Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có giá trị tại các điểm cực trị là $0,2,5$. Để phương trình $|f(x)|=m$ có $6$ nghiệm phân biệt thì $2<m<5$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{3;4\}$, có $2$ giá trị nguyên.

Phương trình $3f(x)-8=0⟺f(x)=\frac{8}{3}\approx 2,67$.
Số nghiệm thực của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y=\frac{8}{3}$.
Quan sát đồ thị hình vẽ:
- Hàm số có điểm cực đại tại $(0;2)$ và hai điểm cực tiểu tại $(-2;-2)$ và $(2;-2)$.
- Vì $\frac{8}{3}>2$ nên đường thẳng $y=\frac{8}{3}$ cắt hai nhánh đồ thị phía trên điểm cực đại tại đúng 2 điểm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thực phân biệt. Chọn C.

Đặt $t=e^{x^2}$. Vì $x^2\ge 0$ nên $t\ge 1$.
- Với mỗi giá trị $t>1$, phương trình $e^{x^2}=t⟺x^2=\ln t>0$ cho đúng 2 nghiệm phân biệt $x=\pm \sqrt{\ln t}$.
- Với $t=1$, phương trình $e^{x^2}=1⟺x=0$ cho đúng 1 nghiệm $x=0$.
Để phương trình $f(e^{x^2})=m$ có 3 nghiệm phân biệt $x$, thì phương trình $f(t)=m$ phải có đúng 1 nghiệm $t=1$ và 1 nghiệm $t>1$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(t)$:
- Tại $t=1$, hàm số đạt cực tiểu và $f(1)=1$.
- Đường thẳng $y=1$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực tiểu $(1;1)$ (cho $t=1⟹1$ nghiệm $x=0$) và cắt đồ thị tại một điểm $t_2>3>1$ (cho 2 nghiệm $x=\pm \sqrt{\ln t_2}$).
- Tổng cộng ta có đúng $1+2=3$ nghiệm phân biệt $x$.
Nếu $m\ne 1$, không thể có đồng thời một nghiệm $t=1$ và một nghiệm $t>1$.
Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị nguyên $m=1$ thỏa mãn bài toán. Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục $Ox$ là:
$x^3-3x+1=0$.
Xét hàm số $f(x)=x^3-3x+1$:
- $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=0⟺x=\pm 1$.
- $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)+1=3>0$ (giá trị cực đại).
- $f(1)=1^3-3(1)+1=-1<0$ (giá trị cực tiểu).
Vì $y_{CĐ}\cdot y_{CT}=3\cdot (-1)=-3<0$, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Vậy số giao điểm là 3. Chọn D.

Chọn A.
Từ đồ thị hàm số bậc bốn $y=f(x)$, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt, tức là phương trình $f(x)=0$ có 4 nghiệm thực phân biệt.
Giả sử $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.
Xét đạo hàm của $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$:
${\left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime \prime }(x)f(x)-[f^{\prime }(x){]}^2}{[f(x){]}^2}=-{\sum }_{i=1}^4\frac{1}{(x-x_i{)}^2}<0,\forall x\ne x_i$.
Do đó $[f^{\prime }(x){]}^2-f(x)f^{\prime \prime }(x)=[f(x){]}^2{\sum }_{i=1}^4\frac{1}{(x-x_i{)}^2}>0,\forall x$.
Vậy phương trình $g(x)=0$ vô nghiệm, tức đồ thị không cắt trục $Ox$ (số giao điểm bằng $0$).

Thế $y=1-x$ vào phương trình thứ hai: $x^2+(1-x{)}^2=5⟺2x^2-2x-4=0⟺x=-1$ hoặc $x=2$. Vậy hệ có $2$ nghiệm. Chọn đáp án A.

Trên đoạn $[0;4]$, hàm số $f(x)=x^2-2x-3$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f(1)=-4$ và giá trị lớn nhất bằng $f(4)=5$. Vậy phương trình $f(x)=m$ có nghiệm trên $[0;4]⟺m\in [-4;5]$. Chọn đáp án A.

