Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$. Vậy đẳng thức đúng là $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$, tương ứng phương án C. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BC}$; B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không đơn giản thành $\overrightarrow{BC}$; D sai vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}$, không bằng $\overrightarrow{AC}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{u}=(x;y)$ và $\vec{v}=(x^{\prime };y^{\prime })$ theo định nghĩa là $\vec{u}\cdot \vec{v}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }$, một số vô hướng. Các phương án A, C cho kết quả là vectơ (sai bản chất), D sai công thức. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{IB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ và có độ dài bằng nửa $\overrightarrow{AB}$, do đó $\overrightarrow{IB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (đáp án D). Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{IA}$ ngược hướng $\overrightarrow{IB}$ nên A sai; $\overrightarrow{IA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ nên B sai; $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$ nên C sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và cùng độ dài. Cùng phương nhưng ngược hướng thì không bằng nhau, nên D sai; chỉ cùng độ dài (A) hoặc cùng phương (C) đều chưa đủ. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác ABC nên theo tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, tức phương án B đúng. Xét các phương án còn lại: A sai vì $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{GC}$ chỉ xảy ra khi $G$ trùng cả ba đỉnh, vô lý. C sai vì từ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{GC}\ne \overrightarrow{GC}$ (vì $\overrightarrow{GC}\ne \vec{0}$). D sai vì gọi $M$ là trung điểm $AC$ thì $\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BM}$, tức $G$ nằm trên trung tuyến $BM$; nói chung $A$ không thuộc đường thẳng $BM$ nên $\overrightarrow{AB}$ không thể là bội của $\overrightarrow{BG}$, do đó $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{BG}$ sai. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức mã đề 1002: B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều cạnh $BC=5$. Với số $k=4>0$, ta có $\left|4\overrightarrow{BC}\right|=4\cdot \left|\overrightarrow{BC}\right|=4\cdot 5=20$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ (hai vectơ đối nhau). Các phương án khác sai: $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$, $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$, và $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{MB}$ (không phải $2\overrightarrow{BM}$). Khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=4\cdot 7\cdot \cos 60^{\circ }=28\cdot \frac{1}{2}=14$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ đều cạnh $AB=3$, nên $|\overrightarrow{AB}|=3$. Do đó $|5\overrightarrow{AB}|=5\cdot |\overrightarrow{AB}|=5\cdot 3=15$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$, theo hình vẽ: $E$ nằm trên $A$, $F$ trên $B$, $G$ trên $C$, $H$ trên $D$. Xét từng phương án:
- $\overrightarrow{HE}$: hướng từ $H$ về $E$ là hướng ngược với $\overrightarrow{AD}$ (vì $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$), nên $\overrightarrow{HE}=-\overrightarrow{AD}$, sai.
- $\overrightarrow{BD}$: là đường chéo hình chữ nhật $ABCD$, không song song với $AD$, sai.
- $\overrightarrow{CB}$: ngược hướng với $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{AD}$, sai.
- $\overrightarrow{FG}$: vì $EFGH$ là hình chữ nhật với $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AD}$ (do $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{DH}$), nên $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{AD}$, đúng.
Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1201: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (A đúng). Tương tự với đỉnh $B$: $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (C đúng). Vì $AB\parallel CD$ và $AB=CD$ cùng chiều nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (D đúng). Còn $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ không bằng $\overrightarrow{AD}$ (thực tế $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, không trùng $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$), nên mệnh đề B sai.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ có góc $A=60^{\circ }$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB|\cdot |AC|\cos 60^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có cùng độ dài. A sai vì cùng độ dài nhưng có thể khác hướng; B sai vì cùng hướng nhưng độ dài có thể khác nhau; D sai vì cùng phương gồm cả trường hợp ngược hướng. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$, không phải $\overrightarrow{AB}$. b) Đúng: O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm AC, do đó $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$. c) Đúng: vectơ $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu A, điểm cuối B. d) Sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ nên vế trái là một số (độ dài $|\overrightarrow{AC}|$), không thể bằng một vectơ $\overrightarrow{AC}$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}\ne \overrightarrow{AB}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
O là trung điểm AC nên $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước, $\overrightarrow{AB}$ có điểm đầu A và điểm cuối B.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$, nên vế trái là độ dài (số dương), không thể bằng vectơ $\overrightarrow{AC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=2\cdot 7+(-5)\cdot 9=14-45=-31$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: -31).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{AM}$. Suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a};\vec{b})=2\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Vậy khẳng định đúng là $\vec{a}\cdot \vec{b}=5$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, các cạnh song song và bằng nhau nên vectơ tương đương: $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$. Xét từng phương án: A sai vì $\overrightarrow{BD}$ nằm trong mặt phẳng đáy còn $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ là cạnh bên, hai vectơ không cùng phương. B sai vì $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}$ nên $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{BD}$. C sai vì $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$ (do $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$). D đúng vì $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, cùng hướng và bằng nhau. Đáp án D khớp với đáp án nguồn (Mã đề 121, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=m\vec{b}$ và $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng nên $m<0$. Lấy giá trị tuyệt đối: $|\vec{a}|=|m||\vec{b}|\Rightarrow 5=|m|\cdot 15\Rightarrow |m|=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$. Suy ra $m=-\frac{1}{3}\approx -0,3$ (làm tròn đến hàng phần chục). Kết quả trùng với đáp án nguồn: $-0,3$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc tổng vectơ liên tiếp: $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}=\overrightarrow{MR}$. Do đó $\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QR}+\overrightarrow{RP}=\overrightarrow{MR}+\overrightarrow{RP}=\overrightarrow{MP}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 123, Câu 8: D).