Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$ có $a^2=225\Rightarrow a=15$, $b^2=81\Rightarrow b=9$. Do $a>b$ nên $c^2=a^2-b^2=225-81=144\Rightarrow c=12$. Độ dài tiêu cự $2c=2\cdot 12=24$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (24).

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{81}=1$ có $a^2=225\Rightarrow a=15$, $b^2=81\Rightarrow b=9$. Tiêu cự $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12$. Độ dài tiêu cự của elip là $2c=2\cdot 12=24$, khớp đáp án nguồn (24).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y^2=10x$ có dạng $y^2=2px$ với $2p=10\Rightarrow p=5$, nên $\frac{p}{2}=\frac{5}{2}$. Tiêu điểm nằm trên trục $Ox$: $F\left(\frac{5}{2};0\right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có $a^2=16$, $b^2=12$ nên $c^2=a^2+b^2=16+12=28$, suy ra $c=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$. Tiêu cự $2c=4\sqrt{7}$, vậy $m=4$, $n=7$ và $m+n=11$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có $a^2=16$, $b^2=12$ nên $c^2=a^2+b^2=28$, $c=2\sqrt{7}$. Tiêu cự $2c=4\sqrt{7}$, vậy $m=4$, $n=7$, $m+n=11$. Khớp với đáp án nguồn (11).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm treo ngôi sao là đỉnh của parabol $y=-0,004x^2+1,2x-80$. Hoành độ đỉnh: $x=-\frac{1,2}{2\cdot (-0,004)}=150$. Tung độ đỉnh: $y=-0,004\cdot 150^2+1,2\cdot 150-80=-90+180-80=10$ (m). Vậy khoảng cách từ điểm treo ngôi sao đến mặt đất là $10$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a,b$ là bán trục lớn, bán trục nhỏ. Độ dài trục lớn gấp 2 lần độ dài trục nhỏ nên $2a=2\cdot 2b\Rightarrow a=2b$. Elip đi qua $A(2;-2)$: $\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$. Thay $a^2=4b^2$: $\frac{4}{4b^2}+\frac{4}{b^2}=1\Rightarrow \frac{5}{b^2}=1\Rightarrow b^2=5$, suy ra $a^2=20$. Phương trình: $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$. Kiểm tra: $\frac{4}{20}+\frac{4}{5}=\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1$ đúng. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có tiêu điểm trên trục $Ox$: $F_1(-2;0)$, $F_2(2;0)$ nên $c=2$. Theo định nghĩa elip, tổng khoảng cách $M{F}_1+M{F}_2=2a=10\Rightarrow a=5$. Khi đó $b^2=a^2-c^2=25-4=21\Rightarrow b=\sqrt{21}$. Phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chuẩn hóa phương trình $4x^2+9y^2=1$ về dạng chính tắc: $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{9}}=1$. Vì $\frac{1}{4}>\frac{1}{9}$ nên elip có trục lớn nằm trên trục hoành, với $a^2=\frac{1}{4}\Rightarrow a=\frac{1}{2}$, $b^2=\frac{1}{9}\Rightarrow b=\frac{1}{3}$. Độ dài trục lớn: $2a=1$. Độ dài trục nhỏ: $2b=\frac{2}{3}$. Tiêu cự: $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{9}}=\sqrt{\frac{5}{36}}=\frac{\sqrt{5}}{6}$. Tiêu cự $2c=\frac{\sqrt{5}}{3}$. Tọa độ tiêu điểm: $F_1\left(-\frac{\sqrt{5}}{6};0\right)$, $F_2\left(\frac{\sqrt{5}}{6};0\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{7}=1$ có $b^2=7$ nên $b=\sqrt{7}$. Elip cắt trục tung tại hai điểm $B_1(0;\sqrt{7})$ và $B_2(0;-\sqrt{7})$, do đó $B_1{B}_2=2b=2\sqrt{7}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{16}=1$ có $a^2=100,b^2=16$ với $a>b$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=100-16=84$, suy ra $c=\sqrt{84}=2\sqrt{21}$. Vậy hai tiêu điểm là $F_1(-2\sqrt{21};0)$ và $F_2(2\sqrt{21};0)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Vì $(E)$ đi qua $A(6;0)$ nên $a=6$ (điểm nằm trên trục lớn). Tiêu cự $2c=8\Rightarrow c=4$. Do đó $b^2=a^2-c^2=36-16=20$. Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a>b>0$. Độ dài trục lớn bằng $2a=10$ nên $a=5$, suy ra $a^2=25$. Elip đi qua $M\left(3;\frac{12}{5}\right)$ nên $\frac{9}{25}+\frac{144}{25b^2}=1\Rightarrow \frac{144}{25b^2}=\frac{16}{25}\Rightarrow b^2=9$ (thỏa $b<a$). Vậy phương trình đường chính tắc của elip là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a^2=4,b^2=1$.

