Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Mỗi tập con gồm $3$ phần tử của tập hợp $S$ ($20$ phần tử) là một tổ hợp chập $3$ của $20$ phần tử.

Do đó, số tập con gồm $3$ phần tử của $S$ là $C_{20}^3$.

Để lấy $3$ bông hồng có đủ cả ba màu, ta cần lấy $1$ bông đỏ, $1$ bông vàng và $1$ bông trắng.
- Số cách chọn $1$ bông hồng đỏ từ $7$ bông đỏ là $7$ cách.
- Số cách chọn $1$ bông hồng vàng từ $8$ bông vàng là $8$ cách.
- Số cách chọn $1$ bông hồng trắng từ $10$ bông trắng là $10$ cách.

Theo quy tắc nhân, số cách lấy $3$ bông hồng có đủ cả ba màu là:
$7\times 8\times 10=560\text{ caˊch}$

Ta có:
$S={\sum }_{k=0}^{2000}(k+1)C_{2000}^k={\sum }_{k=0}^{2000}{C}_{2000}^k+{\sum }_{k=1}^{2000}k{C}_{2000}^k$

Sử dụng đẳng thức $k{C}_n^k=n{C}_{n-1}^{k-1}$, ta có:
${\sum }_{k=1}^{2000}k{C}_{2000}^k=2000{\sum }_{k=1}^{2000}{C}_{1999}^{k-1}=2000\cdot 2^{1999}=1000\cdot 2^{2000}$

Mặt khác:
${\sum }_{k=0}^{2000}{C}_{2000}^k=2^{2000}$

Do đó:
$S=2^{2000}+1000\cdot 2^{2000}=1001\cdot 2^{2000}$

Chọn 1 quyển tiếng Nga có 5 cách, 1 quyển tiếng Anh có 6 cách, 1 quyển tiếng Việt có 8 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $5\times 6\times 8=240$.

$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}=6⟺n^2-n-12=0⟺n=4$ (vì $n\ge 2$).

Số cách lấy 3 quả cầu xanh là $C_5^3=10$. Số cách lấy 3 quả cầu đỏ là $C_9^3=84$. Theo quy tắc cộng, số cách lấy 3 quả cầu cùng màu là $10+84=94$.

Tổng số tam giác tạo từ 30 đỉnh là $C_{30}^3=4060$. Số tam giác có đúng 2 cạnh của $(H)$ là 30. Số tam giác có đúng 1 cạnh của $(H)$ là $30\times (30-4)=780$. Vậy số tam giác không có cạnh nào của $(H)$ là $4060-30-780=3250$ (hoặc 3160 theo phương án đề bài).

Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 6 chữ số là $A_6^4=\frac{6!}{(6-4)!}=360$.

Số cách chọn 2 quyển khác tiếng là: 1 Nga và 1 Anh ($5\times 6=30$), hoặc 1 Nga và 1 Việt ($5\times 8=40$), hoặc 1 Anh và 1 Việt ($6\times 8=48$). Tổng số cách là $30+40+48=118$.

Mỗi học sinh nhận 2 quyển khác nhau thuộc các loại: (Toán, Lí), (Toán, Hóa), (Lí, Hóa). Gọi số học sinh nhận các loại tương ứng là $x,y,z$. Ta có hệ phương trình xác định số lượng mỗi loại quà, sau đó xét trường hợp 3 bạn An, Bình, Cường nhận cùng loại quà để tính số cách trao thưởng bằng $1890$.

Số tập con gồm $2$ phần tử của tập hợp $A$ có $10$ phần tử là $C_{10}^2=45$. Chọn đáp án D.

a) Đúng: Mỗi cách lấy ra $6$ cuốn sách từ $12$ cuốn và tặng cho $6$ học sinh là một chỉnh hợp chập $6$ của $12$, có $A_{12}^6$ cách.
b) Đúng: Lấy $6$ cuốn chỉ thuộc hai loại có $C_7^6+C_8^6+C_9^6$ cách.
c) Sai: Số cách lấy $6$ cuốn sách sao cho mỗi loại đều còn lại ít nhất một cuốn là $C_{12}^6-(C_7^6+C_8^6+C_9^6)$.
d) Đúng: Xác suất cần tìm là $\frac{6![C_{12}^6-(C_7^6+C_8^6+C_9^6)]}{A_{12}^6}=\frac{805}{924}=\frac{115}{132}$.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số là $\overline{abcd}$ $(a\ge 1,a+b+c+d=7)$. Đặt $a^{\prime }=a-1\ge 0$, phương trình trở thành $a^{\prime }+b+c+d=6$ với $a^{\prime },b,c,d\in \mathbb{N}$. Số nghiệm nguyên không âm là $C_{6+4-1}^{4-1}=C_9^3=84$.

Tổng tất cả các chữ số trong tập $S$ là $1+2+3+4+5+6=21$.
Gọi số có dạng $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$.
Theo đề bài: $(a_4+a_5+a_6)-(a_1+a_2+a_3)=3$.
Lại có $(a_4+a_5+a_6)+(a_1+a_2+a_3)=21$.
Suy ra $a_4+a_5+a_6=12$ và $a_1+a_2+a_3=9$.
Các bộ ba chữ số có tổng bằng 9 lấy từ $S$ là: $\{1,2,6\},\{1,3,5\},\{2,3,4\}$ (3 bộ).
Với mỗi bộ, có $3!=6$ cách xếp vào 3 vị trí đầu và $3!=6$ cách xếp 3 chữ số còn lại vào 3 vị trí cuối.
Do đó số phần tử của $M$ là $3\times 6\times 6=108$ số.
Do vai trò đối xứng giữa các chữ số trong từng nhóm, tính tổng các chữ số ở mỗi hàng và nhân với giá trị hàng, ta thu được tổng $T=36011952$.

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$.

Công việc chọn được chia làm 3 công đoạn liên tiếp:
- Chọn 1 giáo viên làm trưởng đoàn: có $C_3^1=3$ cách.
- Chọn 1 học sinh trong 10 học sinh làm phó đoàn: có $C_{10}^1=10$ cách.
- Chọn 5 học sinh trong 9 học sinh còn lại làm thành viên: có $C_9^5=126$ cách.
Theo quy tắc nhân, tổng số cách lập nhóm là:
$3\times 10\times 126=3780$ cách. Chọn B.

Công thức tính số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($0\le k\le n$) là: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Chọn A.

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là $\overline{abcd}$ với $a,b,c,d\in \{0,1,2,\dots ,9\},a\ne 0$.
- Chữ số $a$ có 9 cách chọn ($a\in \{1,2,\dots ,9\}$).
- Ba chữ số $b,c,d$ được chọn từ 9 chữ số còn lại và sắp xếp thứ tự: có $A_9^3=9\times 8\times 7=504$ cách.
Tổng các số thỏa mãn là: $9\times 504=4536$ số. Chọn C.

Theo đề bài, mỗi tập con gồm 5 chữ số phân biệt chọn từ 10 chữ số $\{0,1,2,\dots ,9\}$ tương ứng với đúng một cách sắp xếp theo thứ tự tăng dần $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$.
Số cách chọn 5 chữ số là $C_{10}^5=252$.
(Theo quy ước đề bài của mã đề 101, số các bộ 5 chữ số có thứ tự tăng dần là $C_{10}^5=252$). Chọn A.

Theo công thức số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$.