Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Ta có $15^9=3^9\cdot 5^9=x\cdot y\cdot z$ với $x=3^{a_1}{5}^{b_1},y=3^{a_2}{5}^{b_2},z=3^{a_3}{5}^{b_3}$ ($a_1+a_2+a_3=9,b_1+b_2+b_3=9$). Số nghiệm nguyên không âm của phương trình $u_1+u_2+u_3=9$ là $C_{11}^2=55$, nên có $55^2=3025$ bộ có thứ tự $(x,y,z)$. Trong đó có $1$ bộ mà $x=y=z$ ($a_i=b_i=3$) và $3\cdot (5\cdot 5-1)=72$ bộ có đúng hai số bằng nhau. Do đó số bộ ba số phân biệt không kể thứ tự là $\frac{3025-1-72}{6}=492$. Cộng thêm $1$ bộ ba số bằng nhau và $\frac{72}{3}=24$ bộ có hai số bằng nhau, ta được $492+1+24=517$ cách. Chọn đáp án A.

Gọi số cần lập có dạng $\overline{abcd}$.
- Trường hợp 1: Chữ số lặp lại là chữ số 0. Chữ số 0 không thể đứng ở vị trí đầu tiên ($a\ne 0$). Có $C_3^2=3$ cách chọn 2 vị trí cho chữ số 0 trong 3 vị trí $\{b,c,d\}$. Chọn 2 chữ số khác nhau từ 9 chữ số còn lại $\{1,2,\dots ,9\}$ xếp vào 2 vị trí còn lại có $A_9^2=72$ cách. Số các số là: $3\times 72=216$ số.
- Trường hợp 2: Chữ số lặp lại là một chữ số khác 0 (có 9 cách chọn chữ số lặp lại). Chọn 2 vị trí trong 4 vị trí cho chữ số này có $C_4^2=6$ cách. Chọn 2 chữ số phân biệt khác chữ số lặp lại từ 9 chữ số còn lại có $A_9^2=72$ cách. Tổng số cách xếp là $9\times 6\times 72=3888$. Tuy nhiên, nếu chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên thì ta trừ đi trường hợp $a=0$: chữ số lặp lại phải khác 0 (9 cách), chọn 2 vị trí trong 3 vị trí $\{b,c,d\}$ cho chữ số lặp lại có $C_3^2=3$ cách, chọn 1 chữ số còn lại từ 8 chữ số khác 0 và khác chữ số lặp lại có 8 cách, tổng số trường hợp có $a=0$ là $9\times 3\times 8=216$. Do đó số các số là $3888-216=3672$ số.
Tổng số các số thỏa mãn đề bài là: $216+3672=3888$ số.

Công thức đúng của số tổ hợp là $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Do đó công thức ở phương án D thiếu $k!$ ở mẫu số, nên mệnh đề D là sai.

Theo định nghĩa số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử:
$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}.$

Điều kiện: $n\ge 3,n\in \mathbb{N}$.
Ta có:
- $A_{2n}^2=2n(2n-1)=4n^2-2n$.
- $A_n^2=n(n-1)=n^2-n$.
- $C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}⟹\frac{12}{n}{C}_n^3=2(n-1)(n-2)=2(n^2-3n+2)=2n^2-6n+4$.
Bất phương trình trở thành:
$(4n^2-2n)-2(n^2-n)\le (2n^2-6n+4)+20$
$⟺2n^2\le 2n^2-6n+24⟺6n\le 24⟺n\le 4$.
Kết hợp với điều kiện $n\ge 3,n\in \mathbb{N}$, ta có $n\in \{3;4\}$, gồm đúng 2 số tự nhiên. Chọn C.

Tổng số viên bi trong hộp là $6+5=11$ viên bi.
Số cách chọn ngẫu nhiên 5 viên bi từ 11 viên bi là tổ hợp chập 5 của 11 phần tử:
$C_{11}^5=\frac{11!}{5!6!}=462\text{ caˊch}$. Chọn C.

Mỗi tập con gồm 3 phần tử của tập hợp 10 phần tử là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử, số tập con là $C_{10}^3$.

Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abc}$ ($a,b,c\in \{0,1,\dots ,9\},a\ne 0$).
- Chữ số $a$ có 9 cách chọn ($a\in \{1,2,\dots ,9\}$).
- Chữ số $b$ có 9 cách chọn ($b\ne a$).
- Chữ số $c$ có 8 cách chọn ($c\ne a,c\ne b$).
Số các số thỏa mãn là $9\times 9\times 8=648$.

Mỗi cách sắp xếp 7 môn học cho 7 ngày là một hoán vị của 7 phần tử. Do đó số cách sắp xếp là $7!$.

Theo tính chất cơ bản của tổ hợp: $C_n^k=C_n^{n-k}$ với mọi $0\le k\le n$.

Điều kiện $n\in \mathbb{N},n\ge 2$. Phương trình tương đương $(P_n-6)(A_n^2-12)=0⟺\left[\begin{array}{c}n!=6\\ n(n-1)=12\end{array}\right]⟺\left[\begin{array}{c}n=3\\ n=4\end{array}\right]$.

Chọn D.
Số cách chọn ngẫu nhiên 4 bông hoa từ 20 bông là $C_{20}^4=4845$.
Số cách chọn bó hoa không đủ ba màu:
- Trường hợp chỉ có 1 màu: $C_8^4+C_7^4+C_5^4=70+35+5=110$.
- Trường hợp chỉ có 2 màu:
+ Chỉ đỏ và vàng: $C_{15}^4-(C_8^4+C_7^4)=1365-105=1260$.
+ Chỉ đỏ và trắng: $C_{13}^4-(C_8^4+C_5^4)=715-75=640$.
+ Chỉ vàng và trắng: $C_{12}^4-(C_7^4+C_5^4)=495-40=455$.
Tổng số cách chọn bó hoa không đủ ba màu là: $110+1260+640+455=2465$.
Số cách chọn bó hoa có đủ ba màu là: $4845-2465=2380$ cách.

Tổ có $6$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ. Chọn $3$ học sinh nam có $C_6^3$ cách, chọn $3$ học sinh nữ có $C_4^3$ cách. Theo quy tắc nhân có $C_6^3\cdot C_4^3$ cách. Chọn đáp án B.

Từ $C_{18}^n=C_{18}^{n+2}$ suy ra $n+(n+2)=18⟺n=8$. Khi đó $C_8^5=56$. Chọn đáp án B.

Số có $7$ chữ số khác nhau luôn có mặt chữ số $1$ và $2$: chọn thêm $5$ chữ số từ $8$ chữ số còn lại có $C_8^5$ cách, sắp xếp $7$ chữ số sao cho $1$ đứng trước $2$ có $\frac{7!}{2}$ cách, trừ đi trường hợp chữ số $0$ đứng đầu là $C_7^4\cdot \frac{6!}{2}$ cách. Vậy có $C_8^5\cdot \frac{7!}{2}-C_7^4\cdot \frac{6!}{2}=141120-12600=128520$ số. Chọn đáp án B.

Chọn A.
Chọn ra 2 học sinh từ một tổ có 10 học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử. Số cách chọn là $A_{10}^2$ cách.

Theo quy tắc nhân, số cách chọn thực đơn là $7\cdot 4\cdot 5=140$. Chọn C.


Đa giác đều có 20 đỉnh nội tiếp một đường tròn tâm $O$.
Số đường chéo đi qua tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp là $20:2=10$ đường chéo.
Cứ 2 đường chéo đi qua tâm tạo thành 1 hình chữ nhật có 4 đỉnh thuộc đa giác đều, do đó số hình chữ nhật tạo thành là $C_{10}^2=45$ hình (bao gồm cả hình vuông).
Số hình vuông tạo thành: một hình vuông có 4 đỉnh cách đều nhau trên đường tròn, mỗi hình vuông ứng với 2 đường chéo vuông góc đi qua tâm. Do đó số hình vuông là $20:4=5$ hình vuông.
Vậy số hình chữ nhật không phải là hình vuông là $45-5=40$ hình. Chọn C.

Mỗi số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ $9$ chữ số $1,2,\dots ,9$ là một chỉnh hợp chập $3$ của $9$ phần tử, nên có $A_9^3$ số. Chọn đáp án B.

Số chỉnh hợp chập 2 của $n$ phần tử là $A_n^2=\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1)$.