Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: bảng gỗ $9\times 5=45$ dm². Hai parabol có đỉnh $(0;2)$ và $(0;-3)$, cùng đi qua $(-4;0)$ và $(4;0)$ (đuôi cá tại $x=-4$, mũi cá tại $x=4$).

Parabol trên: $f(x)=a(16-x^2)$, với $16a=2\Rightarrow a=\frac{1}{8}$, nên $f(x)=\frac{16-x^2}{8}$.

Parabol dưới: $g(x)=b(x^2-16)$, với $-16b=-3\Rightarrow b=\frac{3}{16}$, nên $g(x)=\frac{3(x^2-16)}{16}$.

Diện tích logo (màu xanh):
$$S={\int }_{-4}^4(f(x)-g(x))dx={\int }_{-4}^4\frac{5(16-x^2)}{16}dx=\frac{5}{16}\left(16x-\frac{x^3}{3}\right){|}_{-4}^4=\frac{5}{16}\cdot \frac{256}{3}=\frac{80}{3}{\text{dm}}^2.$$

Chi phí sơn xanh: $\frac{80}{3}\times 20000=\frac{1600000}{3}\approx 533333$ đồng.

Phần trắng: $45-\frac{80}{3}=\frac{55}{3}$ dm², chi phí $\frac{55}{3}\times 10000=\frac{550000}{3}\approx 183333$ đồng.

Tổng: $\frac{2150000}{3}\approx 716667$ đồng $\approx 717$ nghìn đồng (làm tròn đến hàng nghìn đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[0;4]$ đồ thị hàm $f(x)$ nằm dưới trục hoành trên phần có diện tích $S_1$ và nằm trên trục hoành trên phần có diện tích $S_2$. Do đó ${\int }_0^{4}f(x)dx=S_2-S_1=3-2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt tại điểm có hoành độ x=2 (vì √(2x)=4−x ⇒ 2x=(4−x)² ⇒ x=2, y=2).

a) Diện tích $S_1={\int }_0^2\sqrt{2x}dx=\sqrt{2}\cdot \frac{2}{3}{x}^{3/2}{|}_0^2=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot 2\sqrt{2}=\frac{8}{3}$ (đơn vị diện tích).

b) Diện tích $S_2={\int }_2^4(4-x)dx=\left(4x-\frac{x^2}{2}\right){|}_2^4=(16-8)-(8-2)=2$ (đơn vị diện tích).

c) Hình phẳng $S$ gồm hai phần: phần bên trái giới hạn bởi $y=\sqrt{2x}$, Ox, từ $x=0$ đến $x=2$ (chính là phần a), và phần bên phải giới hạn bởi $y=4-x$, Ox, từ $x=2$ đến $x=4$ (chính là phần b). Do đó $S=S_1+S_2=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: a) Giải √(2x)=4−x với điều kiện x≤4: bình phương 2x=(4−x)² ⇔ x²−10x+16=0 ⇔ x=2 hoặc x=8 (loại vì x=8>4). Vậy hoành độ giao điểm là x=2 → ĐÚNG. b) Diện tích cần tính là S₁=∫₀²√(2x)dx, không phải ∫₀²2x dx (đó là diện tích dưới đường y=2x) → SAI. c) Trên [2;4] đường y=4−x nằm trên trục hoành nên S₂=∫₂⁴(4−x)dx; công thức ∫₀²(x−4)dx sai cả cận lẫn dấu (hàm âm nên tích phân cho giá trị âm) → SAI. d) Hình phẳng S gồm phần dưới y=√(2x) trên [0;2] và phần dưới y=4−x trên [2;4], nên S=∫₀²√(2x)dx+∫₂⁴(4−x)dx → ĐÚNG. (Thực tế S=8/3+2=14/3.)
a) (AI giải đề cho tôi)
√(2x)=4−x ⇔ 2x=(4−x)² (x≤4) ⇔ x²−10x+16=0 ⇔ x=2 hoặc x=8 (loại). Vậy x=2, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
S₁=∫₀²√(2x)dx chứ không phải ∫₀²2x dx.
c) (AI giải đề cho tôi)
S₂=∫₂⁴(4−x)dx; công thức ∫₀²(x−4)dx sai cận và cho giá trị âm.
d) (AI giải đề cho tôi)
S=∫₀²√(2x)dx+∫₂⁴(4−x)dx=8/3+2=14/3, công thức đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$.