- $a=2,b=1$. Trục lớn nằm trên trục $Ox$.
- Tiêu cự: $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$, nên $2c=2\sqrt{3}$.
- Độ dài trục lớn: $2a=4$; độ dài trục bé: $2b=2$.
- Các đỉnh: $(\pm 2;0)$ và $(0;\pm 1)$, tức $A_1(-2;0),A_2(2;0),B_1(0;-1),B_2(0;1)$.

Kết luận: tiêu cự $2c=2\sqrt{3}$; trục lớn $2a=4$; trục bé $2b=2$; đỉnh $(\pm 2;0)$, $(0;\pm 1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự $2c=6\Rightarrow c=3$; trục lớn $2a=10\Rightarrow a=5$; $b^2=a^2-c^2=25-9=16$. Phương trình chính tắc: $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=5,b^2=4$, nên $c^2=a^2-b^2=1\Rightarrow c=1$. Tiêu cự $2c=2$. Đáp án A.

a) Elip cắt hai trục tọa độ tại $A_1(-5;0),A_2(5;0),B_1(0;-3),B_2(0;3)$; diện tích hình thoi $A_1{B}_1{A}_2{B}_2=A_1{A}_2\cdot B_1{B}_2=60(dvdt)$ nên mệnh đề sai. b) Elip cắt trục hoành tại $A_1(-5;0);A_2(5;0)$ nên mệnh đề sai. c) $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-9}=4$, elip có hai tiêu điểm $F_1(-4;0);F_2(4;0)$ nên mệnh đề đúng. d) $a^2=25;b^2=9$ nên mệnh đề đúng.
a) Tọa độ giao điểm của elip với trục tung: $x=0\Rightarrow \frac{y^2}{9}=1\iff y^2=9\iff y=\pm 3$. Vậy elip cắt trục tung tại 2 điểm có tọa độ là $B_1(0;-3);B_2(0;3)$. Elip cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là $A_1(-5;0);A_2(5;0)$. Diện tích hình thoi $A_1{B}_1{A}_2{B}_2$ bằng: $S_{A_1{A}_2{B}_1{B}_2}=A_1{A}_2\cdot B_1{B}_2=60(dvdt)$ suy ra mệnh đề sai.
b) Tọa độ giao điểm của elip với trục hoành: $y=0\Rightarrow \frac{x^2}{25}=1\iff x^2=25\iff x=\pm 5$. Vậy elip cắt trục hoành tại 2 điểm có tọa độ là $A_1(-5;0);A_2(5;0)$ suy ra mệnh đề sai.
c) $a^2=25,b^2=9$. Do đó $c=\sqrt{a^2-b^2}=4$. Vậy elip có hai tiêu điểm là $F_1(-4;0);F_2(4;0)$ suy ra mệnh đề đúng.
d) Ta có: $a^2=25;b^2=9$ suy ra mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) $y^2=24x\Rightarrow 2p=24\Rightarrow p=12$, tiêu điểm $F(p;0)=F(6;0)$, không phải $F(5;0)$ → Sai. b) $\vec{x}=2\vec{a}-2\vec{b}=(4;-4)-(-2;6)=(6;-10)$ → Đúng. c) VTCP $\vec{u}=(3;4)$ nên PTCT $4(x-2)-3(y-1)=0\iff 4x-3y-5=0\iff -4x+3y+5=0$ → Đúng. d) Nửa elip: $a=8$, $b=6$, $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$. Tại $x=4$: $y=6\sqrt{1-\frac{16}{64}}=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx 5,2m\ne 5,5m$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^2=24x\Rightarrow 2p=24\Rightarrow p=12$, tiêu điểm $F(6;0)$, không phải $F(5;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{x}=2(2;-2)-2(-1;3)=(4;-4)-(-2;6)=(6;-10)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$4(x-2)-3(y-1)=0\iff 4x-3y-5=0\iff -4x+3y+5=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$, tại $x=4$: $y=3\sqrt{3}\approx 5,2m$, không phải $5,5m$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): $\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1$ có $a^2=169\Rightarrow a=13$, $b^2=25\Rightarrow b=5$ (vì $a>b$ nên trục lớn nằm trên trục hoành).
- Độ dài trục lớn: $2a=26$.
- Độ dài trục bé: $2b=10$.
- $c^2=a^2-b^2=169-25=144\Rightarrow c=12$.
- Hai tiêu điểm: $F_1(-12;0)$ và $F_2(12;0)$.

Vậy trục lớn dài 26, trục bé dài 10, tiêu điểm $F_1(-12;0)$, $F_2(12;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1$ có $a^2=9,b^2=6$ nên $c^2=a^2-b^2=9-6=3\Rightarrow c=\sqrt{3}$. Tiêu cự $2c=2\sqrt{3}$. Vậy chọn D.