Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

Áp dụng công thức đạo hàm hàm số mũ: $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a\Rightarrow (2^x{)}^{\prime }=2^x\ln 2$.
Chọn đáp án (A).

a) Đạo hàm từng số hạng ta được $f^{\prime }(x)=3x^2+4x-7$.
b) Thay $x=0$ vào $f^{\prime }(x)$ ta được $f^{\prime }(0)=-7\ne 7$.
c) Đạo hàm là $f^{\prime }(x)=3x^2+4x-7<0\iff -\frac{7}{3}<x<1$.
d) Hệ số góc tiếp tuyến tại $x=2$ là $k=f^{\prime }(2)=3(2{)}^2+4(2)-7=13$. Phương trình tiếp tuyến là: $y-4=13(x-2)\iff y=13x-22$.
Chọn đáp án [a đúng | b sai | c sai | d đúng].
a) Đạo hàm từng số hạng ta được $f^{\prime }(x)=3x^2+4x-7$.
b) Thay $x=0$ vào $f^{\prime }(x)$ ta được $f^{\prime }(0)=-7\ne 7$.
c) Đạo hàm là $f^{\prime }(x)=3x^2+4x-7<0\iff -\frac{7}{3}<x<1$.
d) Hệ số góc tiếp tuyến tại $x=2$ là $k=f^{\prime }(2)=3(2{)}^2+4(2)-7=13$. Phương trình tiếp tuyến là: $y-4=13(x-2)\iff y=13x-22$.

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }$:
$$y^{\prime }=\frac{(\sqrt{x}{)}^{\prime }(x+1)-\sqrt{x}(x+1{)}^{\prime }}{(x+1{)}^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1{)}^2}=\frac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1{)}^2}=\frac{-x+1}{2\sqrt{x}(x+1{)}^2}$$
Đồng nhất hệ số với dạng bài cho ta tìm được $a=-1$ và $b=1$. Do đó: $a+b=-1+1=0$.

a) Áp dụng quy tắc đạo hàm tích $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$:
$$y^{\prime }=(x+1{)}^{\prime }\cos x+(x+1)(\cos x{)}^{\prime }=1\cdot \cos x+(x+1)(-\sin x)=\cos x-(x+1)\sin x$$
b) Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp $(e^u{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot e^u$:
$$y^{\prime }=(x^2+1{)}^{\prime }\cdot e^{x^2+1}=2x\cdot e^{x^2+1}$$

a) Áp dụng công thức đạo hàm hàm logarit tự nhiên hợp $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$:
$$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1{)}^{\prime }}{2x-1}=\frac{2}{2x-1}$$
b) Tại $x_0=1\Rightarrow y_0=\ln (2\cdot 1-1)=\ln (1)=0$.
Hệ số góc của tiếp tuyến là: $k=f^{\prime }(1)=\frac{2}{2\cdot 1-1}=2$.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1;0)$ có dạng: $y-0=2(x-1)\iff y=2x-2$.

