Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Cho ${\int }_0^{2}f(x)dx=5$, ${\int }_0^{2}g(x)dx=-3$.
a) ${\int }_0^{2}3g(x)dx=3\cdot (-3)=-9\ne 6$ → Sai.
b) ${\int }_0^2[f(x)-g(x)+1]dx=5-(-3)+2=10\ne 8$ → Sai.
c) ${\int }_0^{2}f(x)dx=F(2)-F(0)=5$, với $F(2)=3$ suy ra $F(0)=3-5=-2$ → Đúng.
d) ${\int }_0^{1}g(x)dx={\int }_0^{2}g(x)dx-{\int }_1^{2}g(x)dx=-3-1=-4\ne 4$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{2}3g(x)dx=3\cdot (-3)=-9\ne 6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2[f(x)-g(x)+1]dx=5-(-3)+2=10\ne 8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=5$ nên $F(0)=3-5=-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{1}g(x)dx=-3-1=-4\ne 4$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[a;0]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm dưới trục hoành nên ${\int }_a^{0}f(x)dx\le 0$, diện tích phần hình phẳng đó là $-{\int }_a^{0}f(x)dx$. Trên đoạn $[0;b]$ đồ thị nằm trên trục hoành nên diện tích phần đó là ${\int }_0^{b}f(x)dx$. Vậy $S_D=-{\int }_a^{0}f(x)dx+{\int }_0^{b}f(x)dx$, trùng với đáp án C (khớp bảng đáp án mã đề 121, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên ${\int }_0^{4}f(x)dx=F(4)-F(0)=16-0=16$. Do đó ${\int }_0^4[3+f(x)]dx={\int }_0^{4}3dx+{\int }_0^{4}f(x)dx=3\cdot 4+16=12+16=28$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 121: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-1;2]$ ta có $4^x>0$ nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=4^x$, $y=0$, $x=-1$, $x=2$ là $S={\int }_{-1}^2{4}^{x}dx$. Vậy đáp án A. (B sai vì có thừa hệ số $\pi$; C sai cận và biểu thức; D sai vì cận ngược từ 2 đến $-1$ cho giá trị âm.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên theo định lý cơ bản của tích phân: $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=F(5)-F(1)$. Theo giả thiết $F(1)=2+F(5)$, suy ra $F(5)-F(1)=-2$. Vậy $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=-2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^2[f(x)-3x^2]dx={\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_0^{2}3x^{2}dx=4$. Mà ${\int }_0^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_0^2=8$. Suy ra ${\int }_0^{2}f(x)dx=4+8=12$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên đoạn $[0,c]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên diện tích phần đó là $\underset{0}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$; trên đoạn $[c,a]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên diện tích phần đó là $-\underset{c}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$. Vậy $S=\underset{0}{\overset{c}{\int }}f(x)dx-\underset{c}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$, tương ứng phương án A. Phương án B sai vì $-\underset{0}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$ chỉ đúng khi toàn bộ đồ thị dưới trục hoành. Phương án C sai vì $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx=-\underset{c}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$ làm dấu sai (khi đó $S=-\underset{0}{\overset{c}{\int }}f(x)dx-\underset{c}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$). Phương án D sai vì $\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx$ đổi cận nên $S=\underset{0}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{a}{\int }}f(x)dx$, không phải diện tích.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[-3;-1]$, ta có $y=-2x^2+14x-20<0$ (parabol có đỉnh tại $x=3,5$ hướng xuống, nên trái $x=2$ hàm âm). Diện tích: $S={\int }_{-3}^{-1}(2x^2-14x+20)dx={\left[\frac{2x^3}{3}-7x^2+20x\right]}_{-3}^{-1}$. Tại $x=-1$: $-\frac{2}{3}-7-20=-\frac{83}{3}$; tại $x=-3$: $-18-63-60=-141$. Vậy $S=-\frac{83}{3}+141=\frac{340}{3}$. Kết quả khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $S_1+S_2=14$ và $S_1-S_2=4$ suy ra $S_1=9$, $S_2=5$. Vì $f(x)\ge 0$ trên $[1;3]$ và $f(x)\le 0$ trên $[3;5]$ nên ${\int }_1^{5}f(x)dx=S_1-S_2=4$. Do đó $I=5{\int }_1^{5}f(x)dx-2{\int }_1^{5}xdx=5\cdot 4-2\cdot \frac{5^2-1^2}{2}=20-24=-4$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án mã đề 2001 (Câu 19: A).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^2-3x+31=9x-4\iff x^2-12x+35=0\iff x=5$ hoặc $x=7$. Trên $[5;7]$, parabol nằm dưới đường thẳng vì $x^2-12x+35=(x-5)(x-7)\le 0$. Diện tích: $$S={\int }_5^7\left(9x-4-(x^2-3x+31)\right)dx={\int }_5^7(-x^2+12x-35)dx={\left[-\frac{x^3}{3}+6x^2-35x\right]}_5^7.