúng. b) $y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}$, không phải $\frac{4}{(x-1{)}^2}$ → sai. c) Tại $x=2$: $y^{\prime }(2)=\frac{-4}{(2-1{)}^2}=-4$, vậy hệ số góc $k=-4$ → đúng. d) Tiếp tuyến song song với $(d):y=-4x+15$ nên $y^{\prime }=-4\Rightarrow \frac{-4}{(x-1{)}^2}=-4\Rightarrow (x-1{)}^2=1\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Với $x=0$: $y=-3$, điểm $A(0;-3)$; với $x=2$: $y=5$, điểm $B(2;5)$. $AB=\sqrt{(2-0{)}^2+(5+3{)}^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$ → đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: 1a Đúng, 1b Sai, 1c Đúng, 1d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$, nên tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x-1)-(x+3)}{(x-1{)}^2}=\frac{-4}{(x-1{)}^2}$, mệnh đề đưa $y^{\prime }=\frac{4}{(x-1{)}^2}$ là sai dấu.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(2)=\frac{-4}{(2-1{)}^2}=-4$, nên hệ số góc của tiếp tuyến tại $x=2$ là $k=-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-4\Rightarrow (x-1{)}^2=1\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$, cho $A(0;-3)$, $B(2;5)$; $AB=\sqrt{4+64}=2\sqrt{17}$.

Giải:
a) Ta có: $y^{\prime }=4x^3+\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$

b) Ta có:
$y^{\prime }=2x-3\Rightarrow y^{\prime }(2)=1$.
PT tiếp tuyến cần tìm là: $y=1(x-2)+3=x+1$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\cos 3x+2x$, nên $y^{\prime }=-\sin 3x\cdot (3x{)}^{\prime }+(2x{)}^{\prime }=-3\sin 3x+2$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{2x^2-3}{x-1}$, theo quy tắc thương: $y^{\prime }=\frac{4x(x-1)-(2x^2-3)}{(x-1{)}^2}=\frac{4x^2-4x-2x^2+3}{(x-1{)}^2}=\frac{2x^2-4x+3}{(x-1{)}^2}$. Vậy $a=2,b=-4,c=3$, suy ra $T=a+b+c=2-4+3=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 17 = 1).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=6x$. Tại $x=2$: $y^{\prime }(2)=6\cdot 2=12$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin 2x+x$. Đạo hàm: $(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$ (quy tắc chuỗi với $u=2x$, $u^{\prime }=2$) và $(x{)}^{\prime }=1$. Vậy $y^{\prime }=2\cos 2x+1$, khớp với đáp án A (đáp án trong bảng mã đề 1101 cũng là A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{2x-1}{x+1}$, TXĐ $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) $f^{\prime }(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ trên tập xác định của hàm số. Khớp với đề bài → Đúng.

b) Vì $f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, tập nghiệm của $y^{\prime }>0$ là $S=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \varnothing$ → Sai.

c) $A(0;-1)\in (C)$ vì $f(0)=-1$. Hệ số góc tiếp tuyến: $f^{\prime }(0)=\frac{3}{1}=3$. Phương trình tiếp tuyến: $y=3(x-0)-1=3x-1\ne 3x+1$ → Sai.

d) Với mọi $x\ne -1$ ta có $f^{\prime }(x)=3$, nên tại mọi điểm thuộc $(C)$ tiếp tuyến đều có hệ số góc bằng 3; do đó tồn tại hai điểm phân biệt (ví dụ $x=0$ và $x=1$) thỏa mãn → Đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — trùng khớp đáp án chính thức mã đề 1101 (DSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$ trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên $S=\mathbb{R}\setminus \{-1\}\ne \varnothing$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=-1$, $f^{\prime }(0)=3$, tiếp tuyến là $y=3x-1$, không phải $y=3x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3$ với mọi $x\ne -1$, nên có vô số (do đó có hai) điểm phân biệt trên $(C)$ có tiếp tuyến với hệ số góc 3.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$. Áp dụng quy tắc thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x+2)\cdot 1}{(x+1{)}^2}$. Tử số: $(2x+2)(x+1)=2x^2+4x+2$; trừ đi $x^2+2x+2$ ta được $x^2+2x$. Vậy $y^{\prime }=\frac{x^2+2x+0}{(x+1{)}^2}$, tức $a=1,b=2,c=0$. Do đó $T=a+2b+3c=1+4+0=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 21: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2x+3$ có đạo hàm $y^{\prime }=2$ với mọi $x$, nên tại $x=4$ đạo hàm bằng $2$. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 1101.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+2}$ xác định tại $x_0=-1$ vì $-1+2=1\ne 0$. Theo quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(x-1{)}^{\prime }(x+2)-(x-1)(x+2{)}^{\prime }}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+2)-(x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{3}{(x+2{)}^2}$. Tại $x_0=-1$: $y^{\prime }(-1)=\frac{3}{(-1+2{)}^2}=\frac{3}{1}=3$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: B).

Đáp án theo bảng đáp án nguồn trang 8, mã đề 102, dòng 1: DSDD (a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng).
a) Đúng. $f^{\prime }(x)=3x^2+6x$.
b) Sai. $f^{\prime \prime }(x)=6x+6$, không phải $-6x+6$.
c) Đúng. $f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Với $x_1=0>x_2=-2$: $2x_1-3x_2=0-3(-2)=6$.
d) Đúng. $M(-1;1)\in (C)$ vì $f(-1)=-1+3-1=1$; $f^{\prime }(-1)=3-6=-3$. Tiếp tuyến: $y=f^{\prime }(-1)(x+1)+1=-3(x+1)+1=-3x-2$.