Theo quy tắc tính đạo hàm của một thương: ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$.
Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ với $n=4$: $y^{\prime }=(x^4{)}^{\prime }=4x^3$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-1{)}^{\prime }{\mathrm{e}}^x+(2x-1)({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }=2{\mathrm{e}}^x+(2x-1){\mathrm{e}}^x=(2x+1){\mathrm{e}}^x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đạo hàm: y' = 3x^2 - 6mx + (m^2 - 1). Đúng.
b) Với m = 2: y' = 3x^2 - 12x + 3, tại x_0 = 1: y'(1) = 3 - 12 + 3 = -6 ≠ 6. Sai.
c) Với m = 2: y = x^3 - 6x^2 + 3x + 2. Tại x = 0: y(0) = 2, y'(0) = 3, tiếp tuyến: y = 3x + 2. Đúng.
d) Tiếp tuyến vuông góc với d: y = -1/3 x + 1 phải có hệ số góc bằng 3. Giải y' = 3: 3x^2 - 12x + 3 = 3 ⟺ x^2 - 4x = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 4. Tại x = 0: y = 2, tiếp tuyến y = 3x + 2. Tại x = 4: y = 64 - 96 + 12 + 2 = -18, tiếp tuyến y = 3(x - 4) - 18 = 3x - 30. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
y' = 3x^2 - 6mx + (m^2 - 1) theo quy tắc đạo hàm của đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với m = 2: y' = 3x^2 - 12x + 3, y'(1) = 3 - 12 + 3 = -6 ≠ 6.
c) (AI giải đề cho tôi)
m = 2: y = x^3 - 6x^2 + 3x + 2; y(0) = 2, y'(0) = 3 nên tiếp tuyến là y = 3x + 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc cần bằng 3: 3x^2 - 12x + 3 = 3 ⟺ x = 0 hoặc x = 4, cho tiếp tuyến y = 3x + 2 và y = 3x - 30.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đạo hàm: y' = 3x^2 - 6x + m^2. Đúng.
b) Với m=2: y' = 3x^2 - 6x + 4; y'(1) = 3 - 6 + 4 = 1. Đúng.
c) Với m=2: y(2) = 8 - 12 + 8 + 2 = 6 nên M(2;6) thuộc đồ thị; y'(2) = 12 - 12 + 4 = 4. Tiếp tuyến: y = 4(x-2)+6 = 4x - 2. Đúng.
d) Tiếp tuyến vuông góc với y = -1/4 x + 2 phải có hệ số góc 4: 3x^2 - 6x + 4 = 4 ⟺ 3x^2 - 6x = 0 ⟺ x = 0 hoặc x = 2. Với x=0: y(0)=2, tiếp tuyến y = 4x + 2 (không phải y = 4x + 1). Với x=2: y = 4x - 2. Vậy khẳng định y = 4x + 1 là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
y' = 3x^2 - 6x + m^2.
b) (AI giải đề cho tôi)
m=2: y'(1) = 3 - 6 + 4 = 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
M(2;6) thuộc đồ thị, y'(2)=4, tiếp tuyến y = 4x - 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải 3x^2 - 6x + 4 = 4 được x = 0 hoặc x = 2; tiếp tuyến tại x=0 là y = 4x + 2, không phải y = 4x + 1.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-1{)}^{\prime }{e}^x+(2x-1)(e^x{)}^{\prime }=2e^x+(2x-1)e^x=(2x+1)e^x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4$ có đạo hàm theo công thức $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, nên $y^{\prime }=4x^3$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) y' = x^2 - 2(m+1)x + 3, đúng. b) Với m=1: y' = x^2 - 4x + 3, tại x=0: y'=3, đúng. c) Với m=1: y(1) = 1/3 - 4 + 3 + 1 = 1/3, y'(1) = 1 - 4 + 3 = 0, tiếp tuyến là y = 1/3 (hoành độ tiếp điểm 1, hệ số góc 0), không phải y = x + 1, sai. d) y' = -1: x^2 - 4x + 3 = -1 => (x-2)^2 = 0 => x = 2; y(2) = 8/3 - 8 + 6 + 1 = 5/3; tiếp tuyến: y = -(x-2) + 5/3 = -x + 11/3, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
y' = x^2 - 2(m+1)x + 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
m=1: y' = x^2 - 4x + 3, y'(0) = 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
y(1) = 1/3, y'(1) = 0 nên tiếp tuyến là y = 1/3, không phải y = x + 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
x^2 - 4x + 3 = -1 => x = 2, y(2) = 5/3, tiếp tuyến y = -x + 11/3.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-1{)}^{\prime }{\mathrm{e}}^x+(2x-1)({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }=2{\mathrm{e}}^x+(2x-1){\mathrm{e}}^x=(2x+1){\mathrm{e}}^x$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ với $n=4$: $y^{\prime }=(x^4{)}^{\prime }=4x^3$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức đạo hàm $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ với $n=4$, ta được $y^{\prime }=(x^4{)}^{\prime }=4x^3$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-6mx+3$ — đúng. b) Với $m=1$: $y^{\prime }(2)=3(4)-6(2)+3=3\ne 5$ — sai. c) Với $m=1$, tại $x=0$: $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=3$, tiếp tuyến $y=3x+1$ — đúng. d) Tiếp tuyến song song $y=3x+2026$ cần $y^{\prime }=3$: $3x^2-6x+3=3\iff x=0$ hoặc $x=2$. Tại $x=0$: $y=3x+1$; tại $x=2$: $y(2)=3$, $y^{\prime }(2)=3$ nên tiếp tuyến là $y=3x-3$, không phải $y=3x-1$ — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6mx+3$ theo quy tắc đạo hàm của đa thức.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$: $y^{\prime }(2)=3\cdot 4-6\cdot 2+3=3\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=3$ nên tiếp tuyến là $y=3x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3\iff x=0$ hoặc $x=2$. Tiếp tuyến tại $x=2$ là $y=3x-3$ (vì $y(2)=3$), không phải $y=3x-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tích: $y^{\prime }=(2x-1{)}^{\prime }{\mathrm{e}}^x+(2x-1)({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }=2{\mathrm{e}}^x+(2x-1){\mathrm{e}}^x=(2x+1){\mathrm{e}}^x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm mũ $7^{u(x)}$ xác định với mọi $x$ thực nên $D=\mathbb{R}$: đúng.
b) $f^{\prime }(x)=7^{x^3-x^2-x-1}\cdot \ln 7\cdot (3x^2-2x-1)$: đúng.
c) $f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-2x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{3}$. Dấu của $f^{\prime }$: dương trên $(-\infty ;-\frac{1}{3})$, âm trên $(-\frac{1}{3};1)$, dương trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=-\frac{1}{3}$ và cực tiểu tại $x=1$, không phải cực đại tại $x=1$: sai.
d) Xét $g(x)=f(e^x)$, $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(e^x)\cdot e^x$. Vì $e^x>0$, dấu của $g^{\prime }$ theo dấu của $f^{\prime }(t)$ với $t=e^x>0$. Với $t>0$: $f^{\prime }(t)<0$ khi $t\in (0;1)$ tức $x<0$, và $f^{\prime }(t)>0$ khi $t>1$ tức $x>0$. Vậy $g$ nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty )$, đạt cực tiểu tại $x=0$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ với cơ số $7>0$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: $f^{\prime }(x)=7^{x^3-x^2-x-1}\cdot \ln 7\cdot (3x^2-2x-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-\frac{1}{3}$ và $x=1$; $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm tại $x=-\frac{1}{3}$ (cực đại) và từ âm sang dương tại $x=1$ (cực tiểu). Vậy hàm đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $g(x)=f(e^x)$: $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(e^x)e^x$ âm khi $x<0$ (vì $0<e^x<1$ nằm trong khoảng $(-\frac{1}{3};1)$ nơi $f^{\prime }<0$) và dương khi $x>0$, nên $g$ đạt cực tiểu tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=4^{x^2+3}$. Áp dụng công thức đạo hàm hàm mũ với hàm mũ là hàm hợp: $y^{\prime }=4^u\cdot u^{\prime }\cdot \ln 4$ với $u=x^2+3$, $u^{\prime }=2x$. Vậy $y^{\prime }=2x\cdot \ln 4\cdot 4^{x^2+3}$. Đây chính là đáp án D, khớp với đáp án nguồn (đề 0103, câu 10: D).