Phương trình tương đương với $[f(|x|)+1][f(|x|)+m-3]=0⟺f(|x|)=-1$ hoặc $f(|x|)=3-m$. Từ đồ thị, $f(|x|)=-1⟺|x|=2⟺x=\pm 2$ ($2$ nghiệm). Để phương trình có $6$ nghiệm phân biệt thì phương trình $f(|x|)=3-m$ phải có $4$ nghiệm phân biệt khác $\pm 2$, tức là $-1<3-m<3⟺0<m<4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3\}$, có $3$ giá trị. Chọn đáp án D.

Ta biến đổi phương trình về hàm số đã cho:
$2x^3-3x^2+2m=0⟺-2x^3+3x^2-1=2m-1$
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $(C):y=-2x^3+3x^2-1$ và đường thẳng nằm ngang $d:y=2m-1$.
- Ta tính giá trị của hàm số tại $x=\frac{1}{2}$:
$y\left(\frac{1}{2}\right)=-2\left(\frac{1}{8}\right)+3\left(\frac{1}{4}\right)-1=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{2}$
- Đồ thị $(C)$ có điểm cực tiểu là $(0;-1)$ và điểm cực đại là $(1;0)$.
- Với $x>\frac{1}{2}$:
+ Khi $x$ tăng từ $\frac{1}{2}$ đến $1$, $y$ tăng từ $-\frac{1}{2}$ lên $0$.
+ Khi $x$ tăng từ $1$ đến $+\infty$, $y$ giảm từ $0$ xuống $-\infty$.
Do đó, đường thẳng $y=2m-1$ cắt nhánh đồ thị ứng với $x>\frac{1}{2}$ tại đúng 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
$-\frac{1}{2}<2m-1<0⟺\frac{1}{2}<2m<1⟺\frac{1}{4}<m<\frac{1}{2}$
Khi đó, giao điểm thứ ba nằm trên nhánh $x<0$, hiển nhiên nghiệm này nhỏ hơn $\frac{1}{2}$.
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm lớn hơn $\frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $m\in \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$. Chọn D.

Xét biểu thức $u=3-3\sqrt{-9x^2+30x-21}$.
Điều kiện trong căn: $-9x^2+30x-21\ge 0⟺3x^2-10x+7\le 0⟺1\le x\le \frac{7}{3}$.
Ta có:
$-9x^2+30x-21=4-(3x-5{)}^2$
Vì $1\le x\le \frac{7}{3}$ nên $0\le (3x-5{)}^2\le 4$, suy ra:
$0\le -9x^2+30x-21\le 4⟹0\le \sqrt{-9x^2+30x-21}\le 2$
Do đó:
$3-3(2)\le u\le 3-3(0)⟺-3\le u\le 3$
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(u)$ trên đoạn $[-3;3]$:
- Tại $u=-3$: $f(-3)=1$.
- Tại $u=0$: $f(0)=0$.
- Tại $u=3$: $f(3)=-5$.
- Giá trị lớn nhất của $f(u)$ trên $[-3;3]$ là $1$ (đạt tại $u=-3$ và $u=-1$).
- Giá trị nhỏ nhất của $f(u)$ trên $[-3;3]$ là $-5$ (đạt tại $u=3$).
Suy ra với $u\in [-3;3]$ thì $-5\le f(u)\le 1$.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$-5\le \frac{m-2019}{2}\le 1⟺-10\le m-2019\le 2⟺2009\le m\le 2021$
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{2009,2010,\dots ,2021\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là:
$2021-2009+1=13$
Chọn D.

Chọn D.
Phương trình hoành độ giao điểm:
$2x^3-x^2+x+2=-6x^2-4x-4\iff 2x^3+5x^2+5x+6=0\iff (x+2)(2x^2+x+3)=0$.
Vì $2x^2+x+3>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $x_0=-2$.
Thay vào ta có $y_0=-6(-2{)}^2-4(-2)-4=-24+8-4=-20$.
Suy ra $x_0+y_0=-2+(-20)=-22$.

