Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Biết rằng tích phân $I={\int }_0^{\pi /4}\frac{\ln (\sin x+15\cos x)}{{\cos }^{2}x}dx=a\pi +b\ln 2+c\ln 3+d\ln 5$ trong đó $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$, tính $T=a+b+c+d$.

Giả sử hàm số $y=m{x}^4-(m^2+2)x^2+\frac{m^3+11m}{9}$ có đồ thị $(C)$ và hàm số $y=x^2$ có đồ thị $(C^{\prime })$ cắt nhau tại bốn điểm phân biệt. Biết rằng hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $(C)$ và $(C^{\prime })$ là hợp của ba hình phẳng $(H_1),(H_2),(H_3)$ có diện tích tương ứng là $S_1,S_2,S_3$ trong đó $0<S_1\le S_2\le S_3$ và các hình phẳng $(H_1),(H_2),(H_3)$ đôi một giao nhau tại không quá một điểm. Gọi $T$ là tập hợp các giá trị của $m$ sao cho $S_3=S_1+S_2$. Tính tổng bình phương các phần tử của $T$.

Cho tích phân $I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin 2x+\sin x}{\sqrt{1+3\cos x}}dx$. Thực hiện phép đổi biến $t=\sqrt{1+3\cos x}$, ta có thể đưa $I$ về dạng nào sau đây?

Tính tích phân $I={\int }_1^{2}2x\sqrt{x^2-1}\mathrm{d}x$, bằng cách đặt $t=x^2-1$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $[0;4]$ với ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x=3$. Tính $I={\int }_0^4[1-f(x)]\mathrm{d}x$.

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,x=3$ là

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=5$ khi đó ${\int }_0^1[3f(x)-2g(x)]dx$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=x$ và đồ thị của hàm số $y=x^2-2x$ bằng

Một kiến trúc sư thiết kế bồn hoa trong công viên trên hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị: mét). Bồn hoa là hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P):y=-x^2+4$ và trục hoành $Ox$. Kiến trúc sư bố trí một dải đèn LED thẳng, được mô phỏng bởi đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0;1)$, cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ (có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$). Dải đèn chia bồn hoa thành hai phần riêng biệt: Phần hình phẳng nằm phía trên dây cung $AB$ được dùng để trồng Hoa Hồng, phần còn lại của bồn hoa (nằm phía dưới dây cung $AB$) được dùng để trồng Cỏ Nhật.

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;4]$ và $f(1)=2,f(4)=10$. Giá trị của $I={\int }_1^4{f}^{\prime }(x)dx$ là:

Biết $f(x)$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và ${\int }_0^{9}f(x)dx=9$. Khi đó giá trị của ${\int }_1^{4}f(3x-3)dx$ là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=|x^2-4x+3|,y=x+3$ (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của $(H)$ bằng:

Cho ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=2$ và ${\int }_2^{3}2f(x)\mathrm{d}x=1$. Tính $I={\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x$.

Cho tích phân $I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{5}x\mathrm{d}x$. Nếu đặt $t=\sin x$ thì

Cho $y=f(x)$ là hàm số đa thức bậc $3$ có đồ thị như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng được tô đậm.

Biết ${\int }_0^4\frac{\sqrt{2x+1}}{2x+3\sqrt{2x+1}+3}dx=a+b\ln 2+c\ln \frac{5}{3}$ ($a,b,c\in \mathbb{Z}$). Tính $T=2a+b+c$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\int }_{-5}^{1}f(x)dx=9$. Giá trị của $I={\int }_0^2[f(1-3x)+9]dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương và liên tục trên đoạn $[0;1]$ thỏa mãn $g(x)=1+2020{\int }_0^{x}f(t)dt$, $\forall x\in [0;1]$ và $g(x)=f^2(x)$, $\forall x\in [0;1]$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{1}g(x)dx$ bằng

Cho tích phân ${\int }_{-1}^0\sqrt[3]{1+x}dx$, với cách đặt $t=\sqrt[3]{1+x}$ thì tích phân đã cho bằng tích phân nào sau đây?

Biết $I={\int }_1^2\frac{1}{2x^2+5x+3}dx=\ln \frac{a}{b}$ với $a,b$ là các số nguyên lớn hơn $1$, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Giá trị $T=a+b$ bằng