a) Sai. Phân tích đúng là $\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$; đề đưa dấu ngược lại (thử $x=0$: $f(0)=-\frac{1}{4}$ còn biểu thức ở ý a) cho $+\frac{1}{4}$).

b) Sai. Nguyên hàm: $\int f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \left|\frac{x-2}{x+2}\right|$. Vậy ${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\left(\ln \frac{2}{6}-\ln \frac{1}{5}\right)=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\approx 0,128<\frac{1}{2}$.

c) Đúng. ${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}$, phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{5}{3}$ nên $a\cdot b=5\cdot 3=15$.

d) Sai. ${\int }_3^4\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx={\left[-\frac{1}{f(x)}\right]}_3^4=-f(4)+f(3)=-\frac{1}{12}+\frac{1}{5}=\frac{7}{60}$. Do đó ${\int }_3^4\left[f(x)+\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}\right]dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+\frac{7}{60}\ne \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+7$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phân tích đúng: $f(x)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)$; ý a) viết ngược dấu nên sai (kiểm tra $x=0$: $f(0)=-1/4$ nhưng biểu thức ý a) cho $1/4$).
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}\approx 0,128<\frac{1}{2}$ nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^{4}f(x)dx=\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}$, $a=5,b=3$ tối giản, $a\cdot b=15$ nên đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_3^4\frac{f^{\prime }(x)}{f^2(x)}dx={\left[-\frac{1}{f(x)}\right]}_3^4=\frac{7}{60}$, nên tổng bằng $\frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+\frac{7}{60}\ne \frac{1}{4}\ln \frac{5}{3}+7$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol $(P)$ có đỉnh $(0;4)$ và đi qua $(1;3)$ nên $f(x)=4-x^2$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(1;3)$ và có hệ số góc $1$ (như hình vẽ) nên $d:y=x+2$. Phương trình hoành độ giao điểm: $4-x^2=x+2\iff x^2+x-2=0\iff x=1$ hoặc $x=-2$. Trên $[-2;1]$ thì $d$ nằm trên $(P)$, diện tích $S={\int }_{-2}^1[(x+2)-(4-x^2)]dx={\int }_{-2}^1(x^2+x-2)dx={\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-2x\right]}_{-2}^1=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2\right)-\left(-\frac{8}{3}+2+4\right)=-\frac{7}{6}+\frac{10}{3}=\frac{9}{2}$. Vậy a) đúng. b) ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=3-4=-1\ne 3$, sai. c) $f(0)=4$, đúng. d) $d:y=x+2\ne x+3$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=4-x^2$ và $d:y=x+2$, giao điểm tại $x=-2,x=1$; $S={\int }_{-2}^1(x^2+x-2)dx=\frac{9}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=3-4=-1\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh tại $(0;4)$ nên $f(0)=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $(1;3)$ với hệ số góc $1$ nên có phương trình $y=x+2$, không phải $y=x+3$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[\pi /6,\pi /3]$ thì $\sin x>0$ nên $S={\int }_{\pi /6}^{\pi /3}\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_{\pi /6}^{\pi /3}=\cos \frac{\pi }{6}-\cos \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$. Vậy $a=3,b=1,c=2$, do đó $2a-b+c=6-1+2=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích $S_1={\int }_0^a{e}^{x}dx=e^a-1$, $S_2={\int }_0^b{e}^{x}dx=e^b-1$. Theo giả thiết: $e^b-1=5(e^a-1)+4=5e^a-1$, suy ra $e^b=5e^a$, do đó $b-a=\ln 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân: ${\int }_1^8\frac{x^2-5x+3}{\sqrt[3]{x}}dx={\int }_1^8\left(x^{5/3}-5x^{2/3}+3x^{-1/3}\right)dx$. Nguyên hàm: $\frac{3}{8}{x}^{8/3}-3x^{5/3}+\frac{9}{2}{x}^{2/3}$. Tại $x=8$: $\frac{3}{8}\cdot 256-3\cdot 32+\frac{9}{2}\cdot 4=96-96+18=18$. Tại $x=1$: $\frac{3}{8}-3+\frac{9}{2}=\frac{15}{8}$. Vậy tích phân $=18-\frac{15}{8}=\frac{129}{8}$, tối giản với $a=129,b=8$, nên $a+b=137$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị là $y=x^3-3x+2$ và $y=-2x^2+2x+8$. Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x+2=-2x^2+2x+8\iff x^3+2x^2-5x-6=0\iff (x+1)(x-3)(x+2)=0$, nên chúng cắt nhau tại $x=-1$ và $x=3$ (khớp với hình vẽ). Trên đoạn $[-1;3]$, parabol $y=-2x^2+2x+8$ nằm phía trên (tại $x=0$: $8>2$). Do đó $S={\int }_{-1}^3\left[(-2x^2+2x+8)-(x^3-3x+2)\right]dx={\int }_{-1}^3(-x^3-2x^2+5x+6)dx$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho phần gạch sọc giới hạn bởi đồ thị (C) của $f(x)=-x^3+3x^2+2$ và đường thẳng đi qua gốc $O$ và điểm $(3;2)$, tức $y=\frac{2}{3}x$, trên đoạn $[0;3]$. Trên $[0;3]$ ta có $f(x)\ge \frac{2}{3}x$ (tại $x=0$: $2>0$; tại $x=3$: $2=2$). Diện tích: $$S={\int }_0^3\left(-x^3+3x^2+2-\frac{2}{3}x\right)dx={\left[-\frac{x^4}{4}+x^3+2x-\frac{x^2}{3}\right]}_0^3=-\frac{81}{4}+27+6-3=\frac{39}{4}.$$ Vậy $S=\frac{39}{4}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 8: đồ thị $y=f(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$, $x=1$, $x=4$; $f(x)\ge 0$ trên $[-1;1]$ và $f(x)\le 0$ trên $[1;4]$, phần diện tích dưới trục (trên $[1;4]$) lớn hơn phần trên trục (trên $[-1;1]$).

