Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành khi và chỉ khi hai đường chéo $MP$ và $NQ$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức trung điểm của $MP$ trùng trung điểm của $NQ$. Gọi $Q(x;y;z)$, ta có: $\frac{M+P}{2}=\frac{N+Q}{2}\Rightarrow Q=M+P-N$. Thay tọa độ: $x=1+7-2=6$, $y=1+7-3=5$, $z=1+5-4=2$. Vậy $Q(6;5;2)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{MN}=(1;2;3)$ và $\overrightarrow{QP}=(1;2;3)$, hai vectơ bằng nhau nên $MN\parallel QP$ và $MN=QP$, tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$. Với $A(2;4;-3)$, $G(2;1;0)$ ta có $\overrightarrow{AG}=(0;-3;3)$, do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(0;-9;9)$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: Xét đáp án D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành), và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy D đúng. Các đáp án khác sai: A) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ (vì $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$), còn $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\ne \vec{0}$. B) $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}\ne \overrightarrow{CD}$. C) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{C^{\prime }B}$, không bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ (thực chất $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, còn $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$ là vectơ khác).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tọa độ gốc tại A, trục Ox theo AB, Oy theo AD, Oz theo AA'. Khi đó A(0;0;0), B(3;0;0), A'(0;0;5), D'(0;4;5). Suy ra $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(3;0;-5)$, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=(0;4;5)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{A{D}^{\prime }}=3\cdot 0+0\cdot 4+(-5)\cdot 5=-25$. Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$. Do đó $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ (đường chéo hình lập phương). Độ dài đường chéo hình lập phương cạnh 4 là $4\sqrt{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_1}$ đôi một vuông góc và có độ dài 3. Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}+4\overrightarrow{A{A}_1}\right|=\sqrt{|AB{|}^2+4|AD{|}^2+16|A{A}_1{|}^2}=\sqrt{9+36+144}=\sqrt{189}\approx 13,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AG}$. Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{MA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{2}\vec{x}$. Trọng tâm tam giác $BCD$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})$... chính xác hơn, với gốc $A$: $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\vec{x}+\vec{y}+\vec{z})$. Do đó $\overrightarrow{MG}=-\frac{1}{2}\vec{x}+\frac{1}{3}\vec{x}+\frac{1}{3}\vec{y}+\frac{1}{3}\vec{z}=-\frac{1}{6}\vec{x}+\frac{1}{3}\vec{y}+\frac{1}{3}\vec{z}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(0;1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(1;3;-2)$. Tích có hướng $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1\cdot (-2)-(-1)\cdot 3;(-1)\cdot 1-0\cdot (-2);0\cdot 3-1\cdot 1)=(1;-1;-1)$, nên $|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\sqrt{3}$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ diện $ABCD$ có 4 đỉnh. Mỗi vecto khác $\vec{0}$ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt, tức là một cặp đỉnh có thứ tự. Số cách chọn: $A_4^2=4\cdot 3=12$. Cụ thể là 12 vecto: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CA},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DA},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$, tất cả đều khác $\vec{0}$ vì các đỉnh phân biệt. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, với đỉnh $D$ làm gốc, ta có quy tắc hình hộp: $\overrightarrow{D{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}$ (vì $D{B}^{\prime }$ là đường chéo của hình hộp xuất phát từ $D$, với ba cạnh kề $DA$, $DC$, $D{D}^{\prime }$). Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{DB}$; B sai vì $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\ne \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$; D sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 8, Mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$. Suy ra $64=25+2\vec{a}\cdot \vec{b}+16=41+2\vec{a}\cdot \vec{b}$, nên $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{64-41}{2}=11,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 11,5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $O(0;0;0)$, $A(4;0;0)$, $B(4;5;0)$, $C(0;5;0)$, $E(0;0;3)$, $F(4;0;3)$, $G(4;5;3)$, $H(0;5;3)$, $P(2;0;4)$. Hai mái nhà là hình chữ nhật, mái bên trái là $EHPQ$ với $E(0;0;3)$, $H(0;5;3)$, $P(2;0;4)$ nên $Q(2;5;4)$. Suy ra $\overrightarrow{FQ}=(-2;5;1)$, $\overrightarrow{EQ}=(2;5;1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{FQ}\cdot \overrightarrow{EQ}=-4+25+1=22$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 22.

