Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(1;-1;1)$, $B(0;1;2)$, $C(1;0;1)$:
a) $\overrightarrow{AB}=(-1;2;1)$, $\overrightarrow{AC}=(0;1;0)$ không tỉ lệ nên ba điểm không thẳng hàng → Sai.
b) Đối xứng qua trục $Oy$: $(x;y;z)\to (-x;y;-z)$ nên $B^{\prime }(0;1;-2)\ne (0;-1;-2)$ → Sai.
c) $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1;2;1)\ne (-1;2;-1)$ → Sai.
d) $A{B}^2=1+4+1=6$, $A{C}^2=0+1+0=1$, $B{C}^2=1+1+1=3$. Vì $A{B}^2=6>A{C}^2+B{C}^2=4$ nên theo định lí cosin $\cos A<0$, góc tại $A$ là góc tù → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;2;1)$, $\overrightarrow{AC}=(0;1;0)$ không tỉ lệ nên $A,B,C$ không thẳng hàng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua trục $Oy$: $(x;y;z)\to (-x;y;-z)$, nên $B^{\prime }(0;1;-2)$, không phải $(0;-1;-2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;2;1)$, khác $(-1;2;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A{B}^2=6$, $A{C}^2=1$, $B{C}^2=3$; vì $6>1+3$ nên góc tại $A$ là góc tù.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên. Khinh khí cầu 1 sau 30 phút: 3 km nam, 1,5 km đông, 0,8 km cao nên tọa độ A(3; 1,5; 0,8) → câu a đúng. Quãng đường cầu 1: OA = √(3² + 1,5² + 0,8²) = √(9 + 2,25 + 0,64) = √11,89 ≈ 3,4482 ≈ 3,45 km, không phải 3,44 km → câu b sai. Khinh khí cầu 2: 2 km bắc (x = −2), 2 km tây (y = −2), cao 0,4 km, tọa độ B(−2; −2; 0,4). Quãng đường: OB = √(4 + 4 + 0,16) = √8,16 ≈ 2,8566 ≈ 2,86 km → câu c đúng. Khoảng cách AB = √((3+2)² + (1,5+2)² + (0,8−0,4)²) = √(25 + 12,25 + 0,16) = √37,41 ≈ 6,1165 ≈ 6,12 km, không phải 6,11 km → câu d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trục Ox hướng nam, Oy hướng đông, Oz hướng lên nên tọa độ là (3; 1,5; 0,8).
b) (AI giải đề cho tôi)
√(9 + 2,25 + 0,64) = √11,89 ≈ 3,4482 ≈ 3,45 km ≠ 3,44 km.
c) (AI giải đề cho tôi)
√(4 + 4 + 0,16) = √8,16 ≈ 2,8566 ≈ 2,86 km.
d) (AI giải đề cho tôi)
√(25 + 12,25 + 0,16) = √37,41 ≈ 6,1165 ≈ 6,12 km ≠ 6,11 km.

(AI giải đề cho tôi)
Véctơ chuyển động trong 10 phút: $\overrightarrow{AB}=(940-800;550-500;9-7)=(140;50;2)$. Sau 5 phút tiếp theo (bằng nửa khoảng thời gian 10 phút), máy bay đi thêm nửa véctơ này: $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=(70;25;1)$. Vậy $C=(940+70;550+25;9+1)=(1010;600;10)$ và $x+y+z=1010+600+10=1620$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C(x;0;0)$ trên trục $Ox$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;-2;3)$, $\overrightarrow{AC}=(x-1;-1;0)$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ khi $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$: $1(x-1)+(-2)(-1)+3\cdot 0=0\iff x-1+2=0\iff x=-1$. Vậy $C(-1;0;0)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\vec{c}\cdot \vec{b}=1+1+0=2\ne 0$ nên $\vec{c}$ không vuông góc $\vec{b}$ → SAI. b) $|\vec{a}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+0}=\sqrt{2}$ → ĐÚNG. c) $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1+1+0=0$ nên góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng $90^{\circ }$ → ĐÚNG. d) $\vec{b}-\vec{c}=(1-1;1-1;0-1)=(0;0;-1)\ne (-1;1;0)=\vec{a}$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{c}\cdot \vec{b}=1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 0=2\ne 0$ nên $\vec{c}$ không vuông góc với $\vec{b}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\vec{a}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot \vec{b}=(-1)(1)+1(1)+0=0$ nên $(\vec{a},\vec{b})=90^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{b}-\vec{c}=(0;0;-1)\ne \vec{a}=(-1;1;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(1;2;0),B(-2;1;2),M(a;b;2)$ thẳng hàng nên $\overrightarrow{AB}=(-3;-1;2)$ và $\overrightarrow{AM}=(a-1;b-2;2)$ cùng phương: $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}$. Từ tung độ: $-t=b-2$ và từ cao độ: $2t=2\Rightarrow t=1$. Suy ra $a-1=-3\Rightarrow a=-2$, $b-2=-1\Rightarrow b=1$ (tức $M$ trùng $B$). Vậy $a+b=-2+1=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba lực có phương đôi một vuông góc (như ba trục toạ độ), nên hợp lực có độ lớn $F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+F_3^2}=\sqrt{2^2+3^2+4^2}=\sqrt{29}\approx 5,39\text{N}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cạnh $a$.
