Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^2-2x$ khi $x\ge 2$ và $f(x)=x-2$ khi $x<2$:
a) Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$. Đúng.
b) Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$. Đúng.
c) Sai, vì trên đoạn $[1;2]$ hàm số là $f(x)=x-2$ (nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$ chỉ dùng cho đoạn $[2;3]$); đúng phải là ${\int }_1^{3}f(x)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2+{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3$.
d) Tính: ${\int }_1^2(x-2)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2=(2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)=-\frac{1}{2}$; ${\int }_2^3(x^2-2x)dx={\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}$. Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{5}{6}\ne \frac{7}{6}$. Sai.
Khớp đáp án nguồn: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì trên đoạn $[1;2]$ phải dùng $f(x)=x-2$ với nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$; biểu thức trong đề dùng nhầm nguyên hàm của $x^2-2x$ cho cả hai đoạn.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2(x-2)dx=-\frac{1}{2}$ và ${\int }_2^3(x^2-2x)dx=\frac{4}{3}$, tổng bằng $\frac{5}{6}\ne \frac{7}{6}$.

Tương tự Mã đề 121,
Như vậy, ta có phương trình parabol đó là $y=-\frac{1}{80}{x}^2+x$ (0,25đ)
và diện tích của phần trồng hoa phía dưới là
$$S_{\text{hoa}}=\underset{0}{\overset{80}{\int }}\left|-\frac{1}{80}{x}^2+x\right|\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{80}{\int }}\left(-\frac{1}{80}{x}^2+x\right)\mathrm{d}x.$$ (0,25đ)
$$S_{\text{hoa}}=\left(-\frac{1}{240}.x^3+\frac{x^2}{2}\right){|}_0^{80}=\frac{3200}{3}\left(m^2\right)$$ (0,25đ)
Khi đó, diện tích của phần sân chơi là $S=80.100-2S_{\text{hoa}}=\frac{17600}{3}\left(m^2\right).$ (0,25đ)

Đặt hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

Nhận thấy hai phần trồng hoa dạng đường parabol có diện tích như nhau. Vậy ta xét đường parabol ở bồn hoa phía dưới có dạng $(P):y=a{x}^2+bx+c$ với $a\ne 0$.
Ta có đồ thị $(P)$ đi qua ba điểm là $O(0;0),I(30;20)$ và $A(60;0)$. Thay vào ta thu được hệ phương trình
$$\{\begin{array}{l}c=0\\ 900a+30b+c=20\\ 3600a+60b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{45}\\ b=\frac{4}{3}\\ c=0\end{array}$$ (0,25đ)
Như vậy, ta có phương trình parabol đó là $y=-\frac{1}{45}{x}^2+\frac{4}{3}x$ và diện tích của phần trồng hoa phía dưới là
$$S_{\text{hoa}}=\underset{0}{\overset{60}{\int }}\left|-\frac{1}{45}{x}^2+\frac{4}{3}x\right|\mathrm{dx}=\underset{0}{\overset{60}{\int }}\left(-\frac{1}{45}{x}^2+\frac{4}{3}x\right)\mathrm{dx}.$$ (0,25đ)
$$S_{\text{hoa}}=\left(-\frac{1}{135}{x}^3+\frac{2x^2}{3}\right){|}_0^{60}=800\left(m^2\right)$$ (0,25đ)
Khi đó, diện tích của phần sân chơi là $S=60.80-2S_{\text{hoa}}=3200\left(m^2\right)$. (0,25đ)
Chú ý: Học sinh bấm máy tính phần tính diện tích thì chỉ được tối đa là 0,75đ. và học sinh dùng cách khác mà kết quả vẫn đúng thì cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn [0;1] ta có x^{1/3} ≥ x³ (ví dụ x=1/4: √[3]{1/4}≈0,63 > 0,0156), nên diện tích phần gạch đậm là S = ∫₀¹(√[3]{x} − x³)dx = [3/4·x^{4/3} − x⁴/4]₀¹ = 3/4 − 1/4 = 1/2 (m²).
a) Sai: công thức trong đề lấy x³ − √[3]{x}, cho giá trị âm (−1/2), không phải diện tích.
b) Sai: diện tích đúng bằng 1/2 m², không phải 1/3 m².
c) Đúng: thể tích khối tròn xoay quay quanh Ox là V = π∫₀¹(√[3]{x})²dx = π∫₀¹x^{2/3}dx = π·3/5 = 3π/5 (m³), công thức trong đề đúng.
d) Đúng: ∫₀¹x³dx = 1/4 (m²).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Trên [0;1] thì √[3]{x} ≥ x³ nên diện tích phải là ∫₀¹(√[3]{x} − x³)dx; công thức x³ − √[3]{x} cho giá trị âm.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) S = ∫₀¹(√[3]{x} − x³)dx = 3/4 − 1/4 = 1/2 (m²), không phải 1/3 m².
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) V = π∫₀¹(√[3]{x})²dx = π∫₀¹x^{2/3}dx = 3π/5 (m³); công thức đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) ∫₀¹x³dx = 1/4 (m²).

