Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Gọi $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ b^2=9\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5$. Tiêu điểm của gương là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$. Đỉnh của gương là $A_1(-4;0)$. Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là $F_2{A}_1=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Vì $N(\sqrt{5};0)$ thuộc hypebol nên $\frac{5}{a^2}=1\Rightarrow a^2=5$. Vì $M(-5;2\sqrt{3})$ thuộc hypebol nên $\frac{25}{5}-\frac{12}{b^2}=1\Rightarrow \frac{12}{b^2}=4\Rightarrow b^2=3$. Vậy phương trình chính tắc là $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{3}=1$, khớp đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Elip $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=9\Rightarrow a=3$, nên với mọi điểm thuộc elip: tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm bằng $2a=6$.

Với $M$: $M{F}_1+M{F}_2=6\Rightarrow M{F}_2=6-M{F}_1$.
Với $N$: $N{F}_1+N{F}_2=6\Rightarrow N{F}_1=6-N{F}_2$.

Do đó:
$$M{F}_2+2N{F}_1=(6-M{F}_1)+2(6-N{F}_2)=18-(M{F}_1+2N{F}_2)=18-8=10.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2 Phần III: 10).

Gọi $(H):\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ $\Rightarrow \{\begin{array}{l}{a}^2=16\\ b^2=9\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=4\\ b=3\end{array}\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5$. Tiêu điểm của gương là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$. Đỉnh của gương là $A_1(-4;0)$. Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là $F_2{A}_1=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có phương trình chính tắc dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Vì $B(-1;0)\in (H)$ nên $\frac{1}{a^2}=1\Rightarrow a^2=1$. Vì $A(2;2\sqrt{3})\in (H)$ nên $\frac{4}{1}-\frac{12}{b^2}=1\Rightarrow \frac{12}{b^2}=3\Rightarrow b^2=4$. Vậy $(H):\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{4}=1$, khớp đáp án D.

Vì bạn Nam đã tìm đúng phương trình Elip là $(E):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ nên ta có $a^2=100$ và $b^2=64$. Khi đó tiêu cự là $2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{100-64}=12$.

Đáp số: 4.

Từ phương trình chính tắc của elip ta có: $a^2=25,b^2=9$.

Ta lại có $c^2=a^2-b^2\iff c^2=25-9\Rightarrow c=4$.

Vậy $c=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ có $a^2=9$, $b^2=4$ với trục tiêu là trục $Ox$. Khi đó $c^2=a^2+b^2=9+4=13\Rightarrow c=\sqrt{13}$. Vậy các tiêu điểm là $F_1(-\sqrt{13};0)$ và $F_2(\sqrt{13};0)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Elip $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$ có $a^2=100,b^2=36$ với $a>b$ nên tiêu điểm nằm trên trục $Ox$. Ta có $c^2=a^2-b^2=100-36=64\Rightarrow c=8$. Vậy hai tiêu điểm là $F_1(-8;0)$ và $F_2(8;0)$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Mã đề A, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có đỉnh $G(-13;0)$ nên $a=13$. Tiêu điểm $M(-\sqrt{170};0)$ nên $c=\sqrt{170}$. Suy ra $b^2=c^2-a^2=170-169=1$, tức $b=1$. Vậy $a+b=13+1=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có đỉnh $A(-3;0)$ nên $a=3$. Tiêu điểm $N(\sqrt{73};0)$ nên $c=\sqrt{73}$. Suy ra $b^2=c^2-a^2=73-9=64$, do đó $b=8$. Vậy $a+b=3+8=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có đỉnh $A(15;0)$ nên $a=15$. Tiêu điểm $D(-3\sqrt{26};0)$ nên $c=3\sqrt{26}$, suy ra $c^2=234$. Vì $b^2=c^2-a^2=234-225=9$ nên $b=3$. Vậy $a+b=15+3=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Hypebol có đỉnh $G(-4;0)$ nên $a=4$. Tiêu điểm $M(2\sqrt{13};0)$ nên $c=2\sqrt{13}$, do đó $c^2=52$. Ta có $b^2=c^2-a^2=52-16=36\Rightarrow b=6$. Vậy $a+b=4+6=10$.

Phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Ta có tiêu cự $2c=6$ suy ra $c=3$
Mặt khác $(H)$ đi qua điểm $A(2;0)$ nên $\frac{2^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ suy ra $a=2$ (0,25 điểm)
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt{5}$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ (0,25 điểm)

Phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Ta có tiêu cự 2c = 10 suy ra c = 5
Mặt khác $(H)$ đi qua điểm $A(3;0)$ nên $\frac{3^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$ suy ra $a=3$ (0,25 điểm)
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
Vậy phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất elip, với mọi điểm $M$ thuộc $(E)$ ta có $M{F}_1+M{F}_2=2a$. Vì $M{F}_1+M{F}_2=10$ nên $2a=10\Rightarrow a=5$. Khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 528, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): x^2/16 + y^2/9 = 1 có a^2=16, b^2=9 nên c^2 = a^2 - b^2 = 7, c = √7.
a) Sai: tiêu điểm là F_1(-√7;0), F_2(√7;0), không phải (±2√7;0).
b) Sai: tiêu cự 2c = 2√7, không phải √7.
c) Đúng: với M thuộc (E) có MF_1 + MF_2 = 2a = 8. Kết hợp MF_1 + 2MF_2 = 11 suy ra MF_2 = 3, MF_1 = 5. Khi đó 2MF_1 + MF_2 = 10 + 3 = 13.
d) Đúng: thay A(4;0) vào phương trình: 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E).
a) (AI giải đề cho tôi)
c^2 = 16 - 9 = 7 nên c = √7; tiêu điểm là (±√7;0) chứ không phải (±2√7;0).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7.
c) (AI giải đề cho tôi)
MF_1 + MF_2 = 8 và MF_1 + 2MF_2 = 11 ⇒ MF_2 = 3, MF_1 = 5 ⇒ 2MF_1 + MF_2 = 13.
d) (AI giải đề cho tôi)
4^2/16 + 0 = 1 nên A(4;0) thuộc (E).

(AI giải đề cho tôi)
Elip (E): x^2/16 + y^2/9 = 1 có a^2=16, b^2=9 nên c^2 = a^2 - b^2 = 7, c = √7.
a) Thay A(4;0): 16/16 + 0 = 1, nên A thuộc (E). Đúng.
b) Tiêu điểm là F1(-√7;0), F2(√7;0), không phải (±2√7;0). Sai.
c) Tiêu cự 2c = 2√7 ≠ √7. Sai.
d) Với M thuộc (E): MF1 + MF2 = 2a = 8. Kết hợp MF1 + 2MF2 = 11 suy ra MF2 = 3, MF1 = 5. Khi đó 2MF1 + MF2 = 10 + 3 = 13. Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn: ĐSSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(4;0) vào phương trình: 16/16 + 0 = 1 nên A thuộc (E).
b) (AI giải đề cho tôi)
c^2 = 16 - 9 = 7 nên tiêu điểm là F1(-√7;0), F2(√7;0), không phải (±2√7;0).
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiêu cự 2c = 2√7, không bằng √7.
d) (AI giải đề cho tôi)
MF1 + MF2 = 2a = 8; kết hợp MF1 + 2MF2 = 11 được MF2 = 3, MF1 = 5, nên 2MF1 + MF2 = 13.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ là phương trình chính tắc của hyperbol với $a^2=16,b^2=9$, nên $a=4,b=3$, $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{25}=5$. a) Sai vì đây là hyperbol, không phải parabol. b) Sai vì hình vẽ trong đề là một elip (đường cong khép kín), trong khi hyperbol có hai nhánh mở. c) Đúng vì theo định nghĩa hyperbol, $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=2a=8$. d) Đúng vì hai tiêu điểm là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$ (trên trục $Ox$ vì $x^2$ có dấu dương). Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có dạng $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên đây là hyperbol, không phải parabol.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ trong đề là một elip (đường cong khép kín qua các điểm gần $(\pm 2,5;0)$), còn hyperbol $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ có hai nhánh mở với đỉnh $(\pm 4;0)$, nên hình vẽ không phải của đường conic đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa hyperbol, với mọi điểm $M$ thuộc hyperbol: $\left|M{F}_1-M{F}_2\right|=2a=2\cdot 4=8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=16,b^2=9\Rightarrow c=\sqrt{16+9}=5$. Vì trục thực là trục $Ox$ nên hai tiêu điểm là $F_1(-5;0)$ và $F_2(5;0)$.