Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số hình chữ nhật (cạnh nằm trên đường kẻ) của lưới $5\times 5$ là ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)}^2=15^2=225$.

Số hình chữ nhật có diện tích $\le 2{\text{cm}}^2$: gồm $25$ hình $1\times 1$ và $40$ hình $1\times 2$ hoặc $2\times 1$ (mỗi loại $5\cdot 4=20$). Vậy số hình chữ nhật có diện tích lớn hơn $2{\text{cm}}^2$ là $225-25-40=160$.

Từ hình vẽ p5_f2: ô ★ là ô góc trên phải (hàng $1$, cột $5$). Vết dầu nằm ở giữa lưới, chạm toàn phần hoặc một phần mọi ô thuộc khối các ô ở hàng $2,3,4$ và cột $2,3,4,5$ (vết dầu chạm cả biên phải của lưới tại hàng giữa). Các ô không dính vết dầu là: toàn bộ hàng $1$ (gồm cả ô ★), toàn bộ hàng $5$, và toàn bộ cột $1$.

Một hình chữ nhật với khung hàng–cột $[r_1,r_2]\times [c_1,c_2]$ không dính vết dầu khi và chỉ khi khung của nó không giao với khối dính dầu (hàng $2$–$4$, cột $2$–$5$), tức là:
- Hàng chỉ là hàng $1$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ hình;
- Hàng chỉ là hàng $5$: $15$ hình;
- Cột chỉ là cột $1$ với khung hàng bất kỳ không thuộc hai trường hợp trên: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)-2=13$ hình.

Vậy số hình chữ nhật không dính vết dầu là $15+15+13=43$.

Số hình chữ nhật có diện tích lớn hơn $2{\text{cm}}^2$ và dính vết dầu là $160-43=117$, trùng đáp án chính thức (mã đề 101, Phần III, câu 5: 117).

Kết quả: $117$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng đồng nhất thức $\frac{k}{k+1}{C}_n^k=C_n^k-\frac{C_n^k}{k+1}$ và $\frac{C_n^k}{k+1}=\frac{C_{n+1}^{k+1}}{n+1}$. Với $n=2026$: $$S=\sum _{k=1}^{2026}{C}_{2026}^k-\frac{1}{2027}\sum _{k=1}^{2026}{C}_{2027}^{k+1}=\left(2^{2026}-1\right)-\frac{2^{2027}-1-2027}{2027}.$$ (Tổng ${\sum }_{j=2}^{2027}{C}_{2027}^j=2^{2027}-1-2027$.) Suy ra $$S=\frac{2027\cdot 2^{2026}-2027-2^{2027}+2028}{2027}=\frac{2025\cdot 2^{2026}+1}{2027}.$$ Kiểm tra phân số tối giản: $2027$ là số nguyên tố (không chia hết cho các nguyên tố $\le 43$), và $2025\cdot 2^{2026}+1\equiv 2026\not\equiv 0(\mathrm{mod}2027)$ (vì $2^{2026}\equiv \pm 1(\mathrm{mod}2027)$ do $2026=2\cdot 1013$ với $1013$ nguyên tố). Vậy $a=2025,b=2026,c=2027$, nên $P=c-b+a=2027-2026+2025=2026$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N=\overline{a_{11}{a}_{10}\dots a_0}$ là số thứ vị ($a_{11}\ne 0$, mọi chữ số $<9$). Khi tăng chữ số ở hàng $10^i$ thêm 1 đơn vị, số mới tăng thêm $10^i$. Gọi $S$ là tổng các $10^i$ tương ứng với các chữ số được tăng; khi đó số mới là $M=N+S$, với $M\ne N$ nên $S>0$, và $N\mid M$ nên $N\mid S$.
Mặt khác $S\le 1+10+\cdots +10^{11}=\frac{10^{12}-1}{9}=111111111111<2\cdot 10^{11}\le 2N$, nên $0<S<2N$, suy ra $S=N$.
Vì $S$ là tổng các lũy thừa $10^i$ phân biệt nên biểu diễn thập phân của $S$ chỉ gồm chữ số 0 và 1. Do $S=N$, số $N$ phải có tất cả các chữ số bằng 0 hoặc 1, chữ số đầu bằng 1. Khi đó tăng đúng các chữ số bằng 1, ta được $M=2N$ chia hết cho $N$ và khác $N$, thỏa mãn.
Vậy mỗi số thứ vị tương ứng với một cách chọn 11 chữ số còn lại (mỗi chữ số 0 hoặc 1), cho $2^{11}=2048$ số. Kết quả khớp với đáp số nguồn: 2048.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức bao hàm - loại trừ. Số người chỉ tham gia hai nhóm: chỉ $A$ và $B$ là $10-3=7$; chỉ $A$ và $C$ là $5-3=2$; chỉ $B$ và $C$ là $8-3=5$. Số người chỉ tham gia một nhóm: chỉ $A$: $50-7-2-3=38$; chỉ $B$: $40-7-5-3=25$; chỉ $C$: $30-2-5-3=20$. Tổng số người tham gia ít nhất một nhóm: $38+25+20+7+2+5+3=100$, nên số người không tham gia nhóm nào là $120-100=20$. a) Sai vì chỉ tham gia $A$ và $B$ là $7$ người (10 trừ 3 người cả ba nhóm). b) Sai vì chỉ tham gia $A$ là $38$ người. c) Đúng, chỉ tham gia $C$ là $20$ người. d) Đúng, $20$ người không tham gia nhóm nào.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số người chỉ tham gia nhóm $A$ và $B$ (không tham gia $C$) là $10-3=7$ người, không phải 10.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số người chỉ tham gia nhóm $A$ là $50-(10-3)-(5-3)-3=50-7-2-3=38$ người, không phải 25.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số người chỉ tham gia nhóm $C$ là $30-(5-3)-(8-3)-3=30-2-5-3=20$ người.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số người tham gia ít nhất một nhóm là $38+25+20+7+2+5+3=100$, nên số người không tham gia nhóm nào là $120-100=20$ người.

