Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Xét các phương án: A sai vì $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}=-2\overrightarrow{MA}$; B sai vì $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{BM}$; C đúng vì $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$; D sai vì $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ (cùng hướng), không phải $-\overrightarrow{MB}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (không phải $\overrightarrow{BD}$); $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}$; $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}$ không bằng $\overrightarrow{DB}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{a}=k\vec{b}$, lấy độ dài hai vế: $\left|\vec{a}\right|=\left|k\vec{b}\right|=|k|\left|\vec{b}\right|$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước, vecto có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B$ được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ (mũi tên chỉ từ điểm đầu đến điểm cuối). $AB$ là đoạn thẳng, $\overrightarrow{BA}$ là vecto ngược chiều, còn $\left|\overrightarrow{AB}\right|$ là độ dài vecto $\overrightarrow{AB}$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định bằng quy tắc ba điểm (tổng hai vectơ có cùng điểm cuối/đầu):
- A: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}$: hai vectơ cùng điểm cuối $A$, không áp dụng trực tiếp quy tắc ba điểm; $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{AB}$, không bằng $\overrightarrow{CB}$ nói chung. Sai.
- B: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ là tổng hai vectơ cùng xuất phát $A$, theo quy tắc hình bình hành cho vectơ $\overrightarrow{AD}$ (với $ABDC$ là hình bình hành), không phải $\overrightarrow{BC}$. Sai.
- C: $\overrightarrow{AA}=\vec{0}$, $\overrightarrow{BB}=\vec{0}$ nên tổng bằng $\vec{0}\ne \overrightarrow{AB}$. Sai.
- D: $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NP}$ (giao hoán và quy tắc ba điểm với điểm chung $M$). Đúng.
Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc trừ vectơ: $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BS}=\overrightarrow{BA}$ (vì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{SB}$... xét tam giác $SAB$: $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{SA}$, suy ra $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{BA}$). Vậy mệnh đề đúng là C. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{SA}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{SB}$; B sai vì hiệu bằng $\overrightarrow{BA}$ chứ không phải $\overrightarrow{AB}$; D sai vì $\overrightarrow{SC}$ không liên quan.

(AI giải đề cho tôi)
Góc giữa hai vectơ bằng $0^{\circ }$ nghĩa là hai vectơ cùng phương và cùng chiều (cùng hướng). Độ dài có thể khác nhau nên B sai; ngược hướng/đối nhau ứng với góc $180^{\circ }$ nên A, D sai. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên đáp án B. Các phương án khác sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$; $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}$; $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ nằm giữa $M,N$ và $MP=3PN$ nên $MN=MP+PN=4PN$, suy ra $PN=\frac{1}{4}MN$ và $MP=\frac{3}{4}MN$ (cùng hướng với $\overrightarrow{MN}$). Xét từng đáp án: A sai vì $\overrightarrow{MP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{MN}$ (cùng hướng, không phải dấu trừ). B sai vì $\overrightarrow{NP}=-\overrightarrow{PN}$ nên $3\overrightarrow{NP}=-3\overrightarrow{PN}$ ngược hướng với $\overrightarrow{MP}$. C sai vì $\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{PN}=-4\overrightarrow{NP}$. D đúng vì $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{PN}$ cùng hướng từ $P$ về $N$... chính xác hơn: $\overrightarrow{MP}$ cùng hướng với $\overrightarrow{PN}$ (cùng chiều $M\to N$) và độ dài gấp 3 lần, nên $\overrightarrow{MP}=3\overrightarrow{PN}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài vector $\overrightarrow{AB}$ bằng khoảng cách giữa hai điểm $A$ và $B$, tức bằng độ dài cạnh $AB=2$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=2$, phương án B đúng. Phương án A sai vì vector không thể bằng một số; C sai vì so sánh một số với một vector; D sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có phương khác nhau nên không bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ (theo thứ tự đỉnh $A,B,C,D$), theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (với $AC$ là đường chéo xuất phát từ $A$). Kiểm tra các phương án: A sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}$; B sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$; C sai vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (không phải $\overrightarrow{CD}$). Vậy đáp án đúng là D, khớp với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (vì $AC$ là đường chéo xuất phát từ đỉnh chung $A$). Xét các phương án: A sai vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (không phải $\overrightarrow{CD}$); C sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$; D sai vì tổng bằng $\overrightarrow{AC}$ chứ không phải $\overrightarrow{BD}$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}$ (A đúng) và $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$ (D đúng). Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $AI$ với $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}$ (B đúng). Do đó mệnh đề $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}$ (C) là SAI. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh 2 nên độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ bằng khoảng cách $AB=2$, tức $\left|\overrightarrow{AB}\right|=2$: khẳng định A đúng. B sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài nhưng khác phương (góc $60^{\circ }$). C sai vì vectơ không thể bằng một số. D sai vì so sánh một số với một vectơ là vô nghĩa. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2, Mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ 3 đỉnh A, B, C, mỗi cặp đỉnh phân biệt tạo được một vector (có điểm đầu và điểm cuối). Số cách chọn điểm đầu và điểm cuối từ 3 đỉnh là $3\times 2=6$, gồm: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB}$. Vậy có 6 vector, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=4\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=16\cdot \frac{1}{2}=8$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 2102, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a},\vec{b})=4\cdot 4\cdot \cos 60^{\circ }=16\cdot \frac{1}{2}=8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2101, Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$). Do đó A, B sai (tổng phải là $\overrightarrow{AC}$, không phải $\overrightarrow{BD}$ hay $\overrightarrow{DB}$), C sai vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ chứ không phải $\overrightarrow{CD}$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, rồi $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (đường chéo hình hộp xuất phát từ $A$). Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, khớp đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ khác véc tơ $\vec{0}$: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}|.|\vec{b}|.\cos \left(\vec{a},\vec{b}\right)$. Do đó khẳng định đúng là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 4: B).