Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $K$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Vì $M$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})$. Suy ra $\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})$. Mà $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}$, tức $\overrightarrow{AB}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{BM})$. Vậy $k=\frac{2}{3}\approx 0,67$, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
a) M là trung điểm AB nên MA + MB = 0 → đúng. b) 2MN = MC + MD... tổng quát: MN = ½(C + D − A − B) nên 2MN = AC + BD → đúng. c) I là trung điểm MN nên I = ¼(A + B + C + D), suy ra IA + IB + IC + ID = 4·(tọa độ I − trung bình) = 0 → đúng. d) G là trọng tâm tam giác BCD nên AG = ⅓(AB + AC + AD) = ⅓(B + C + D − 3A). Còn AI = ¼(B + C + D − 3A), do đó 3AI = ¾(B + C + D − 3A) = (9/4)AG ≠ 2AG → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm AB nên MA + MB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
MN = ½(MC + MD) = ½[(AC) + (AD)]... chính xác: 2MN = (C − A) + (D − B) = AC + BD.
c) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm MN nên I = ¼(A + B + C + D), do đó IA + IB + IC + ID = 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
AG = ⅓(B + C + D − 3A) còn 3AI = ¾(B + C + D − 3A) = (9/4)AG ≠ 2AG.

a) Phương trình chuyển động tên lửa: $$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\end{array}\text{( với }t\ge 0\text{)}$$ [0,25 điểm]
Tại $t=50s$, tọa độ điểm $B$ là: $x_B=50,y_B=2\cdot 50=100\Rightarrow \mathbf{B}(50;100)$. [0,25 điểm]
b) Mục tiêu đi từ $A(20;60)$ đến $B(50;100)$ trong 50 giây.
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(50-20;100-60)=(30;40)$. [0,25 điểm]
Vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2=\frac{\overrightarrow{AB}}{\Delta t}=\left(\frac{30}{50};\frac{40}{50}\right)=(0,6;0,8)$.
Tốc độ của mục tiêu: $\left|{\vec{v}}_2\right|=\sqrt{0,6^2+0,8^2}=1$ (km/s). [0,25 điểm]

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}(1;-2)$, $\vec{b}(3;y)$. Điều kiện góc $45^{\circ }$: $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3-2y}{\sqrt{5}\sqrt{9+y^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Bình phương: $\frac{(3-2y{)}^2}{5(9+y^2)}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2(9-12y+4y^2)=45+5y^2\Rightarrow 3y^2-24y-27=0\Rightarrow y^2-8y-9=0\Rightarrow y=9$ hoặc $y=-1$. Kiểm tra: với $y=9$, $\vec{a}\cdot \vec{b}=3-18=-15<0$ nên góc là $135^{\circ }$ (loại do bình phương). Với $y=-1$: $\cos =\frac{5}{\sqrt{5}\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa góc $45^{\circ }$. Vậy $y=-1$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ dự tính ban đầu $\overrightarrow{AB}=(0;46)$, vectơ thực tế $\overrightarrow{AC}=(35;46)$. Góc lệch $\alpha$ thỏa $\cos \alpha =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{0\cdot 35+46\cdot 46}{46\cdot \sqrt{35^2+46^2}}=\frac{46}{\sqrt{3341}}\approx 0,7958$. Suy ra $\alpha =\arccos (0,7958)\approx 37,3^{\circ }\approx 37^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (37).

Gọi $K$ là trung điểm của $CD$. Gọi $E$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}$. Khi đó, $\overrightarrow{EA}-\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}\iff \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{EC}=\vec{0}$. Suy ra $E\equiv D$. Vậy $T=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|+2\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MK}\right|+2\left|\overrightarrow{ME}\right|=2(MK+ME)=2(MK+MD)\ge 2KD\iff T\ge 8$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AC}=\vec{c}$ với $|\vec{a}|=1$, $|\vec{c}|=x$ và $\vec{a}\cdot \vec{c}=1\cdot x\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{x}{2}$.

Từ $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$: $\vec{C}-\vec{M}=-2(\vec{B}-\vec{M})\Rightarrow 3\vec{M}=\vec{C}+2\vec{B}$, suy ra $\overrightarrow{AM}=\frac{\vec{c}+2\vec{a}}{3}$.