Số học sinh thích ít nhất một môn là $45-5=40$. Gọi $a,b$ lần lượt là số học sinh thích đúng một môn, thích đúng hai môn. Ta có $a+b+6=40\Rightarrow a+b=34$. Tổng số lượt thích ba môn là $23+21+18=62$, trong đó mỗi học sinh thích đúng một môn được tính một lần, thích đúng hai môn được tính hai lần, thích cả ba môn được tính ba lần. Suy ra $a+2b+3.6=62\Rightarrow a+2b=44$. Do đó $b=10$, $a=24$. Đáp án: 24.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: chọn nhóm 5 bạn (không xét thứ tự) là tổ hợp $C_{25}^5$, không phải $A_{25}^5$. b) Đúng: chọn 3 bạn có ít nhất một nam = tổng cách chọn 3 từ 25 trừ cách chọn cả 3 nữ: $C_{25}^3-C_{13}^3$. c) Đúng: xếp 25 học sinh thành hàng dọc là hoán vị $25!$. d) Sai: chọn 1 nam và 1 nữ làm lớp trưởng, lớp phó là hai chức vụ khác nhau nên phải nhân với $2!$: số cách là $C_{12}^1{C}_{13}^1\cdot 2!=312$, không phải $C_{12}^1{C}_{13}^1=156$. Khớp đáp án nguồn: SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn nhóm 5 bạn không kể thứ tự nên là $C_{25}^5$, không phải $A_{25}^5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Lấy tổng số cách chọn 3 bạn từ 25 trừ đi số cách chọn cả 3 nữ: $C_{25}^3-C_{13}^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 25 học sinh thành hàng dọc là hoán vị của 25 phần tử: $25!$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lớp trưởng và lớp phó là hai chức vụ khác nhau nên phải nhân thêm $2!$: số cách là $C_{12}^1{C}_{13}^1\cdot 2!=312$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì không có ba điểm nào thẳng hàng, mỗi cách chọn 3 trong 15 điểm cho đúng một tam giác. Số tam giác là $C_{15}^3=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{6}=455$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 2: A).