a) ĐÚNG. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục hoành là $S={\int }_{-1}^4|f(x)|dx$.

b) SAI. Vì $f(x)\le 0$ trên $[1;4]$ nên ${\int }_1^{4}f(x)dx<0$, do đó ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{4}f(x)dx={\int }_{-1}^{4}f(x)dx\ne S$. Đúng phải là $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$.

c) SAI. Thể tích khối tròn xoay khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V=\pi {\int }_{-1}^4[f(x){]}^{2}dx$; công thức trong ý c) thiếu hệ số $\pi$.

d) ĐÚNG. Với $F$ là nguyên hàm của $f$: $F(1)-F(-1)={\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0\Rightarrow F(1)>F(-1)$; $F(4)-F(1)={\int }_1^{4}f(x)dx<0\Rightarrow F(4)<F(1)$; và $F(-1)-F(4)=-{\int }_{-1}^{4}f(x)dx={\int }_1^4|f(x)|dx-{\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ vì theo hình vẽ diện tích phần dưới trục lớn hơn phần trên trục. Vậy $F(1)>F(-1)>F(4)$.
a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ và trục hoành luôn được tính bằng $S={\int }_{-1}^4|f(x)|dx$, nên ý này ĐÚNG.
b) Từ hình vẽ, $f(x)\ge 0$ trên $[-1;1]$ và $f(x)\le 0$ trên $[1;4]$, nên ${\int }_1^{4}f(x)dx<0$. Do đó ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx+{\int }_1^{4}f(x)dx={\int }_{-1}^{4}f(x)dx\ne S$. Đúng phải là $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Ý này SAI.
c) Công thức thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành là $V=\pi {\int }_{-1}^4[f(x){]}^{2}dx$. Công thức trong ý c) thiếu hệ số $\pi$, nên ý này SAI.
d) Với $F$ là nguyên hàm của $f$: $F(1)-F(-1)={\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ nên $F(1)>F(-1)$. $F(4)-F(1)={\int }_1^{4}f(x)dx<0$ nên $F(4)<F(1)$. Ngoài ra $F(-1)-F(4)=-{\int }_{-1}^{4}f(x)dx={\int }_1^4|f(x)|dx-{\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$ vì theo hình vẽ diện tích phần dưới trục hoành (từ $x=1$ đến $x=4$) lớn hơn diện tích phần trên trục (từ $x=-1$ đến $x=1$). Vậy $F(1)>F(-1)>F(4)$, ý này ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x+e^x$. a) Sai: ${\int }_1^2{f}^{\prime }(x)dx=\left(e^x+\frac{x^2}{2}\right){|}_1^2=(e^2+2)-(e+\frac{1}{2})=e^2-e+\frac{3}{2}$, không phải $e^2+e+\frac{5}{2}$. b) Sai: hai đường $y=x+e^x$ và $y=x+1$ cắt nhau khi $e^x=1\iff x=0$; diện tích giới hạn bởi hai đường và $x=2$ là ${\int }_0^2(e^x-1)dx=(e^x-x){|}_0^2=e^2-2-1=e^2-3\ne \frac{57}{13}$. c) Đúng: $f(x)=e^x+\frac{x^2}{2}+C$, $f(0)=1+C=4\Rightarrow C=3$; ${\int }_0^{1}f(x)dx=(e-1)+\frac{1}{6}+3=e+\frac{13}{6}=\frac{6e+13}{6}$. d) Sai: nguyên hàm là $f(x)=e^x+\frac{x^2}{2}+C$ chứ không phải $e^x+x^2+C$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị đúng là $e^2-e+\frac{3}{2}$, vì $(e^2+2)-(e+\frac{1}{2})=e^2-e+\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường cắt tại $x=0$; diện tích $={\int }_0^2(e^x-1)dx=e^2-3\ne \frac{57}{13}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(0)=4$ thì $C=3$, ${\int }_0^{1}f(x)dx=e+\frac{13}{6}=\frac{6e+13}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $f(x)=e^x+\frac{x^2}{2}+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_0^1\frac{2e^{2x}+e^x-3}{e^x}dx={\int }_0^1(2e^x+1-3e^{-x})dx={\left[2e^x+x+3e^{-x}\right]}_0^1=(2e+1+3e^{-1})-(2+0+3)=2e+\frac{3}{e}-4=\frac{2e^2-4e+3}{e}$. Vậy $m=2,n=-4,p=3$, suy ra $m+2n-p=2-8-3=-9$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $(1;3)$ và $(5;7)$, nên $d:y=x+2$. Trên đoạn $[1;5]$, đường thẳng $d$ nằm phía trên $(P)$ (theo hình, parabol nằm dưới dây cung). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P)$ và $d$ là:
$$S=\underset{1}{\overset{5}{\int }}[(x+2)-f(x)]dx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}(x+2)dx-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx.$$
Tính: $\underset{1}{\overset{5}{\int }}(x+2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_1^5=\left(\frac{25}{2}+10\right)-\left(\frac{1}{2}+2\right)=\frac{45}{2}-\frac{5}{2}=20.$
Suy ra $\frac{32}{3}=20-\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx$, nên $\underset{1}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=20-\frac{32}{3}=\frac{28}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên $[0;1]$ thì $f(t)=2$; trên $[1;2]$ $f$ đi thẳng từ $2$ lên $4$; trên $[2;3]$ $f$ đi thẳng từ $4$ về $0$. Do đó $g(3)={\int }_0^{3}f(t)dt$ bằng diện tích hình thang phía trên trục hoành từ $0$ đến $3$: hình chữ nhật $[0;1]$ diện tích $2\cdot 1=2$, hình thang $[1;2]$ diện tích $\frac{2+4}{2}\cdot 1=3$, tam giác $[2;3]$ diện tích $\frac{4\cdot 1}{2}=2$. Vậy $g(3)=2+3+2=7$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên $[1;3]$, $f(x)=x^3+2x>0$ nên diện tích hình thang cong là $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^3+2x)dx$. Đúng. b) $F(x)=\frac{x^4}{4}+2x$ có $F^{\prime }(x)=x^3+2\ne f(x)=x^3+2x$, nên $F$ không phải nguyên hàm của $f$; hơn nữa $S=F(3)-F(1)=\frac{81}{4}+6-\frac{1}{4}-2=24\ne 28=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$. Sai. c) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=\left(\frac{x^4}{4}+x^2\right){|}_1^3=\left(\frac{81}{4}+9\right)-\left(\frac{1}{4}+1\right)=28$; $\underset{1}{\overset{3}{\int }}g(x)dx=\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right){|}_1^3=\left(9+\frac{9}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{38}{3}$. Vậy $I=10\cdot 28+6\cdot \frac{38}{3}=280+76=356$. Đúng. d) Theo tính chất cộng tính của tích phân: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}fdx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}fdx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}fdx$. Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án (trang 5) cột mã đề 1005, câu 16: Đ, S, Đ, Đ. Lưu ý: trang đề in chân trang "Mã đề 1001", nhưng cột 1001 của bảng đáp án cho câu 16 là ĐĐĐS, không khớp với nội dung câu được in; cột 1005 (ĐSĐĐ) khớp đúng với nội dung câu này.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;3]$ có $f(x)=x^3+2x>0$ nên $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}(x^3+2x)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=x^3+2\ne f(x)$, nên $F$ không là nguyên hàm của $f$; thực tế $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=28\ne F(3)-F(1)=24$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx=28$, $\underset{1}{\overset{3}{\int }}g(x)dx=\frac{38}{3}$, nên $I=280+76=356$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất cộng tính: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}fdx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}fdx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}fdx$.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án mã đề 1001, câu 17: 79.