Từ $\overrightarrow{NB}=-2\overrightarrow{NA}$: $\vec{B}-\vec{N}=-2(\vec{A}-\vec{N})\Rightarrow 3\vec{N}=\vec{B}+2\vec{A}$, suy ra $\overrightarrow{AN}=\frac{\vec{a}}{3}$ và $\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AC}=\frac{\vec{a}-3\vec{c}}{3}$.

Điều kiện $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{CN}$:
$$(\vec{c}+2\vec{a})\cdot (\vec{a}-3\vec{c})=0\iff \vec{a}\cdot \vec{c}-3x^2+2-6\vec{a}\cdot \vec{c}=0$$
$$\iff \frac{x}{2}-3x^2+2-3x=0\iff 6x^2+5x-4=0\iff x=\frac{-5+\sqrt{121}}{12}=\frac{1}{2}$$
(nghiệm âm loại vì $x>0$).

Vậy $x=\frac{1}{2}$, khớp đáp án D (bảng đáp án mã đề 1009, câu 13: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C\left(\frac{a}{2};\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$.

- $\overrightarrow{MC}=-2\overrightarrow{MB}$ nên $M$ chia $BC$ theo tỉ lệ $MB:MC=1:2$, suy ra $M=\frac{2B+C}{3}=\left(\frac{5a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$.
- $\overrightarrow{NA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{NC}$ nên $NA:NC=1:2$, suy ra $N=\frac{2A+C}{3}=\left(\frac{a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$.
- $P$ trên $AB$ với $AP=\frac{4a}{15}$ nên $P=\left(\frac{4a}{15};0\right)$.

a) $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{5a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$, $\overrightarrow{PN}=\left(\frac{a}{6}-\frac{4a}{15};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)=\left(-\frac{a}{10};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$. Tích vô hướng: $\frac{5a}{6}\cdot \left(-\frac{a}{10}\right)+\frac{\sqrt{3}a}{6}\cdot \frac{\sqrt{3}a}{6}=-\frac{5a^2}{60}+\frac{5a^2}{60}=0$. Vậy $AM\perp PN$: ĐÚNG.

b) $|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{28a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}$, suy ra $|\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}\ne \frac{a\sqrt{7}}{6}$: SAI.

c) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$: ĐÚNG.

d) $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$, khác với $\frac{4}{15}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$: SAI.