Hình thứ nhất có 1 ô. Từ hình thứ $k$ chuyển sang hình thứ $k+1$, ta thêm một lớp mới gồm $6k$ ô (lớp thứ hai có 6 ô, lớp thứ ba có 12 ô, ...).

Do đó $f(n)=1+6\left(1+2+...+(n-1)\right)=1+6.\frac{n(n-1)}{2}=3n(n-1)+1$.

Kiểm tra: $f(2)=7$, $f(3)=19$ (đúng với đề bài).

Vậy $f(30)=\mathrm{3.30.29}+1=2611$. Đáp số: $2611$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số quyển sách trên giá là $7+6+5=18$ quyển, đôi một khác nhau. Chọn 1 quyển từ 18 quyển có $C_{18}^1=18$ cách. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 3 nam, 5 nữ (8 học sinh).
a) Chọn 2 học sinh có cả nam và nữ: $C_3^1\cdot C_5^1=15$ cách → Đúng.
b) Chọn 3 học sinh có đúng 2 nam: $C_3^2\cdot C_5^1=3\cdot 5=15$ cách → Đúng.
c) Xác suất chọn được ít nhất 2 nam khi chọn ngẫu nhiên 3 học sinh: tổng số cách $C_8^3=56$; trường hợp thuận lợi: đúng 2 nam ($C_3^2{C}_5^1=15$) hoặc 3 nam ($C_3^3=1$), tức 16 cách. Vậy $P=\frac{16}{56}=\frac{2}{7}\ne \frac{1}{56}$ → Sai.
d) Xếp 8 học sinh thành hàng ngang, điều kiện giữa hai nam bất kỳ có ít nhất 2 nữ ⟺ vị trí 3 nam $p_1<p_2<p_3$ thỏa $p_2-p_1\ge 3$, $p_3-p_2\ge 3$. Đặt $q_1=p_1,q_2=p_2-2,q_3=p_3-4$ thì $1\le q_1<q_2<q_3\le 4$, có $C_4^3=4$ cách chọn vị trí. Tổng số cách chọn vị trí 3 nam là $C_8^3=56$. Xác suất $=\frac{4}{56}=\frac{1}{14}$ → Đúng. (Kết quả khớp đáp án nguồn: ĐĐSĐ.)
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_3^1\cdot C_5^1=15$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_3^2\cdot C_5^1=15$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_3^2{C}_5^1+C_3^3}{C_8^3}=\frac{16}{56}=\frac{2}{7}\ne \frac{1}{56}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn vị trí 3 nam thỏa khoảng cách ≥3 là $C_4^3=4$ trên tổng $C_8^3=56$, nên $P=\frac{1}{14}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn vị trí đầu và cuối hàng: có $A_3^2=3\cdot 2=6$ cách chọn và xếp 2 học sinh nam. 5 vị trí còn lại xếp 5 học sinh còn lại: $5!=120$ cách. Tổng: $6\cdot 120=720$ cách. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 8: B).

Chọn B

Cách 1:
TH1: tô bởi 2 màu. Chọn 2 màu có $C_3^2$ cách. Tô 2 màu vừa chọn cho 4 hình tròn có 2 cách (hai hình đối diện thì cùng màu).
TH2: tô bởi 3 màu (sẽ có hai hình tròn đối diện cùng màu, hai màu còn lại tô cho hai hình đối diện còn lại). Chọn 1 màu có $C_3^1$ cách. Tô màu vừa chọn cho hai hình tròn đối diện có 2 cách. Tô hai hình còn lại có 2 cách.
Vậy tổng số cách tô màu thỏa bài toán là $C_3^2\cdot 2+3\cdot 2\cdot 2=18$ cách.

Cách 2:
Tô màu A có 3 cách.
TH1: Nếu C cùng màu A thì C có 1 cách tô còn B, D có $2^2$ cách tô.
TH2: Nếu C không cùng màu A thì C có 2 cách tô còn B, D có 1 cách tô.
Vậy tổng số cách tô màu thỏa bài toán là $3\cdot (4+2)=18$ cách.