Chọn B.
Ta có: $f(x)-2=0\iff f(x)=2$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy $y_{CT}=-2<2<y_{CĐ}=4$. Do đó đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt, tức phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn B.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(H)$ và $d$:
$\frac{x-4}{2x-2}=kx+k\iff x-4=(kx+k)(2x-2)\iff 2k{x}^2-(k+1)x-2k+4=0$ (với $x\ne 1$).
Để $A,B$ cùng cách đều trục hoành $y=0$ thì $|y_A|=|y_B|\iff |k(x_A+1)|=|k(x_B+1)|$.
Vì $k\ne 0$ và $A,B$ phân biệt ($x_A\ne x_B$), ta phải có $x_A+1=-(x_B+1)\iff x_A+x_B+2=0$.
Theo định lý Viète: $x_A+x_B=\frac{k+1}{2k}$.
Do đó $\frac{k+1}{2k}+2=0\iff \frac{5k+1}{2k}=0\iff k=-\frac{1}{5}=-0.2$.
Ta thấy $-0.2\in (-1;0)$.
Vậy chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+x^2+2x-3=2x-3\iff x^3+x^2=0\iff x^2(x+1)=0\iff x=0$ hoặc $x=-1$.
Vì điểm $B$ có hoành độ âm nên $x_B=-1$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x+3}{x+1}=2x+m\iff 2x^2+(m+1)x+m-3=0$ ($x\ne -1$).
$\Delta =(m+1{)}^2-8(m-3)=m^2-6m+25=(m-3{)}^2+16>0,\forall m$.
Theo định lí Vi-et: $x_1+x_2=-\frac{m+1}{2},x_1{x}_2=\frac{m-3}{2}$.
$M{N}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2=5[(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2]=\frac{5}{4}[(m-3{)}^2+16]\ge 20$.
Đẳng thức xảy ra khi $m=3$.

Phương trình tương đương $x^3-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x=\frac{m^2-6m}{4}$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng $y=\frac{m^2-6m}{4}$.
Từ đồ thị, để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt thì $\frac{m^2-6m}{4}=0\iff m^2-6m=0\iff m=0$ hoặc $m=6$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{4x-m^2}{x-1}=x+1\iff x^2-4x+m^2-1=0$ ($x\ne 1$).
Đường thẳng cắt đồ thị tại đúng một điểm khi và chỉ khi:
- TH1: Phương trình có nghiệm kép khác 1: ${\Delta }^{\prime }=4-(m^2-1)=5-m^2=0\iff m=\pm \sqrt{5}$ (nghiệm kép $x=2\ne 1$, thỏa mãn).
- TH2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm là $x=1$: thay $x=1$ vào ta có $1-4+m^2-1=0\iff m^2=4\iff m=\pm 2$. Khi $m=\pm 2$, nghiệm còn lại là $x=3\ne 1$, thỏa mãn.
Vậy $S=\{-\sqrt{5},\sqrt{5},-2,2\}$. Tích các phần tử: $(-\sqrt{5})\cdot \sqrt{5}\cdot (-2)\cdot 2=(-5)\cdot (-4)=20$.

Đặt $u=\sqrt{2f^2(x)+5}\ge \sqrt{5}$. Phương trình trở thành:
$\frac{4m^3+m}{u}=\frac{u^2+1}{2}\iff 8m^3+2m=u^3+u\iff (2m{)}^3+2m=u^3+u$.
Vì hàm số $h(t)=t^3+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $2m=u=\sqrt{2f^2(x)+5}\Rightarrow 2m\ge \sqrt{5}\Rightarrow m>0$.
Khi đó $4m^2=2f^2(x)+5\iff f^2(x)=\frac{4m^2-5}{2}$.
Từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ có 3 nghiệm khi và chỉ khi $f^2(x)=16\iff \frac{4m^2-5}{2}=16\iff 4m^2=37\iff m=\frac{\sqrt{37}}{2}$ (do $m>0$).

Phương trình $x^4-2x^2=m⟺x^4-2x^2-2=m-2$. Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu (Mã đề 001), đáp án là B ($-3<m<-2$). Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm ($x\ne 1$): $x+1=(-x+m)(-x+1)⟺x^2-mx+m-1=0⟺(x-1)(x-m+1)$? Kiểm tra lại: $(-x+m)(-x+1)=x^2-(m+1)x+m=x+1⟺x^2-(m+2)x+m-1=0$. Khi đó $A{B}^2=2[(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2]=2[(m+2{)}^2-4(m-1)]=2(m^2+8)=24⟺m^2=4⟺m=\pm 2$. Chọn A.