Từ $f^{\prime }(x)=10x-8$ và $f(0)=1$ suy ra $f(x)=5x^2-8x+1$. a) Đúng. b) Sai vì ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(0)=4$. c) Đúng vì ${\int }_{-2}^1(10x^2-16x+1)dx=57$. d) Sai vì ${\int }_{-1}^1[f^{\prime }(x)-2xf(x)]dx=-\frac{16}{3}$. (Khớp bảng đáp án mã đề 102, Phần II câu 3: Đ S Đ S.)
a) Nguyên hàm của $f^{\prime }(x)=10x-8$ là $f(x)=5x^2-8x+C$. Vì $f(0)=1$ nên $C=1$, suy ra $f(x)=5x^2-8x+1$. Đúng.
b) ${\int }_0^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(0)=(5\cdot 4-16+1)-1=5-1=4\ne 5$. Sai.
c) Với $f(x)=5x^2-8x+1$ ta có $2f(x)-1=10x^2-16x+1$. Khi đó ${\int }_{-2}^1(10x^2-16x+1)dx={\left[\frac{10x^3}{3}-8x^2+x\right]}_{-2}^1=\left(\frac{10}{3}-8+1\right)-\left(-\frac{80}{3}-32-2\right)=-\frac{14}{3}+\frac{185}{3}=57$. Đúng.
d) Với $f(x)=5x^2-8x+1$ ta có $f^{\prime }(x)-2xf(x)=10x-8-2x(5x^2-8x+1)=-10x^3+16x^2+8x-8$. Trên $[-1;1]$, các hạng tử lẻ $-10x^3$ và $8x$ có tích phân bằng $0$, nên ${\int }_{-1}^1\left[f^{\prime }(x)-2xf(x)\right]dx=2{\int }_0^1(16x^2-8)dx=2\left(\frac{16}{3}-8\right)=-\frac{16}{3}\ne \frac{16}{3}$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=18x-6$ và $f(0)=1$ ta được $f(x)=9x^2-6x+1$.
a) Sai vì $f(x)=9x^2-6x+1$, không phải $9x^2+6x+1$.
b) ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(-1)=(36-12+1)-(9+6+1)=25-16=9\ne 39$, sai.
c) ${\int }_0^1[3f(x)-1]dx=3{\int }_0^1(9x^2-6x+1)dx-1=3(3-3+1)-1=2\ne 8$, sai.
d) ${\int }_{-1}^{2}2xf(x)dx={\int }_{-1}^2(18x^3-12x^2+2x)dx={\left[\frac{9}{2}{x}^4-4x^3+x^2\right]}_{-1}^2=(72-32+4)-(4.5+4+1)=44-9.5=34.5$. Vậy ${\int }_{-1}^2[f^{\prime }(x)-2xf(x)]dx=9-34.5=-25.5=\frac{-51}{2}$, đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (SSSĐ cho mã đề 101).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $f(x)=9x^2-6x+1$ (vì $f^{\prime }(x)=18x-6$), nên khẳng định $f(x)=9x^2+6x+1$ sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)dx=f(2)-f(-1)=25-16=9\ne 39$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1[3f(x)-1]dx=3(3-3+1)-1=2\ne 8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-1}^{2}2xf(x)dx=34.5$ và ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)dx=9$, hiệu bằng $-25.5=\frac{-51}{2}$, đúng.