a) Sai: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương (góc $60^{\circ }$), nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$.
b) Đúng: $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\perp \overrightarrow{AB}$, do đó ${\left|\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}\right|}^2=a^2+a^2=2a^2$, tức $\left|\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}\right|=a\sqrt{2}$.
c) Sai: vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=3\overrightarrow{A^{\prime }G}\ne \overrightarrow{A^{\prime }G}$.
d) Sai: theo c), $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=3\overrightarrow{A^{\prime }G}$. Ta có $AG=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $A^{\prime }G=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$. Vậy $\left|\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }C}\right|=3\cdot \frac{2a\sqrt{3}}{3}=2a\sqrt{3}\ne \frac{2a\sqrt{3}}{3}$. (Kiểm tra bằng tọa độ: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0),A^{\prime }(0;0;a)$, tổng vectơ $=(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};-3a)$, độ dài $\sqrt{12a^2}=2a\sqrt{3}$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng độ dài $a$ nhưng khác phương (góc $60^{\circ }$), nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\perp \overrightarrow{AB}$ nên $\left|\overrightarrow{C{C}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{A^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }B}+\overrightarrow{A^{\prime }C}=3\overrightarrow{A^{\prime }G}\ne \overrightarrow{A^{\prime }G}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $3\overrightarrow{A^{\prime }G}$ với $A^{\prime }G=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$, nên độ dài bằng $2a\sqrt{3}\ne \frac{2a\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy $P$ làm gốc. Vì $Q$ là trung điểm $CD$: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD})$. Ta có $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AD}$. Vì $P$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}$. Do đó $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Trong đó $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=-\vec{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$. Vậy $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=-\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(4;6;8)$, $\overrightarrow{AC}=(8;10;3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=32+60+24=116$. Độ dài: $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+36+64}=\sqrt{116}$, $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{64+100+9}=\sqrt{173}$. Do đó $\cos \widehat{BAC}=\frac{116}{\sqrt{116\cdot 173}}=\sqrt{\frac{116}{173}}\approx 0,8189$, suy ra $\widehat{BAC}\approx 35^{\circ }$. Vậy chọn đáp án D. (Hình minh họa drone chỉ mang tính minh họa, không ảnh hưởng đến phép tính.)

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ vuông góc với cả hai vectơ là tích có hướng: $\vec{c}=\vec{a}\times \vec{b}$. Với $\vec{a}=(1;0;2)$, $\vec{b}=(-2;1;0)$: thành phần thứ nhất $=0\cdot 0-2\cdot 1=-2$; thành phần thứ hai $=2\cdot (-2)-1\cdot 0=-4$; thành phần thứ ba $=1\cdot 1-0\cdot (-2)=1$. Vậy $\vec{c}=(-2;-4;1)$. Kiểm tra: $\vec{c}\cdot \vec{a}=-2+0+2=0$, $\vec{c}\cdot \vec{b}=4-4+0=0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng $\vec{u}\cdot \vec{v}=(-1)(0)+(1)(-1)+(0)(0)=-1$. Độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{(-1{)}^2+1^2+0}=\sqrt{2}$, $|\vec{v}|=\sqrt{0^2+(-1{)}^2+0}=1$. Vậy $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot 1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra góc giữa hai vectơ là $135^0$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}$ cùng phương $\vec{b}$ nên tồn tại $k$ sao cho $\vec{b}=k\vec{a}$. Từ hoành độ: $2=k\cdot 1\Rightarrow k=2$. Suy ra $m-1=3k=6\Rightarrow m=7$; và $2n+3=-2k=-4\Rightarrow n=-\frac{7}{2}$. Vậy $S=m-2n=7-2\left(-\frac{7}{2}\right)=7+7=14$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì A là trọng tâm tam giác BCE nên $\vec{A}=\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{E}}{3}$, suy ra $E=3A-B-C$. Tính: $x_E=3\cdot 5-(-2)-0=17$; $y_E=3\cdot (-2)-3-2=-11$; $z_E=3\cdot 0-0-3=-3$. Vậy $E(17;-11;-3)$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
A(2;-1;3), B(1;2;-1), C(-4;7;5).