Kết quả khớp đáp án nguồn: ĐSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $M\left(\frac{5a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$, $P\left(\frac{4a}{15};0\right)$, $N\left(\frac{a}{6};\frac{\sqrt{3}a}{6}\right)$ ta có $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{PN}=-\frac{5a^2}{60}+\frac{5a^2}{60}=0$ nên $AM\perp PN$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{AM}{|}^2=\frac{25a^2}{36}+\frac{3a^2}{36}=\frac{7a^2}{9}$ nên $|\overrightarrow{AM}|=\frac{a\sqrt{7}}{3}$, không phải $\frac{a\sqrt{7}}{6}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều nên góc $A=60^{\circ }$: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2\cos 60^{\circ }=\frac{a^2}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{15}\overrightarrow{AB}$, khác khẳng định đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ gốc A, trục Ox chứa B: A(0;0), B(5;0), C(3;3$\sqrt{3}$) vì AC=6, góc BAC=60°. a) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cos 60^0=25+36-30=31$ nên $BC=\sqrt{31}\ne \sqrt{46}$ → sai. b) D là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$ → đúng. c) D(4; $\frac{3\sqrt{3}}{2}$), E=k\overrightarrow{AC} nên E(3k; 3$\sqrt{3}$k). $\overrightarrow{AD}=(4;\frac{3\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{BE}=(3k-5;3\sqrt{3}k)$. Tích vô hướng: $4(3k-5)+\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot 3\sqrt{3}k=12k-20+\frac{27}{2}k=\frac{51}{2}k-20=0\Rightarrow k=\frac{40}{51}$ → đúng. d) $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 6\cdot \cos 60^0=15\ne 30$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B{C}^2=25+36-2\cdot 5\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=31$ nên $BC=\sqrt{31}\ne \sqrt{46}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì D là trung điểm BC nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$ (tính chất trung điểm).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ A(0;0), B(5;0), C(3;3$\sqrt{3}$): D(4;$\frac{3\sqrt{3}}{2}$), E(3k;3$\sqrt{3}$k). $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BE}=\frac{51}{2}k-20=0\Rightarrow k=\frac{40}{51}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=5\cdot 6\cdot \cos 60^0=15\ne 30$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
(I) Sai. $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AB}$, nên hai vecto đối nhau chứ không bằng nhau.
(II) Đúng. $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$; mặt khác $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=-\overrightarrow{A^{\prime }D}$. Vậy hai vecto đối nhau. (Kiểm tra tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(b;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;c)$ thì $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0;a;-c)$ và $\overrightarrow{C{B}^{\prime }}=(0;-a;c)=-\overrightarrow{A^{\prime }D}$.)
(III) Sai. $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}$ còn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, hai vecto này không cùng phương (với hình hộp đứng thì $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\perp \overrightarrow{AC}$).
(IV) Đúng. Các vecto khác $\vec{0}$ bằng $\overrightarrow{BC}$ là: $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}$ — đúng 3 vecto.
Vậy có 2 mệnh đề đúng là (II) và (IV), chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực có độ lớn 60N hợp nhau góc 120° nên hợp của chúng có độ lớn $\sqrt{60^2+60^2+2\cdot 60\cdot 60\cos 120^0}=\sqrt{3600+3600-3600}=60$ (N), hướng theo phân giác góc 120°. Lực thứ ba 80N vuông góc với mặt phẳng chứa hai lực đó nên vuông góc với hợp vừa tìm được. Vậy hợp lực của ba lực có độ lớn $\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{10000}=100$ (N).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{C^{\prime }C}=\vec{u},\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{v},\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}=\vec{w}$. Vì $D^{\prime }{A}^{\prime }\parallel C^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\vec{v}+\vec{w}$; suy ra $\overrightarrow{C^{\prime }A}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}$ và $\overrightarrow{C^{\prime }D}=\vec{u}+\vec{v}$ (vì $CD\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$). Vì $M$ là trung điểm $AD$: $\overrightarrow{C^{\prime }M}=\frac{\overrightarrow{C^{\prime }A}+\overrightarrow{C^{\prime }D}}{2}=\vec{u}+\vec{v}+\frac{1}{2}\vec{w}$. Vậy $a=1,b=1,c=\frac{1}{2}$, nên $a+b+c=\frac{5}{2}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Phần II):

a) $\vec{a}\cdot \vec{b}=SA\cdot SB\cos 60^{\circ }=4\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=12\ne 24$ → sai.

b) Từ $2\overrightarrow{SI}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ suy ra $\overrightarrow{SI}=-\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c})$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{SG}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$. Do đó $\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{SI}-\overrightarrow{SG}=-\frac{\vec{a}}{3}-\frac{5\vec{b}}{6}-\frac{5\vec{c}}{6}$; số hạng $\frac{5\vec{b}}{6}$ trong đề mang dấu $+$ nên sai.

c) Với $\vec{a}\cdot \vec{b}=12$, $\vec{a}\cdot \vec{c}=40\cos 120^{\circ }=-20$, $\vec{b}\cdot \vec{c}=0$:
$|\overrightarrow{GI}{|}^2=\frac{16}{9}+\frac{25\cdot 36}{36}+\frac{625}{9}+2\cdot \frac{5}{18}\cdot 12+2\cdot \frac{5}{18}\cdot (-20)+0=\frac{16+225+625+60-100}{9}=\frac{826}{9}$, nên $GI=\frac{\sqrt{826}}{3}$ → đúng.