Xét hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Gọi phương trình parabol $(P)$ có dạng: $y=a{x}^2+bx+c$.

Khi đó $(P)$ đi qua gốc $O$, điểm $C(15;10)$ và $D(-15;10)$.

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{array}{l}c=0\\ 225a+15b+c=10\\ 225a-15b+c=10\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{2}{45}\\ b=0\\ c=0\end{array}$.

Vậy $(P)$: $y=\frac{2}{45}{x}^2$.

Khi đó: Diện tích trồng cỏ nhung Nhật là: $S_1=2\cdot {\int }_{-15}^{15}\left(10-\frac{2}{45}{x}^2\right)dx=400\left(m^2\right)$. (0,5 điểm)

Ý 2: Diện tích hình chữ nhật là: $S=50\cdot 30=1500\left(m^2\right)$.

Diện tích trải thảm nhân tạo là: $S_2=S-S_1=1500-400=1100\left(m^2\right)$. (0,25 điểm)

Tổng số tiền để trồng và trải thảm cỏ hết khu vui chơi là:

$400\cdot 140000+1100\cdot 100000=166000000$ (đồng) $=166$ (triệu đồng).

Tổng điểm: 3,00.

a) ĐÚNG. $\int (x^2-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$. b) SAI. c) Đúng: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\frac{11}{6}$. d) SAI. Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(x^2-x{)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-2x^3+x^2\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2$.
a) a) ĐÚNG. $\int (x^2-x)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$.
b) b) SAI.
c) c) Đúng: $S=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\frac{11}{6}$.
d) d) SAI. Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}(x^2-x{)}^{2}dx=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(x^4-2x^3+x^2\right)dx=\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{3}\right){|}_{-1}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục như hình: hai đầu mút cánh hoa tại $(\pm 2;4)$ nằm trên nửa đường tròn tâm $O$ nên $R^2=2^2+4^2=20$, $R=2\sqrt{5}$. Parabol có dạng $y=a{x}^2$, qua $(2;4)$ nên $a=1$, tức $y=x^2$. Diện tích phần trồng hoa (giữa đường thẳng $y=4$ và parabol): $S_{hoa}={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$ m². Diện tích nửa hình tròn: $\frac{1}{2}\pi R^2=10\pi$ m². Diện tích trồng cỏ: $S_{co}=10\pi -\frac{32}{3}$ m². Chi phí: $150000\cdot \frac{32}{3}+100000\left(10\pi -\frac{32}{3}\right)=1600000+1000000\pi -\frac{3200000}{3}\approx 1600000+3141592.65-1066666.67\approx 3674926$ đồng. Làm tròn đến hàng nghìn: $3675000$ đồng, vậy $\overline{abcd}=3675$.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích thiết diện tại hoành độ $x$ là $S(x)=7x\sqrt{25-x^2}$. Thể tích: $$V={\int }_0^{5}7x\sqrt{25-x^2}dx.$$ Đặt $u=25-x^2\Rightarrow du=-2xdx$. Khi $x=0,u=25$; khi $x=5,u=0$: $$V=\frac{7}{2}{\int }_0^{25}\sqrt{u}du=\frac{7}{2}\cdot \frac{2}{3}{u}^{3/2}{|}_0^{25}=\frac{7}{3}\cdot 125=\frac{875}{3}.$$ Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu hai hàm số: $(-5x+x^2)-(-x^2+x)=2x^2-6x=2x(x-3)$. Trên $[-1;0]$, $2x(x-3)\ge 0$; trên $[0;2]$, $2x(x-3)\le 0$. Do đó $S={\int }_{-1}^0(2x^2-6x)dx+{\int }_0^2(6x-2x^2)dx$. Tính: ${\int }_{-1}^0(2x^2-6x)dx={\left[\frac{2x^3}{3}-3x^2\right]}_{-1}^0=0-\left(-\frac{2}{3}-3\right)=\frac{11}{3}$; ${\int }_0^2(6x-2x^2)dx={\left[3x^2-\frac{2x^3}{3}\right]}_0^2=12-\frac{16}{3}=\frac{20}{3}$. Vậy $S=\frac{11}{3}+\frac{20}{3}=\frac{31}{3}$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên đoạn $[-4;-1]$, đồ thị $f(x)$ là đoạn thẳng nối điểm $(-4;2)$ và $(-1;1)$ (các đường nét đứt chỉ rõ hai điểm này). Diện tích hình thang dưới đồ thị trên $[-4;-1]$ là $\frac{(2+1)\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}$.

