Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số $f(x)=4x^3+x$ liên tục trên $\mathbb{R}$, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Tính thể tích $V$ của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=0$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(0\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình vuông có độ dài cạnh bằng $\sqrt{9-x^2}$.

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $x\cdot f^{\prime }(x)\cdot \ln x+f(x)=2x^2,\forall x\in (1;+\infty )$ và $f(e)=e^2$. Tính tích phân $I={\int }_e^{e^2}\frac{x}{f(x)}dx$?

Câu 1. Một người nông dân có một mảnh đất hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $8\text{ m}$. Ông ta định chia mảnh đất thành ba phần, bởi các parabol đi qua các đỉnh của hình vuông như hình vẽ, biết rằng đỉnh của parabol cách cạnh hình vuông $2\text{ m}$. Ông dự định trồng hoa trên phần diện tích giới hạn bởi các parabol và các cạnh $AB,DC$ của hình vuông, trồng cỏ trên phần diện tích còn lại. Chọn hệ trục $Oxy$ sao cho $A(-4;4),B(4;4),C(4;-4),D(-4;-4)$.

Cho hàm số $f(x)=x^2+2x$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C)$, hai đường thẳng $d_1:x=a$ và $d_2:y=a$ ($a>0$). Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành, trục tung và $d_1$.

Một vật thể có đáy là hình tròn với bán kính bằng $1$ (tham khảo hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($-1\le x\le 1$), mặt cắt là một tam giác đều. Tính thể tích của vật thể đó (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $y=x^2-2x$ có đồ thị $(C)$. Kí hiệu $A$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=2$; $B$ là hình phẳng giới hạn bởi $(C)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=2,x=a$ ($a>2$). Tìm giá trị của $a$ để $A$ và $B$ có diện tích bằng nhau.

Cắt một vật thể bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=3$. Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $(1\le x\le 3)$ cắt vật thể đó theo thiết diện là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là $3x$ và $3x^2-2$. Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng trên?

Cho đồ thị hai hàm số $y=x^2-3x+2$; $y=x-1$ và $S_1;S_2$ là phần diện tích phần được tô như trong hình dưới.

Cho các hàm số $f(x)=6-2x;g(x)=2x^2-4x+2$.

Gọi $S$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $(H):y=\frac{4-3x}{x+3}$ và các trục tọa độ. Diện tích hình phẳng $S$ bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\left({\tan }^{2}x+{\sin }^2\frac{x}{2}\right)dx=a+\frac{\pi }{b}-\frac{\sqrt{c}}{4}$ (với $a,b,c\in \mathbb{Z}$). Tính giá trị của biểu thức $S=a+b-3c$.

Câu 17. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $2\text{ m}$, với $O,K$ lần lượt là trung điểm $AB,BC$. Parabol đỉnh $O$ đi qua $2$ điểm $C,D$, parabol đỉnh $K$ đi qua $2$ điểm $A,D$. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ theo đơn vị ${\text{m}}^2$.

Câu 3. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $F(1)=-1$, $F(3)=5$.

Biết rằng hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $(a,b,c\in \mathbb{R})$ thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$, ${\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;3]$.