a) $\overrightarrow{AB}=(-1;3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;8;2)$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1)(-6)+3\cdot 8+(-4)\cdot 2=6+24-8=22\ne 6$ → sai.
b) M trung điểm AC: $M(-1;3;4)$, $\overrightarrow{BM}=(-2;1;5)$, $BM=\sqrt{4+1+25}=\sqrt{30}$ → đúng.
c) Hình bình hành ABCD: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $D=B+C-A=(-5;10;1)$, $a+b+c=6\ne 10$ → sai.
d) $AB=\sqrt{26}$, $AC=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$ nên $\frac{IB}{IC}=\frac{1}{2}$, $I=\frac{2B+C}{3}=\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$, $O{I}^2=\frac{4}{9}+\frac{121}{9}+1=\frac{134}{9}$, $OI=\frac{\sqrt{134}}{3}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-1;3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;8;2)$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1)(-6)+3\cdot 8+(-4)\cdot 2=6+24-8=22\ne 6$ → sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$M(-1;3;4)$, $\overrightarrow{BM}=(-2;1;5)$, $BM=\sqrt{30}$ → đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$D=B+C-A=(-5;10;1)$ nên $a+b+c=6\ne 10$ → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{26}$, $AC=2\sqrt{26}$, $\frac{IB}{IC}=\frac{1}{2}$, $I=\left(-\frac{2}{3};\frac{11}{3};1\right)$, $OI=\frac{\sqrt{134}}{3}$ → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên p = 0. Vecto AB = (-10; 4; -2). Ba điểm A, B, C thẳng hàng nên C = A + t·AB, tức (m; n; 0) = (2 - 10t; 3 + 4t; -1 - 2t). Từ hoành độ z: -1 - 2t = 0 ⟹ t = -1/2. Suy ra m = 2 - 10·(-1/2) = 7, n = 3 + 4·(-1/2) = 1. Vậy m + n + p = 7 + 1 + 0 = 8.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
- A đúng: theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (vectơ đường chéo của hình hộp).
- B đúng: trong mặt phẳng $(ABCD)$, theo quy tắc hình bình hành $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.
- C đúng: vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, do đó $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{CD}|$.
- D sai: trong hình lập phương, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (cùng hướng với $\overrightarrow{DC}$), còn $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}$, suy ra $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$, tức hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{CD}$.
Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $M$ của $BC$: $M=\left(\frac{3+1}{2};\frac{5+1}{2};\frac{-4-2}{2}\right)=(2;3;-3)$.
Ta có $\overrightarrow{MA}=A-M=(1;-5;6)$ và $\overrightarrow{MB}=B-M=(1;2;-1)$.
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=1-10-6=-15$; $|\overrightarrow{MA}|=\sqrt{1+25+36}=\sqrt{62}$; $|\overrightarrow{MB}|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$.
$$\cos \widehat{AMB}=\frac{-15}{\sqrt{62}\sqrt{6}}=\frac{-15}{\sqrt{372}}\approx -0,7777.$$
Suy ra $\widehat{AMB}\approx 141,0^{\circ }$, làm tròn đến hàng đơn vị: $141^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=1\cdot 0+1\cdot (-2)+0\cdot 2=-2$. Độ dài: $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$, $|\vec{b}|=\sqrt{0^2+(-2{)}^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Suy ra $\cos (\vec{a},\vec{b})=\frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$. Vì góc giữa hai vectơ thuộc $[0^{\circ };180^{\circ }]$ nên góc bằng $120^{\circ }$. Vậy đáp án C.