Do đó ${\int }_{-4}^{-1}f(x)\mathrm{d}x=\frac{9}{2}$ (hàm dương trên đoạn này).

Suy ra ${\int }_{-4}^{2}f(x)\mathrm{d}x={\int }_{-4}^{-1}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x=\frac{9}{2}+\frac{47}{10}=\frac{45+47}{10}=\frac{92}{10}=9,2$.

Vì $F^{\prime }(x)=f(x)$ nên ${\int }_{-4}^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(-4)=9,2$, do đó $F(-4)-F(2)=-9,2$. Kết quả trùng với đáp án $-9,2$ của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị $y=x^2-2x$ và $y=-x^2+4x$ cắt nhau khi $x^2-2x=-x^2+4x\iff 2x^2-6x=0\iff x=0$ hoặc $x=3$. Trên $[-1;0]$ và $[3;4]$ thì $x^2-2x\ge -x^2+4x$; trên $[0;3]$ thì $-x^2+4x\ge x^2-2x$. Do đó diện tích là $$S={\int }_{-1}^0(2x^2-6x)dx+{\int }_0^3(-2x^2+6x)dx+{\int }_3^4(2x^2-6x)dx.$$ Với $\int (2x^2-6x)dx=\frac{2x^3}{3}-3x^2$: trên $[-1;0]$ ta được $0-\left(-\frac{2}{3}-3\right)=\frac{11}{3}$; trên $[3;4]$ ta được $\left(\frac{128}{3}-48\right)-(18-27)=\frac{11}{3}$. Trên $[0;3]$: ${\int }_0^3(-2x^2+6x)dx=\left(-\frac{2x^3}{3}+3x^2\right){|}_0^3=-18+27=9$. Vậy $S=\frac{11}{3}+9+\frac{11}{3}=\frac{49}{3}$, khớp đáp án B của bảng đáp án mã 101.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^x-2$.
a) Nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)dx=e^x-2x+C$ → Đúng.
b) $f(x)=e^x-2x+C$; $f(0)=1+C=2\Rightarrow C=1$, vậy $f(x)=e^x-2x+1$, không phải $e^x-2x+2$ → Sai.
c) ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^2(e^x-2x+1)dx=(e^x-x^2+x){|}_0^2=e^2-4+2-1=e^2-3\ne e^2-4$ → Sai.
d) Hiệu hai hàm: $(x^2+e^x-6)-(e^x-2)=x^2-4\le 0$ trên $[-2;0]$. Diện tích $={\int }_{-2}^0(4-x^2)dx={\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^0=0-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=\frac{16}{3}\ne \frac{29}{3}$ → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai, khớp đáp án mã 101 (ĐSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $e^x-2$ là $e^x-2x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $f(0)=2$ suy ra $C=1$, nên $f(x)=e^x-2x+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^2(e^x-2x+1)dx=e^2-3\ne e^2-4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $={\int }_{-2}^0(4-x^2)dx=\frac{16}{3}\ne \frac{29}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đồ thị, trên đoạn $[2;5]$ đồ thị của $f(x)$ là đoạn thẳng nối điểm $(2;3)$ với điểm $(5;1)$, nên $${\int }_2^{5}f(x)dx=\frac{(3+1)\cdot 3}{2}=6.$$ Do đó $$F(5)-F(-2)={\int }_{-2}^{5}f(x)dx={\int }_{-2}^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx=\frac{29}{5}+6=\frac{59}{5}=11,8.$$ Kết quả trùng với đáp án nguồn $11,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình 7, hai parabol có dạng $f(x)=2-\frac{x^2}{4}$ (đỉnh $(0;2)$, đi qua $(2;1)$ theo đường nét đứt) và $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$ (đỉnh $(0;-1)$). Phương trình hoành độ giao điểm: $2-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}-1\iff \frac{x^2}{2}=3\iff x=\pm \sqrt{6}$. Trên $[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$ ta có $f(x)\ge g(x)$, nên diện tích logo là $$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx=2{\left[3x-\frac{x^3}{6}\right]}_0^{\sqrt{6}}=2\sqrt{6}\left(3-\frac{6}{6}\right)=4\sqrt{6}\approx 9,798\approx 9,8(d{m}^2).