d) Kiểm tra lại (báo cáo issue cho giá trị $-22$ là sai): $\overrightarrow{GI}\cdot \overrightarrow{AB}=(-\frac{\vec{a}}{3}-\frac{5\vec{b}}{6}-\frac{5\vec{c}}{6})\cdot (\vec{b}-\vec{a})=-\frac{12}{3}+\frac{16}{3}-\frac{5\cdot 36}{6}+\frac{5\cdot 12}{6}-0+\frac{5\cdot (-20)}{6}=\frac{4}{3}-30+10-\frac{100}{6}=-\frac{106}{3}$. $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{36+16-24}=2\sqrt{7}$, $|\overrightarrow{GI}|=\frac{\sqrt{826}}{3}$. $\cos \theta =\frac{-106/3}{(\sqrt{826}/3)(2\sqrt{7})}=\frac{-53}{\sqrt{5782}}\approx -0,697$, suy ra $\theta \approx 134,2^{\circ }\ne 80,6^{\circ }$ → sai.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=4\cdot 6\cos 60^{\circ }=12\ne 24$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GI}=-\frac{\vec{a}}{3}-\frac{5\vec{b}}{6}-\frac{5\vec{c}}{6}$, số hạng $\frac{5\vec{b}}{6}$ phải mang dấu trừ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$|\overrightarrow{GI}{|}^2=\frac{826}{9}$ nên $GI=\frac{\sqrt{826}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GI}\cdot \overrightarrow{AB}=-\frac{106}{3}$, $\cos \theta =\frac{-53}{\sqrt{5782}}\approx -0,697$ nên góc $\approx 134,2^{\circ }\ne 80,6^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm lục giác đều $ABCDEF$ nên $\overrightarrow{OB}$ nằm trên đường chéo $BE$. Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của lục giác và cùng phương với $BE$ là: đường thẳng $BE$, đường thẳng $CD$ và đường thẳng $FA$ (do $CD\parallel BE$ và $FA\parallel BE$ trong lục giác đều). Trên mỗi đường thẳng có đúng 2 vecto khác vecto không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác: $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{EB}$; $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$; $\overrightarrow{FA},\overrightarrow{AF}$. Tổng cộng $2\times 3=6$ vecto. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, ta có tính chất $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ (với $H$ là trực tâm). Suy ra $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$. Vậy $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{OM}$, do đó hai vecto luôn cùng hướng (tam giác không cân, không vuông tại $A$ nên cả hai vecto đều khác $\overrightarrow{0}$). Kiểm tra các phương án: A sai vì không cần điều kiện tam giác nhọn; C sai vì cùng hướng chứ không ngược hướng; D sai vì $|\overrightarrow{AH}|=2|\overrightarrow{OM}|$ nên không cùng giá. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $B^{\prime }$ đối xứng của $B$ qua $O$ nên $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{OB}$, suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$. Với trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $O$ có tính chất $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$, do đó $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$. a) $B^{\prime }C\parallel AH$ và $AH\perp BC$ (tính chất trực tâm) nên $B^{\prime }C\perp BC$ — Đúng. b) $B^{\prime }C$ chỉ song song với $AH$, không song song với $AB$; kiểm chứng bằng ví dụ $O=(0;0)$, $A=(1;0)$, $B=(-0,5;0,866)$, $C\approx (-0,342;-0,940)$: $\overrightarrow{B^{\prime }C}\approx (-0,842;-0,074)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(-1,5;0,866)$ — Sai. c) Tứ giác $A{B}^{\prime }CH$ có $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$ (một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) nên là hình bình hành — Đúng. d) Theo hình bình hành $A{B}^{\prime }CH$ thì $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{HC}$ (kiểm chứng bằng tọa độ: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(-0,5;-0,866)=\overrightarrow{HC}$) — Đúng. Kết luận: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $B^{\prime }$ đối xứng của $B$ qua $O$ nên $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{OB}$. Khi đó $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$. Mặt khác, với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp ta có $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$, suy ra $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{AH}$. Do $AH\perp BC$ (tính chất trực tâm) nên $B^{\prime }C\perp BC$. Đúng.