Chọn A
Gọi số cần lập là $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_6}$, $a_i\in \{0,1,...,9\};i=\overline{1,6};a_1\ne 0$.
Trường hợp 1: $a_1$ chẵn và hai chữ số tận cùng chẵn.
Số cách lập: $4.A_4^2.A_7^3=10080$.
Trường hợp 2: $a_1$ chẵn và hai chữ số tận cùng lẻ.
Số cách lập: $4.A_5^2.A_7^3=16800$.
Trường hợp 3: $a_1$ lẻ và hai chữ số tận cùng chẵn.
Số cách lập: $5.A_5^2.A_7^3=21000$.
Trường hợp 4: $a_1$ lẻ và hai chữ số tận cùng lẻ.
Số cách lập: $5.A_4^2.A_7^3=12600$.
Vậy có 60480 số

Mỗi cách chọn ra 3 học sinh từ 35 học sinh và phân công vào 3 chức vụ (lớp trưởng, lớp phó, thủ quỹ) là một chỉnh hợp chập 3 của 35 phần tử. Số cách chọn là $A_{35}^3$.

Số các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau được lập từ 4 chữ số {5, 6, 7, 8} là một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: $A_4^2=4\times 3=12$. Chọn A.

Cứ chọn ra 3 điểm bất kỳ từ 10 điểm không thẳng hàng ta được đúng một tam giác. Số tam giác tạo thành là tổ hợp chập 3 của 10 phần tử: $C_{10}^3$. Chọn A.

Tổng số học sinh là $2+3+4=9$ học sinh.
Yêu cầu giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp C nào, tức là giữa hai học sinh lớp A chỉ có thể có $k$ học sinh lớp B ($k\in \{0,1,2,3\}$).
- Chọn $k$ học sinh lớp B để xếp vào giữa hai học sinh lớp A và hoán vị chúng: có $A_3^k$ cách.
- Hoán vị hai học sinh lớp A: có $2!=2$ cách.
- Coi cụm gồm hai học sinh lớp A và $k$ học sinh lớp B này là một phần tử $X$. Cùng với $3-k$ học sinh lớp B còn lại và 4 học sinh lớp C, tổng cộng có $1+(3-k)+4=8-k$ phần tử để hoán vị: có $(8-k)!$ cách.
Tổng số cách xếp là:
${\sum }_{k=0}^{3}2\cdot A_3^k\cdot (8-k)!$:
- $k=0$: $2\cdot 1\cdot 8!=80640$.
- $k=1$: $2\cdot 3\cdot 7!=30240$.
- $k=2$: $2\cdot 6\cdot 6!=8640$.
- $k=3$: $2\cdot 6\cdot 5!=1440$.
Tổng cộng: $80640+30240+8640+1440=120960$ cách. Chọn B.

Có hai trường hợp: Trường hợp 1: Chọn 2 quyển sách Văn và 1 quyển sách Toán: có $C_6^2\cdot C_{10}^1=15\cdot 10=150$ cách. Trường hợp 2: Chọn 1 quyển sách Văn và 2 quyển sách Toán: có $C_6^1\cdot C_{10}^2=6\cdot 45=270$ cách. Tổng số cách chọn là $150+270=420$ cách.

Để trong 4 học sinh được chọn có đúng 2 nam và 2 nữ, ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: Chọn 1 nam, 1 nữ từ lớp 12A và 1 nam, 1 nữ từ lớp 12B: có $(C_1^1\cdot C_9^1)\cdot (C_6^1\cdot C_2^1)=(1\cdot 9)\cdot (6\cdot 2)=9\cdot 12=108$ cách. Trường hợp 2: Chọn 2 nữ từ lớp 12A và 2 nam từ lớp 12B: có $C_9^2\cdot C_6^2=36\cdot 15=540$ cách. Trường hợp 3: Chọn 2 nam từ lớp 12A và 2 nữ từ lớp 12B: không thể xảy ra vì lớp 12A chỉ có 1 nam. Vậy tổng số cách chọn thỏa mãn là $108+540=648$ cách.