Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

Số hoán vị của tập hợp có 6 phần tử là $P_6=6!=720$. Chọn D.

Chọn A.
Mỗi cách chọn $3$ điểm không thẳng hàng trong $18$ điểm phân biệt tạo thành một tam giác, do đó số tam giác là $C_{18}^3$.

Theo công thức Pascal về tổ hợp, với $1\le k\le n$ ta có $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$.

Từ $1$ đến $20$ có $6$ số chia hết cho $3$, $7$ số chia $3$ dư $1$ và $7$ số chia $3$ dư $2$. Số cách chọn $3$ viên bi có tổng chia hết cho $3$ là $C_6^3+C_7^3+C_7^3+6\cdot 7\cdot 7=20+35+35+294=384$.

Chọn D.
Gọi 3 tiết mục văn nghệ là $T_1,T_2,T_3$.
Mỗi học sinh đều tham gia và chỉ đăng ký không quá 2 tiết mục, nghĩa là mỗi học sinh đăng ký đúng 1 tiết mục hoặc đúng 2 tiết mục.
- Số cách chọn 1 tiết mục: $C_3^1=3$ cách.
- Số cách chọn 2 tiết mục: $C_3^2=3$ cách.
Vậy mỗi học sinh có $3+3=6$ cách lựa chọn tiết mục tham gia.
Vì lớp 12A có 44 học sinh, theo quy tắc nhân số cách để cả lớp lựa chọn là:
$6\times 6\times \cdots \times 6=6^{44}$ cách.

Số cách xếp $8$ học sinh thành một hàng dọc là số hoán vị của $8$ phần tử: $P_8=8!$. Chọn B.

Công thức số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Chọn C.

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$. Chọn B.

Tổng số học sinh trong tổ là $5+7=12$. Số cách chọn $4$ học sinh bất kỳ từ $12$ học sinh là $C_{12}^4$.

Tổng số học sinh của nhóm là $5+7=12$. Số cách chọn $4$ học sinh bất kỳ từ $12$ học sinh là $C_{12}^4$. Chọn D.

Để chọn một bộ quần áo gồm 1 áo và 1 quần: chọn 1 áo có 4 cách, chọn 1 quần có 3 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $4\times 3=12$ cách. Chọn B.

Chọn D.
Để chọn một cặp nam - nữ, ta thực hiện hai công đoạn liên tiếp:
- Chọn 1 học sinh nam: có 8 cách chọn.
- Chọn 1 học sinh nữ: có 6 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn một cặp nam - nữ là $8\cdot 6=48$ cách.

Chọn A.
Gọi số tự nhiên có ba chữ số là $\overline{abc}$.
Các chữ số $a,b,c$ được chọn từ tập hợp $\{1;2;3;4;5\}$ (chữ số có thể lặp lại):
- Có 5 cách chọn chữ số $a$.
- Có 5 cách chọn chữ số $b$.
- Có 5 cách chọn chữ số $c$.
Theo quy tắc nhân, số các số tự nhiên lập được là $5\cdot 5\cdot 5=5^3=125$ số.

Chọn B.
Điều kiện: $n\in \mathbb{N},n\ge 3$.
Phương trình tương đương:
$\frac{n!}{(n-3)!}=20n⟺n(n-1)(n-2)=20n.$
Vì $n\ge 3>0$, chia cả hai vế cho $n$ ta được:
$(n-1)(n-2)=20⟺n^2-3n-18=0⟺[<table><tbody><tr><td>n=6\text{(nhận)}</td></tr><tr><td>n=-3\text{(loại)}</td></tr></tbody></table>.$
Vậy nghiệm của phương trình là $n=6$.

Chọn A.
Chọn 2 học sinh từ 10 học sinh và phân công nhiệm vụ (tổ trưởng, tổ phó) là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử:
$A_{10}^2=\frac{10!}{(10-2)!}=10\cdot 9=90\text{caˊch}.$

Chọn C.
Tổng số điểm phân biệt là $5+7=12$ điểm.
Để tạo thành một tam giác từ 12 điểm này:
- Trường hợp 1: Chọn 1 điểm trên $d_1$ và 2 điểm trên $d_2$: có $C_5^1\cdot C_7^2=5\cdot 21=105$ tam giác.
- Trường hợp 2: Chọn 2 điểm trên $d_1$ và 1 điểm trên $d_2$: có $C_5^2\cdot C_7^1=10\cdot 7=70$ tam giác.
Tổng số tam giác tạo thành là $105+70=175$ tam giác.

Chọn A.
Gọi số cần tìm là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$ với $a_1\ne 0$ và các chữ số đôi một khác nhau.
Vì số là số chẵn nên chữ số tận cùng $a_5\in \{0;2;4;6\}$.
- Trường hợp 1: $a_5=0$.
Khi đó chọn 4 chữ số phân biệt $a_1,a_2,a_3,a_4$ từ tập $A\setminus \{0\}$ (gồm 7 chữ số) có $A_7^4=840$ cách.
- Trường hợp 2: $a_5\in \{2;4;6\}$ (có 3 cách chọn $a_5$).
+ Chữ số $a_1\ne 0$ và $a_1\ne a_5$: có $7-1=6$ cách chọn.
+ Chọn 3 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại: có $A_6^3=120$ cách.
Số cách chọn ở trường hợp này là $3\cdot 6\cdot 120=2160$ cách.
Tổng số các số chẵn thỏa mãn là $840+2160=3000$ số.

Chọn B.
Để đa giác đều $n$ đỉnh có hình chữ nhật thì $n$ phải là số chẵn, đặt $n=2k$ ($k\ge 2$).
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều là $k$.
Mỗi cặp đường chéo qua tâm xác định một hình chữ nhật, nên số hình chữ nhật là $C_k^2=\frac{k(k-1)}{2}=\frac{\frac{n}{2}\left(\frac{n}{2}-1\right)}{2}=\frac{n(n-2)}{8}$.
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là $C_n^3=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.
Theo đề bài ta có:
$\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=20\cdot \frac{n(n-2)}{8}⟺\frac{n-1}{6}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}⟺n-1=15⟺n=10\text{(hoặc theo giả thieˆˊt tương ứng)}.$
Vậy $n=10$.

Chọn C.
Đa giác đều có 20 cạnh thì có 20 đỉnh.
- Tổng số tam giác tạo thành từ 20 đỉnh là: $C_{20}^3=1140$ tam giác.
- Số tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác: bằng số đỉnh của đa giác, tức là 20 tam giác.
- Số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác: chọn 1 cạnh trong 20 cạnh có 20 cách. Đỉnh thứ ba không được trùng với 2 đỉnh của cạnh đó và 2 đỉnh liền kề với cạnh đó (bỏ đi 4 đỉnh), nên có $20-4=16$ cách chọn đỉnh thứ ba. Số tam giác là $20\cdot 16=320$ tam giác.
Vậy số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác là:
$1140-20-320=800\text{tam giaˊc}.$

Số tập con gồm 5 phần tử chọn từ 30 phần tử là một tổ hợp chập 5 của 30, tức $C_{30}^5$. Chọn C.