Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành: $|\vec{F}{|}^2=|{\vec{F}}_1{|}^2+|{\vec{F}}_2{|}^2+2|{\vec{F}}_1||{\vec{F}}_2|\cos 60^{\circ }=150^2+450^2+2\cdot 150\cdot 450\cdot \frac{1}{2}=22500+202500+67500=292500$. Vậy $|\vec{F}|=\sqrt{292500}\approx 540,83\approx 541$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Công của lực $\vec{F}$: $A=F\cdot s\cdot \cos \alpha =65\cdot 4\cdot \cos 69^{\circ }=260\cos 69^{\circ }\approx 260\times 0,358368\approx 93,2$ J. Vậy công sinh bởi lực là khoảng $93,2$ J.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ: $A$ trên-trái, $B$ trên-phải, $C$ dưới-phải, $D$ dưới-trái, tâm $O$ giao hai đường chéo. Chọn hệ tọa độ $D(0;0),A(0;a),B(a;a),C(a;0)$, khi đó $O(a/2;a/2)$.
a) $|\overrightarrow{CB}|=a$ còn $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo), nên $|\overrightarrow{CB}|\ne |\overrightarrow{CA}|$ → Sai.
b) $O$ là trung điểm $DB$ nên $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{AB}=(a;0)$ còn $\overrightarrow{CD}=(a;0)-(a;0)$... cụ thể $\overrightarrow{CD}=D-C=(0;0)-(a;0)=(-a;0)=-\overrightarrow{AB}$, hai vecto ngược hướng → Sai.
d) $\overrightarrow{DB}=(a;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-a)$, tích vô hướng $\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{BC}=a\cdot 0+a\cdot (-a)=-a^2$ → Đúng. (Hoặc: góc giữa $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ có $\cos =\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, tích $=a\sqrt{2}\cdot a\cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})=-a^2$.) Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{CB}|=a$ (cạnh hình vuông) còn $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo), nên đẳng thức sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là giao hai đường chéo nên là trung điểm của $DB$, do đó $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ cùng độ dài nhưng ngược hướng: $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $D(0;0),B(a;a),C(a;0)$: $\overrightarrow{DB}=(a;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-a)$, tích vô hướng $=0-a^2=-a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $|\vec{b}|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=5\ne 1$ → Sai. b) $\overrightarrow{PQ}=(7-2;-4-3)=(5;-7)$ → Đúng. c) $\vec{c}=\vec{a}-2\vec{b}=(4;-6)-2(-3;4)=(10;-14)$. Vì $\vec{c}=2\cdot (5;-7)=2\overrightarrow{PQ}$ nên hai vectơ cùng phương → Đúng. d) $\vec{a}=4\vec{i}-6\vec{j}=(4;-6)\ne (2;-3)$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (2a S, 2b D, 2c D, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$|\vec{b}|=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=5\ne 1$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{PQ}=(7-2;-4-3)=(5;-7)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{c}=(4;-6)-2(-3;4)=(10;-14)=2(5;-7)=2\overrightarrow{PQ}$, nên hai vectơ cùng phương, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}=4\vec{i}-6\vec{j}=(4;-6)\ne (2;-3)$, mệnh đề sai.

Vẽ $\overrightarrow{OA}={\vec{F}}_1,\overrightarrow{OB}={\vec{F}}_2\Rightarrow {\vec{F}}_1+{\vec{F}}_1=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$, OACB là hình bình hành.

Do $OA=OB$ và $\widehat{AOB}=60^{\circ }$ nên $\Delta OAB$ đều (0,25 điểm).

Ta có: $\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=2.\frac{OA\sqrt{3}}{2}=OA\sqrt{3}=70\sqrt{3}$.

Vậy cường độ lực tổng hợp của ${\overrightarrow{F}}_1$ và ${\overrightarrow{F}}_2$ bằng $70\sqrt{3}(N)$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ $D(0;0),C(a;0),B(a;a),A(0;a)$, tâm $O(a/2;a/2)$.

a) $\overrightarrow{DB}=(a;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-a)$ nên $\overrightarrow{DB}\cdot \overrightarrow{BC}=0-a^2=-a^2$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) $|\overrightarrow{CB}|=a$ còn $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông), nên $|\overrightarrow{CB}|\ne |\overrightarrow{CA}|$. Mệnh đề SAI.

c) $\overrightarrow{AB}=(a;0)$ còn $\overrightarrow{CD}=(-a;0)$, hai vecto ngược hướng nên không bằng nhau. Mệnh đề SAI.

d) $O$ là trung điểm $DB$ nên $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$ (cùng tọa độ $(a/2;a/2)$). Mệnh đề ĐÚNG.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $D(0;0),C(a;0),B(a;a)$: $\overrightarrow{DB}=(a;a)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-a)$, tích vô hướng $=-a^2$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{CB}|=a$ còn $|\overrightarrow{CA}|=a\sqrt{2}$, không bằng nhau. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(a;0)$ và $\overrightarrow{CD}=(-a;0)$ ngược hướng nên khác nhau. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$O$ là trung điểm đường chéo $DB$ nên $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên theo định lý Pythagore: $CA=\sqrt{B{A}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5cm$. Vậy độ dài vectơ $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}$ bằng $5cm$, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 1 Phần III: 5).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, lực $\vec{F}$ hợp với phương ngang ($\overrightarrow{AB}$) góc $30^{\circ }$, được phân tích thành $\overrightarrow{F_1}$ thẳng đứng và $\overrightarrow{F_2}$ nằm ngang cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$.