b) Từ câu a ta có $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{AH}$, tức $B^{\prime }C\parallel AH$, và $B^{\prime }C\perp BC$. Nếu $B^{\prime }C\parallel AB$ thì $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{B^{\prime }C}-\overrightarrow{AB}$ cũng phải cùng phương với $AB$, tức $BH\parallel AB$; nhưng $BH\perp AC$ mà $AB$ không vuông góc $AC$ (tam giác không vuông tại $A$), mâu thuẫn. Kiểm tra bằng ví dụ cụ thể: lấy $O=(0;0)$, $A=(1;0)$, $B=(-0,5;0,866)$, $C\approx (-0,342;-0,940)$ trên đường tròn đơn vị. Khi đó $\overrightarrow{B^{\prime }C}\approx (-0,842;-0,074)$ và $\overrightarrow{AB}=(-1,5;0,866)$ không cùng phương. Vậy $B^{\prime }C$ không song song $AB$ (điều đúng là $B^{\prime }C\parallel AH$). Sai.
c) Từ câu a, $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$, tức tứ giác $A{B}^{\prime }CH$ có một cặp cạnh đối ($AH$ và $B^{\prime }C$) song song và bằng nhau. Do đó $A{B}^{\prime }CH$ là hình bình hành. Đúng.
d) $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$ đã được chứng minh ở câu a. Vì $A{B}^{\prime }CH$ là hình bình hành (câu c) nên $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{HC}$. Kiểm tra bằng tọa độ với ví dụ ở câu b: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=B^{\prime }-A=(-0,5;-0,866)$ và $\overrightarrow{HC}=C-H$ với $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\approx (0,158;-0,074)$, ta được $\overrightarrow{HC}\approx (-0,5;-0,866)=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi vận tốc riêng của mỗi tàu đối với nước là $\vec{v}$ (cùng độ lớn $v$), vận tốc dòng nước là $\vec{u}$ song song với bờ. Chọn trục vuông góc với bờ. Thành phần vận tốc của tàu theo phương vuông góc với bờ chỉ do vận tốc riêng của tàu tạo ra (dòng nước không có thành phần theo phương này), bằng $v\sin \alpha$ với cả hai tàu vì chúng cùng tạo với bờ góc nhọn $\alpha$ như nhau. Bề rộng sông là như nhau nên thời gian sang bờ của mỗi tàu là $t=\frac{d}{v\sin \alpha }$, giống nhau đối với cả hai tàu. Dòng nước chỉ làm tàu trôi dọc theo bờ (tàu hướng hạ lưu trôi xuống dưới, tàu hướng thượng nguồn bị đẩy lùi) nhưng không ảnh hưởng đến thời gian vượt sông. Vậy hai tàu sang bờ bên kia cùng một lúc.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ nên với mọi điểm $M$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MG}$. Do đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC}=3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IG})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})=4\overrightarrow{MI}+3\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}$. Vì $I$ nằm trên đoạn $GC$ với $IC=3IG$ nên $\overrightarrow{GI}=\frac{1}{4}\overrightarrow{GC}$, tức $\vec{I}=\frac{3\vec{G}+\vec{C}}{4}$, suy ra $3\overrightarrow{IG}+\overrightarrow{IC}=3(\vec{G}-\vec{I})+(\vec{C}-\vec{I})=3\vec{G}+\vec{C}-4\vec{I}=\vec{0}$. Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MI}$ với mọi $M$, tức $x=4$. Khi đó $3x+2024=12+2024=2036$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện đề bài:
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$$
$$\iff \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AK}.$$
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BI}$, do đó:
$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AK}.$$
Vì $K$ là trung điểm của $AI$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}$. Mặt khác $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BA}$, suy ra:
$$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BI}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BA}\right)=\frac{5}{2}\overrightarrow{BI}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.$$
Vì $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, ta được:
$$\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.$$
Vậy điểm $M$ cần tìm là điểm xác định duy nhất bởi:
$$\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA},$$
tức là $M$ nằm trên đường thẳng qua đầu $C^{\prime }$ của vecto $\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}$ (điểm trên tia $BC$ với $B{C}^{\prime }=\frac{5}{4}BC$) và được tịnh tiến thêm vecto $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Kiểm tra: với $\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{BI}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BM}$, nên tổng các vecto trong đề bài bằng $\vec{0}$. Điểm $M$ tồn tại duy nhất vì $\overrightarrow{BM}$ được xác định duy nhất.