$$ Vậy $a=9,8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ Hình 7 (trang 15): parabol $y=f(x)$ có đỉnh $(0;2)$ và đi qua điểm $(2;1)$ (đường nét đứt) nên $f(x)=2-\frac{x^2}{4}$; parabol $y=g(x)$ có đỉnh $(0;-1)$ và cắt trục hoành tại $x=\pm 2$ nên $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$. Phương trình hoành độ giao điểm: $2-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}-1\iff x^2=6\iff x=\pm \sqrt{6}$. Trên $[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$ ta có $f(x)\ge g(x)$, diện tích logo: $$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx={\left[3x-\frac{x^3}{6}\right]}_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}=2\left(3\sqrt{6}-\frac{6\sqrt{6}}{6}\right)=4\sqrt{6}\approx 9,8(d{m}^2).$$ Vậy $a=9,8$, khớp với đáp án chính thức trong bảng HD chấm (Phần III, Câu 2: 9,8).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình 7, parabol $y=f(x)$ có đỉnh $(0;2)$ và đi qua điểm có hoành độ $x=2$ với tung độ $y=1$ (đường nét đứt), nên $f(x)=2-\frac{x^2}{4}$. Parabol $y=g(x)$ có đỉnh $(0;-1)$, $g(2)=0$, nên $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$. Phương trình hoành độ giao điểm: $2-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}-1\iff x^2=6\iff x=\pm \sqrt{6}$. Trên $(-\sqrt{6};\sqrt{6})$ ta có $f(x)\ge g(x)$. Diện tích logo: $$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx=\left(3x-\frac{x^3}{6}\right){|}_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}=2\left(3\sqrt{6}-\frac{6\sqrt{6}}{6}\right)=4\sqrt{6}\approx 9,798\approx 9,8(d{m}^2).$$ Vậy $a=9,8$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình 7: parabol trên $y=f(x)$ có đỉnh $(0;2)$ và đi qua điểm nét đứt $(2;1)$ nên $f(x)=2-\frac{x^2}{4}$; parabol dưới $y=g(x)$ có đỉnh $(0;-1)$, đối xứng qua trục hoành dạng $g(x)=\frac{x^2}{4}-1$. Giải phương trình giao điểm: $2-\frac{x^2}{4}=\frac{x^2}{4}-1\iff x^2=6\iff x=\pm \sqrt{6}$. Trên $[-\sqrt{6};\sqrt{6}]$ ta có $f(x)\ge g(x)$, nên diện tích logo: $$S={\int }_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}\left(3-\frac{x^2}{2}\right)dx={\left[3x-\frac{x^3}{6}\right]}_{-\sqrt{6}}^{\sqrt{6}}=2\left(3\sqrt{6}-\frac{6\sqrt{6}}{6}\right)=4\sqrt{6}\approx 9,798\approx 9,8(d{m}^2).$$ Vậy $a=9,8$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2 = 9,8).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $A={\int }_0^{2}f(x)dx$, $B={\int }_0^{2}g(x)dx$. Từ giả thiết: $-A-3B=20$ và $3A-2B=-5$. Từ phương trình đầu, $A=-20-3B$. Thay vào phương trình thứ hai: $3(-20-3B)-2B=-5\Rightarrow -60-11B=-5\Rightarrow B=-5$, suy ra $A=-20-3(-5)=-5$. Khi đó ${\int }_0^2[3f(x)+2g(x)]dx=3A+2B=3(-5)+2(-5)=-25$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $F={\int }_0^{1}f(x)dx$, $G={\int }_0^{1}g(x)dx$. Theo giả thiết: $2F-3G=28$ và $F+3G=-4$. Cộng hai phương trình: $3F=24\Rightarrow F=8$; suy ra $G=-4-8=-12$. Khi đó ${\int }_0^1[-f(x)+g(x)]dx=-F+G=-8-12=-12$.