Đáp án theo bảng key mã đề 0101 (trang 9): 1a) S, 1b) Đ, 1c) Đ, 1d) S.
a) $\overrightarrow{AC}=C-A=(-3-1;2-2;0-(-1))=(-4;0;1)\ne (-4;0;-1)$ nên ý a) sai.
b) $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=B+C=(0-3;3+2;1+0)=(-3;5;1)$ nên ý b) đúng.
c) $G=\left(\frac{1+0-3}{3};\frac{2+3+2}{3};\frac{-1+1+0}{3}\right)=\left(\frac{-2}{3};\frac{7}{3};0\right)$ nên ý c) đúng.
d) $I$ là trung điểm $BC$: $I\left(\frac{-3}{2};\frac{5}{2};\frac{1}{2}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{AI}=\left(\frac{-5}{2};\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$, $A{I}^2=\frac{25}{4}+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}=\frac{35}{4}$, suy ra $AI=\frac{\sqrt{35}}{2}\ne \sqrt{35}$ nên ý d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$, $B^{\prime }(a;0;2a)$, $C^{\prime }(a;a;2a)$, $D^{\prime }(0;a;2a)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a-0;0-a;2a-0)=(a;0;2a)$. Suy ra $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a\cdot a+0+0=a^2$. Đúng.

b) Các vecto khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp, cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (phương $AB$) là: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ — tất cả 8 vecto, không phải 3. Sai.

c) $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}$ (do $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, cùng hướng) và $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ (vì $ABCD$ là hình vuông, $BC\parallel AD$ cùng hướng, cùng độ dài $a$). Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{DC}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a;a;0)$. $\cos (\overrightarrow{DC},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }})=\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.

Kết quả: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai — khớp bảng đáp án nguồn (4a D, 4b S, 4c D, 4d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ trục $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $C^{\prime }(a;a;2a)$: $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=(a;0;2a)$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{D{C}^{\prime }}=a^2$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 vecto khác $\vec{0}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BA},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}$, không phải 3. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ vì $BC\parallel AD$, cùng hướng, cùng độ dài $a$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DC}=(a;0;0)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(a;a;0)$, $\cos =\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left|\vec{a}+\vec{b}\right|}^2={\left|\vec{a}\right|}^2+2\vec{a}.\vec{b}+{\left|\vec{b}\right|}^2$. Thay số: $8^2=5^2+2\vec{a}.\vec{b}+4^2\Rightarrow 64=41+2\vec{a}.\vec{b}\Rightarrow \vec{a}.\vec{b}=\frac{23}{2}=11,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 11,5.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình bình hành $ABCD$. Khi đó $O$ là trung điểm cả của $AC$ lẫn $BD$. Ta có $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SO}$ (tính chất trung điểm) và $\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=2\overrightarrow{SO}$. Suy ra $\vec{a}+\vec{c}=\vec{b}+\vec{d}$. Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;a)$. Vì $B^{\prime }M=2BM$ nên $BM=\frac{a}{3}$, suy ra $M\left(a;0;\frac{a}{3}\right)$.

a) $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(0;0;a)+(a;0;0)+(0;a;0)=(a;a;a)$, nên độ dài bằng $a\sqrt{3}\ne 3a$ → Sai.

b) $\overrightarrow{DM}=\left(a;-a;\frac{a}{3}\right)=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ → Đúng.

c) $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)$ còn $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}=(0;0;a)+(0;a;0)=(0;a;a)$, khác nhau → Sai.

d) $\overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=(a;-a;0)$, $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=a^2+a^2+0=2a^2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng vectơ là $(a;a;a)$ nên độ dài $a\sqrt{3}\ne 3a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DM}=\left(a;-a;\frac{a}{3}\right)=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a;0;a)\ne (0;a;a)=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{DC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{D^{\prime }{B}^{\prime }}=a\cdot a+(-a)(-a)+\frac{a}{3}\cdot 0=2a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ ở trang 8 xác nhận: trục $Oz$ đi qua đỉnh tháp, điểm $A$ cách $O$ một khoảng $10m$ theo phương thẳng đứng nên $A(0;0;10)$. Điểm $B$ nằm trên mặt đất $(Oxy)$ với $OB=15m$ và tia $OB$ hợp với trục $Oy$ một góc $30^{\circ }$ (nằm về phía trục $Ox$, hướng $K$), nên:
$$x_B=15\sin 30^{\circ }=7,5,y_B=15\cos 30^{\circ }=\frac{15\sqrt{3}}{2},z_B=0.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}=\left(7,5;\frac{15\sqrt{3}}{2};-10\right)$, tức $a=7,5$, $c=-10$.
Suy ra $a-c=7,5-(-10)=17,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$. Khi đó $C^{\prime }(2;2;2)$, $M$ trung điểm $AD$ là $M(0;1;0)$, $N$ trung điểm $B{B}^{\prime }$ là $N(2;0;1)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(2;-1;1)$ và $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2;2;2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=2\cdot 2+(-1)\cdot 2+1\cdot 2=4-2+2=4$.