$$ Tính: tại $x=7$: $-\frac{343}{3}+294-245=-\frac{343}{3}+49=-\frac{196}{3}$; tại $x=5$: $-\frac{125}{3}+150-175=-\frac{125}{3}-25=-\frac{200}{3}$. Vậy $S=-\frac{196}{3}-\left(-\frac{200}{3}\right)=\frac{4}{3}$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}[8f(x)-2]\mathrm{d}x=8\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)\mathrm{d}x-\underset{0}{\overset{2}{\int }}2\mathrm{d}x=8\cdot (-4)-2\cdot (2-0)=-32-4=-36$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $f$ liên tục trên $[a;b]$: A đúng theo tính chất đổi cận tích phân; B đúng vì tích phân trên đoạn suy biến $[a;a]$ bằng 0; D đúng vì giá trị tích phân không phụ thuộc tên biến lấy tích phân. Mệnh đề C chỉ đúng khi $c\in [a;b]$; với $c\notin [a;b]$ thì $f(x)$ không được xác định (hoặc không liên tục) trên các đoạn $[a;c]$, $[c;b]$, nên các tích phân bên phải không tồn tại. Vậy C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình hoành độ giao điểm: $2-x^2=x\iff x^2+x-2=0\iff x=1$ hoặc $x=-2$. Trên đoạn $[-2;1]$ ta có $2-x^2\ge x$. Diện tích là $S={\int }_{-2}^1(2-x^2-x)dx={\left[2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]}_{-2}^1=\left(2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)-\left(-4+\frac{8}{3}-2\right)=\frac{7}{6}+\frac{2}{3}=\frac{11}{6}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết ${\int }_1^{3}f(x)dx=2$. a) Theo công thức Newton–Leibniz, $F(3)-F(1)={\int }_1^{3}f(x)dx=2$, nên $F(3)=2+3=5\ne 1$ → sai. b) ${\int }_1^{3}2f(x)dx=2{\int }_1^{3}f(x)dx=4$ → đúng. c) ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^{3}f(x)dx-{\int }_2^{3}f(x)dx=2-(-1)=3\ne 1$ → sai. d) ${\int }_1^3\left[3f(x)+\frac{1}{x}\right]dx=3\cdot 2+\ln 3=6+\ln 3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
F(3)-F(1)=2 nên F(3)=5, không phải 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
2·2=4.
c) (AI giải đề cho tôi)
2-(-1)=3, không phải 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
6+ln3.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích phân: ${\int }_1^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_1^2=8-1=7$. Với ${\int }_1^2\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_1^2=\frac{2}{3}(2\sqrt{2}-1)=\frac{4\sqrt{2}-2}{3}$. Vậy ${\int }_1^2(3x^2+\sqrt{x})dx=7+\frac{4\sqrt{2}-2}{3}=\frac{21-2+4\sqrt{2}}{3}=\frac{19+4\sqrt{2}}{3}$. Suy ra $a=19$, $b=4$, nên $a+b=23$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có nguyên hàm $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$. Do đó $I={\left[-\cot x\right]}_{\pi /4}^{\pi /3}=-\cot \frac{\pi }{3}+\cot \frac{\pi }{4}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý cơ bản của giải tích: ${\int }_1^4{f}^{\prime }(x)dx=f(4)-f(1)=10$. Suy ra $f(1)=f(4)-10=19-10=9$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^2+2x$.
a) Nguyên hàm: $\int (x^2+2x)dx=\frac{x^3}{3}+x^2+C$. Mệnh đề đúng.
b) ${\int }_0^1(x^2+2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right){|}_0^1=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\ne \frac{2}{3}$. Mệnh đề sai.
c) Trên $[0;2]$, $f(x)=x(x+2)\ge 0$ nên diện tích $S={\int }_0^2(x^2+2x)dx=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}\ne \frac{10}{3}$. Mệnh đề sai.
d) Thể tích khối tròn xoay: $V=\pi {\int }_0^1(x^2+2x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^1(x^4+4x^3+4x^2)dx=\pi \left(\frac{1}{5}+1+\frac{4}{3}\right)=\frac{38\pi }{15}$. Mệnh đề nói bằng $\frac{38}{15}$ (thiếu $\pi$) nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $x^2+2x$ là $\frac{x^3}{3}+x^2+C$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1(x^2+2x)dx=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\ne \frac{2}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\ge 0$ trên $[0;2]$, $S={\int }_0^2(x^2+2x)dx=\frac{20}{3}\ne \frac{10}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^1(x^2+2x{)}^{2}dx=\frac{38\pi }{15}$, không phải $\frac{38}{15}$ (thiếu hệ số $\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $${\int }_1^2\left(1+\frac{3}{x}\right)dx={\left[x+3\ln |x|\right]}_1^2=(2+3\ln 2)-(1+3\ln 1)=1+3\ln 2.$$ Vậy $a=1,b=3,c=2$ (thỏa $c<7$), do đó $S=a+b+c=1+3+2=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích phân: ${\int }_0^m(2x-7)dx={\left[x^2-7x\right]}_0^m=m^2-7m$. Theo đề: $m^2-7m=-12\iff m^2-7m+12=0\iff (m-3)(m-4)=0$, suy ra $m=3$ hoặc $m=4$. Vậy chọn đáp án B.