- Độ lớn: $F_1=F\sin 30^{\circ }=50\cdot \frac{1}{2}=25N$; $F_2=F\cos 30^{\circ }=25\sqrt{3}N$.
- Công của $\vec{F}$: $m=F\cdot AB\cdot \cos 30^{\circ }=50\cdot 150\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3750\sqrt{3}J$.
- $\overrightarrow{F_1}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$ nên $n=0$.
- $\overrightarrow{F_2}$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$ nên $k=F_2\cdot AB=25\sqrt{3}\cdot 150=3750\sqrt{3}J$.

$$S=\frac{m}{15}+\frac{n}{10}-\frac{k}{16}=\frac{3750\sqrt{3}}{15}+0-\frac{3750\sqrt{3}}{16}=3750\sqrt{3}\left(\frac{1}{15}-\frac{1}{16}\right)=\frac{3750\sqrt{3}}{240}=15,625\sqrt{3}\approx 27,1.$$

Vẽ $\overrightarrow{OA}={\vec{F}}_1,\overrightarrow{OB}={\vec{F}}_2\Rightarrow {\vec{F}}_1+{\vec{F}}_1=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$, OACB là hình bình hành.



Do $OA=OB$ và $\widehat{AOB}=60^{\circ }$ nên $\Delta OAB$ đều (0,25 điểm).

Ta có: $\left|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right|=\left|\overrightarrow{OC}\right|=2.\frac{OA\sqrt{3}}{2}=OA\sqrt{3}=70\sqrt{3}$.

Vậy cường độ lực tổng hợp của ${\overrightarrow{F}}_1$ và ${\overrightarrow{F}}_2$ bằng $70\sqrt{3}(N)$ (0,25 điểm).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc $A$: $A(0;0)$, $B(3;0)$, $C(0;4)$. Vì $MB=3MC$ nên $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $\frac{MB}{BC}=\frac{3}{4}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$. Do đó $M\left(\frac{3}{4};3\right)$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(-3;4)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{3}{4}\cdot (-3)+3\cdot 4=-\frac{9}{4}+12=\frac{39}{4}=9,75$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 9,75.

+) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG=6\Rightarrow MG=2$ (0,25 đ)
+) Vì G cố định nên tập hợp điểm M là đường tròn tâm G, bán kính bằng 2. (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ tam giác nên $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$. Trong tam giác $ABC$, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ nên theo tính chất đường trung bình $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Do đó $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}$, khẳng định D đúng. Các phương án khác sai: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BM}$; $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{MN}\ne 2\overrightarrow{MN}$; $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\ne 2\overrightarrow{BC}$. Kết quả khớp với bảng đáp án chính thức (Mã đề 1102, Câu 3 = D, trang 9).

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ đứng song song, ta có $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}$ (hai vectơ cùng phương, cùng hướng). Do đó góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}$ bằng góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CB}$, tức là góc $\widehat{ACB}$ của tam giác đều $ABC$ cạnh 4. Tam giác đều có mọi góc bằng $60^{\circ }$, nên góc giữa hai vectơ bằng $60^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $A^{\prime }AC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AC})$. Trong hình lập phương, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, tức $a=1,b=3$, $M=a^2+b^2=1+9=10$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 1 = 10).

a) Đúng. Vì $VT=VP=\overrightarrow{BD}$. b) Sai. c) Đúng. Vì $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$. d) Đúng.
a) Lời giải: Đúng. Vì $VT=VP=\overrightarrow{BD}$.
b) Lời giải: Sai.
c) Lời giải: Đúng. Vì $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
d) Lời giải: Đúng.

Đáp số: 6
Dựng $\overrightarrow{A{B}_1}=2\overrightarrow{AB}\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{B}_1}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{B}_1}$.
Suy ra: $\left|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{C{B}_1}\right|=C{B}_1=AB\sqrt{2}=6$.

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. Vì $VT=VP=\overrightarrow{BD}$. d) Đúng. Vì $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.
a) Lời giải: (a) Sai.
b) Lời giải: (b) Đúng.
c) Lời giải: (c) Đúng. Vì $VT=VP=\overrightarrow{BD}$.
d) Lời giải: (d) Đúng. Vì $\left|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$.

Đáp số: 6
Dựng $\overrightarrow{A{B}_1}=2\overrightarrow{AB}\Rightarrow 2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A{B}_1}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C{B}_1}$.
Suy ra: $\left|2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{C{B}_1}\right|=C{B}_1=AB\sqrt{2}=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (theo hình vẽ: $A,D$ là đỉnh sau dưới, $B,C$ là đỉnh trước dưới, $B^{\prime },C^{\prime }$ là đỉnh trước trên), vecto $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ đi theo cạnh trên trước từ trái sang phải. Ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC\parallel AD$ và cùng hướng (vì $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ cùng chiều nên $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$; tương tự $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ cùng chiều nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$). Xét các đáp án: $\overrightarrow{AB}$ có phương vuông góc (theo chiều sâu) với $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$ nên loại; $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$ nên loại; $\overrightarrow{DA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AD}$ nên loại. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$, khớp đáp án B trong bảng đáp án nguồn (mã đề 2025, câu 3: B).